那么〃称为R上 Borel函数类,其中的函数称为R上的 Bore l函数.(以前在本书中的 所谓“常见的”函数,均指Bore函数) 再则,随机变量的概念是依赖于事件体(σ一代数)的,严格地应称为只-随机变量 定义9.15样本空间Ω上的实值函数5称为7可测的,如果对于任意实数a,恒 有{@:ξ(o)≤a}∈只.于是,与为-随机变量与ξ为尹可测的是一样的.而随机变量的 分布则依赖于概率P的給法 分布函数为F(x)的随机变量5的函数g()的数学期望是如下的 Stieltjes积分 Eg(s)=g(x)dF(x)(=g(x)F(dx)) (括号中的F(dx)就是dF(x),前一种记号便于推广到多变量,或条件分布函数的情形) F(x1n)=P(sx)=E(-(5)n)=[E((-x4()n=y)]y=n 称为对于n的条件分布函数.类似地,我们有 EIg(5)In]=g()F(dyIn) (注意,右方的积分是直观地理解的,如果想要一个清晰的证明,在数学上还必须要作一系 列“后台操作”) 2.2时间离散状态连续的 Markov链 定义9.16实值随机序列{n:n≥0}称为(时间离散状态连续的) Markov链,如 果对于任意n≥0,任意实数y,x,x0,…,xn-1,有 P(n1≤y|n=x,n1=xn1…50=x0)=P(5n1≤yn=x).(9.15) (这正说明条件分布函数有 Markov性).在(1,5n,…,50)有联合密度时,(915)等价于5n 的条件分布密度的如下的等式 Pan(|5,=x,5n+=xn-1…,50=x0)=P(y|n=x) 与第5章中类似地,这里的 Markov性可以有如下的多种等价性描述 Markov性的等价性质1 对于任意实 Borel集A,A,…,A1,以及随机事件A={∈A;…,n1∈An},恒 有 P(5nm∈AA.5n=x)=P5m∈An=x) (9.16)239 那么 M 称为 d R 上 Borel 函数类, 其中的函数称为 d R 上的 Borel 函数. (以前在本书中的 所谓“常见的”函数, 均指 Borel 函数). 再则, 随机变量的概念是依赖于事件体(s - 代数)F 的, 严格地应称为 F-随机变量. 定义９.１５ 样本空间W 上的实值函数x 称为 F-可测的, 如果对于任意实数a , 恒 有{w : x (w) £ a}ÎF. 于是, x 为 F-随机变量与x 为 F-可测的是一样的. 而随机变量的 分布则依赖于概率 P 的給法. 分布函数为 F( x) 的随机变量x 的函数 g (x ) 的数学期望是如下的 Stieltjes 积分 ò Eg(x ) = g(x)dF(x) ( def = ò g(x)F(dx) ) (括号中的 F(dx) 就是dF(x) , 前一种记号便于推广到多变量, 或条件分布函数的情形). 而 ( | ) ( | ) ( ( )| ) F x h P x x h E I(-¥,x] x h D D = £ = = h h x -¥ x = y= [E(I ( ) | y)] ( , ] 称为x 对于h 的条件分布函数. 类似地, 我们有 ò E[g(x ) |h] = g( y)F(dy |h) . (注意, 右方的积分是直观地理解的, 如果想要一个清晰的证明, 在数学上还必须要作一系 列 “后台操作”). 2. 2 时间离散状态连续的 Markov 链 定义９．１６ 实值随机序列{ : n ³ 0} n x 称为（时间离散状态连续的）Markov 链, 如 果对于任意 n ³ 0，任意实数 0 1 , , , , n- y x x L x ，有 P(xn+1 £ y | xn = x,xn-1 = xn-1 ,L,x0 = x0 ) = ( | ) 1 P y x xn+ £ xn = . (9. 15) (这正说明条件分布函数有 Markov 性）．在( , , , ) 1 0 x x L x n+ n 有联合密度时, (9.15)等价于 n+1 x 的条件分布密度的如下的等式 = - = - = = + ( | , , , ) 1 1 1 0 0 p y x x x n n n n x x x x L ( | ) 1 p y x n n = + x x . (9.15)’ 与第５章中类似地，这里的 Markov 性可以有如下的多种等价性描述： Markov 性的等价性质 1 对于任意实 Borel 集 0 1 , , , L L L Ln- ，以及随机事件 { , , } A = 0 Î 0 n-1 Î Ln-1 x L L x , 恒 有 ( , ) ( ) 1 1 P A x P x xn+ Î L xn = = x n+ Î Lxn = . (9. 16)