代系统方法.除此以外,还有小波分析等非概率方法, [注3]当格点集G为无限集时,组态的数目就不再是可数的了.此时就应归入连续状态的 Markov 场的范畴.在统计物理中应用的模型,就是这种模型.有时自旋空间S也可以是连续的,例如,圆周或其 它集合.这时就可能存在多个不变分布,称为有相变,因为每个分布代表了统计物理中质点的一个宏观 相”.统计物理中也正是对这种相变的存在性更感兴趣. [注4]若每次发展的修改的格点集合J不是单点集,且各次的修改集可以不同,那么,此时的 Markov 链未必有遍历定理,这时并不能保证此 Markov链5n的时间平均收敛到不变分布,因此,即使n很大,也 不能认为5n的样本近似为不变分布的样本 2时间离散状态连续的 Markov链 概率空间再访 设g2={0:O-基本事件},7是样本空间的某些子集组成的集合类(事件体),满足 对于任意AAn∈?(n21),恒有UAn∩A1,A=92-A∈只 (这样的事件体?代表了可以通过理论推算,或实际测量能够得到概率的全体随机事件).在 概率理论中?称为Ω上的一个σ-代数.(Ω,7)称为概率空间.于是概率P就是定义在 σ-代数?上的一个非负函数 定义9.14( Borel集与 Borel函数) 设是R的某些子集组成的一个-代数,且满足以下条件 (1)R4中的任意开集G∈ (2)任意一个有R的某些子集组成的σ-代数另,只要它含有一切开集,则就有 那么因称为R“上 Borel集合类,其中的集合称为Bore|集.即 Borel集合类是以开集为元 素的最小σ-代数.(以前在本书中的所谓“常见的”集合,均指 Borel集).Rl上的 Borel 集称为一维 Borel集 再设w为R上的一个满足下述条件的函数类 1)对极限封闭:若∫n∈w且fn(x)→f(x),则有∫∈ (2)任意连续函数∫∈w, (3)若R上一个函数类∠只要对极限封闭,而且包含全体连续函数,则有wC∠238 代系统方法. 除此以外, 还有小波分析等非概率方法. [注 3] 当格点集 G 为无限集时, 组态的数目就不再是可数的了. 此时就应归入连续状态的 Markov 场的范畴. 在统计物理中应用的模型, 就是这种模型. 有时自旋空间 S 也可以是连续的, 例如, 圆周或其 它集合. 这时就可能存在多个不变分布, 称为有相变, 因为每个分布代表了统计物理中质点的一个宏观 “相”. 统计物理中也正是对这种相变的存在性更感兴趣. [注 4] 若每次发展的修改的格点集合 J 不是单点集, 且各次的修改集可以不同, 那么, 此时的 Markov 链未必有遍历定理, 这时并不能保证此 Markov 链 n x 的时间平均收敛到不变分布, 因此, 即使n 很大, 也 不能认为 n x 的样本近似为不变分布的样本. 2 时间离散状态连续的 Markov 链 2. 1 概率空间再访 设W ={w :w - 基本事件}，F 是样本空间W 的某些子集组成的集合类(事件体), 满足 对于任意 A, An ÎF (n ³ 1)，恒有 U I ¥ = ¥ = = - Î 1 1 , , n n n An A A W A D F. (这样的事件体F 代表了可以通过理论推算, 或实际测量能够得到概率的全体随机事件). 在 概率理论中 F 称为 W 上的一个s - 代数. (W , F ) 称为概率空间. 于是概率P 就是定义在 s - 代数 F 上的一个非负函数. 定义９.１４（Borel 集与 Borel 函数） 设 B 是 d R 的某些子集组成的一个s - 代数，且满足以下条件: (1) d R 中的任意开集GÎB , (2) 任意一个有 d R 的某些子集组成的s - 代数 G, 只要它含有一切开集, 则就有 B Ì G． 那么 B 称为 d R 上 Borel 集合类, 其中的集合称为 Borel 集. 即 Borel 集合类是以开集为元 素的最小s - 代数. (以前在本书中的所谓 “常见的”集合, 均指 Borel 集). 1 R 上的 Borel 集称为一维 Borel 集． 再设 M 为 d R 上的一个满足下述条件的函数类: (1) 对极限封闭: 若 f n ÎM 且 f (x) f (x) n ® , 则有 f ÎM, (2) 任意连续函数 f ÎM, (3) 若 d R 上一个函数类 L, 只要对极限封闭, 而且包含全体连续函数, 则有 MÌ L．