上述微扰理论的要求并不总能满足,既使V很小,但如果E。-EC很小,特别当 k=nr/a以及k=-n/{a时,由于E=EC,会导致vk及E发散的结果,上述微扰 计算就不再适用。从量子力学可知,此时一个能量对应两个状态,是简并态的情况,必 须用简并微扰来处理。如果认为v=e是前进的平面波,则vk=e“即为布 拉格反射波。这时,零级近似波函数将不是v或v,而是两者的线性组合。实际上 在波矢k接近布拉格反射条件时,散射波已相当强了,非简并微扰已不适用。所以,对 于接近n/a即布里渊区边界的k态,如 k=-(1+△) 在周期势场的微扰作用下,最主要的影响将是掺入了和它能量接近的状态 k'=k n n=- (1-△) 而应将零级波函数写成 =AVK+Byp=A B (6.38) 对比非简并微扰法,此时影响最大的k′状态,已不再是微扰项,而被包括在零级波函 数中,而其它态的次要影响则忽略。 将(638)式代入薛定谔方程 +(x)v°=Ev0 (639) 2m dx 以和Ug分别乘方程两边,并在整个晶体内积分。经计算得到下列线性代数方程组 (E-ENA-V,B=0 (640) VA+(E-ERB 显然,A,B有非零解的条件是 Eu -p E-E 由此求得上述微扰理论的要求并不总能满足，既使 很小，但如果 很小，特别当 * Vn 0 ' 0 − EE kk = π ank 以及 '= − π ank 时，由于 Ek 0 = Ek 0 ′ ，会导致ψ k 及 发散的结果，上述微扰 计算就不再适用。从量子力学可知，此时一个能量对应两个状态，是简并态的情况，必 须用简并微扰来处理。如果认为 Ek 0 ψ k = ikx e L 1 是前进的平面波，则 0 ψ k′ = xki e L 1 ′ 即为布 拉格反射波。这时，零级近似波函数将不是 0 ψ k 或 0 ψ k′，而是两者的线性组合。实际上， 在波矢 k 接近布拉格反射条件时，散射波已相当强了，非简并微扰已不适用。所以，对 于接近 π an 即布里渊区边界的 k 态，如 Δ+= )1( a n k π ， △<<1 在周期势场的微扰作用下，最主要的影响将是掺入了和它能量接近的状态 )1( 2 ' Δ−−=−= a n n a kk π π 而应将零级波函数写成 ikx xik k k e L Be L ABA 0 ' ' 0 0 1 1 ψ ψψ =+= + （6.38） 对比非简并微扰法，此时影响最大的 k′状态，已不再是微扰项，而被包括在零级波函 数中，而其它态的次要影响则忽略。 将（6.38）式代入薛定谔方程 0 0 2 22 )( 2 ExV ψψ dx d m = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− h （6.39） 以 *0 ψ k 和 分别乘方程两边，并在整个晶体内积分。经计算得到下列线性代数方程组 *0 ψ k′ 0)( 0)( * 0 0 =−+− =−− ′ BEEAV BVAEE n k k n （6.40） 显然，A，B 有非零解的条件是 * 0 n k V EE − − ' 0 K n EE V − − =0 （6.41） 由此求得 9