1-1 ∑dx=∑ dx n=l n 6.证明 >x满足方程y 4) y (2)y=∑满足方程xy+y'-y=0 n=0(n!) 证(1)连续4次逐项求导,得到 n=(4n-4)! n=0(4n)= (2)应用逐项求导,可得 (n-l)!n! n=2(n-2)!n! 于是 y=1+ =1+ n=2( n=2(n n=0(n 7.应用幂级数性质求下列级数的和 1)”1 Sn(n+2) 4 (5)∑(-1 ∑∑∑ 3”(2n+1) (7∑(-y2 解(1)设(x)=∑(-1)"nx",令g(x)=()=∑(-)mr,利用逐项 求积分可得 g(x) 于是f(x) (1+x)2 (1+x) 所以 ∑(-1) n-1 n∫ ⋅ = − 1 0 1 1 ln x dx x ∫ ∑ = ∞ = − 1 0 1 1 n n dx n x ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = − = 1 1 0 1 2 1 1 n n n n dx n x 。 6. 证明： (1) y = ∑ ∞ =0 4 (4 )! n n n x 满足方程 y (4) = y ; (2) y = ∑ ∞ =0 2 n ( !) n n x 满足方程 x y′′ + y ' - y = 0。 证 （1）连续 4 次逐项求导，得到 = (4) y ∑ ∞ = − 1 − 4 4 n (4 4)! n n x y n x n n = ∑ = ∞ =0 4 (4 )! 。 （2）应用逐项求导，可得 ∑ ∞ = − − = 1 1 ( 1)! ! ' n n n n x y ， ∑ ∞ = − − = 2 2 ( 2)! ! " n n n n x y ， 于是 xy"+ y'= 1+ ∑ ∞ = − 2 − 1 n ( 1)! ! n n n nx ∑ ∞ = − − = + 2 2 1 [( 1)!] 1 n n n x y n x n n = ∑ = ∞ =0 2 ( !) 。 7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n ; ⑵ ∑ ∞ = ⋅ 1 2 1 n n n ; ⑶ ∑ ∞ = + + 1 1 4 ( 2) n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ; ⑸ ∑ ∞ = + − 0 3 (2 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n 。 解 （1）设 ∑ ，令 ∞ = − = − 1 1 ( ) ( 1) n n n f x nx ∑ ∞ = − − = = − 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n nx x f x g x ，利用逐项 求积分可得 2 (1 ) 1 ( ) x g x + = ，于是 2 (1 ) ( ) x x f x + = ， 所以 9 2 ) 2 1 ( 2 ( 1) 1 1 ∑ − = = ∞ = − f n n n n 。 60