§123 中函数 第6页 之和,其中p(n)和d(n)都是n的多项式,为了保证级数收敛,p(n)的次数至少要比d(n)的次数 低2,即 如果d(n)是n的m次多项式,并且全部零点都是一阶零点 n)=(n+a1)(n+a2) 即un只有一阶极点,则可部分分式为 d(n) 利用中函数的递推关系,即可求得 un=)ak[(ak+N)-中(ak) ∑ak(ak+N)-hnN-pa 其中利用了∑ak=0.取极限N→∞,即得 k=1 n= lin lim>ak (ak + N)-InN-akp(ok k=1 akp(on) 例12.1求无穷级数3m+13m+23m+之和 解因为 (3n+1)(3n+2)(3n+3)6m+1/33n+2/36n+1 所以,根据上面给出的求和公式,有 (3n+1)(3n+2)(3n+3) 3/+v( 代入ψ函数的特殊值,即得 3= 例12求无穷级数1一之和,其中a>0Wu Chong-shi §12.3 ψ ☎ ✆ ✝ 6 ✞ ➠➡✬✭ ✮ p(n) ➡ d(n) ➌✢ n ✗➢➟➾✵★ ⑤➤❥ þ✖rs✬ p(n) ✗➥✖➦➧▼ î d(n) ✗➥✖ ➨ 2 ✬ ➶ limn→∞ un = limn→∞ n · un = 0. ➧ ÷ d(n) ✢ n ✗ m ➥➢➟➾ ✬❵❛❝❘r ⑩➌✢❆❣r⑩ ✬ d(n) = (n + α1)(n + α2)· · ·(n + αm), ➶ un ♦❷❆ ❣➍⑩ ✬s ❤ ❘✦✦➾ ★ un = p(n) d(n) = Xm k=1 ak n + αk . ➛✚ ψ ✕✖✗➩ ❶➅➫✬ ➶❤➝ ➂ X N n=0 un = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ψ(αk)] = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] , ✭ ✮➛✚⑤ Pm k=1 ak = 0 ✵ ➤➍↕ N → ∞ ✬ ➶➂ X∞ n=0 un = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N] − Xm k=1 akψ(αk) = − Xm k=1 akψ(αk). ➭ 12.1 ➝■❏þ✖ P∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) ➠➡✵ ❁ ❅★ 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 6 1 n + 1/3 − 1 3 1 n + 2/3 + 1 6 1 n + 1 , ❑▲✬☛☞④❡④ ➟✗➝➡❧ ➾ ✬❷ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = − 1 6  ψ  1 3  − 2ψ  2 3  + ψ(1) . ❧✠ ψ ✕✖✗➑➒♣✬ ➶➂ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 4  π √ 3 − ln 3 . ➭ 12.2 ➝■❏þ✖ P∞ n=0 1 n2 + a 2 ➠➡✬✭ ✮ a > 0 ✵