2.(本题共8分)设∫可微,证明曲面Σ:f(三,,y)=0上任意一点处的切平面过某 个定点 证:任取曲面上一点P(xnyn=),记g(x,y,2)=f(三,,2),则 g(tx,,仁)=g(x,y,=)Vt≠0, 上式两边对t求导,有g(x,y,t)x+g;(x,.y,)y+g:(ax,,z)x=0, 特别地,有g(x,y,=0)x+g(x,y)b+g!(x0,y,=0)0=0, 即曲面在点处P(x0,y,=)点处的切平面的法向 (g3(x,y,=0),g(x0,y,=0),g(x0,y,-0) 与向径(xnyo,=0)垂直,所以曲面在P(x02yn=0)点处的切平面一定过原点 3.(本题共8分)求∫(x+3y2M,其中r:{x+y2+2=a2 (a>0) x+y+==0 解:由对称性,「x=地=2,∫x=y=∫=动, 而∫(x+y+==0,∫(x+y2+2)=Jad=2m3 所以∫(x+3)d=∫(x2+y2+=2=2m3 4.(本题共10分)设:x++2=1(≥0),点P(x,y,=)∈Σ,∏是Σ在点P处 的切平面,d(x,y,z)为原点到∏的距离,求 dS。 d(x,y, =) 解:Σ在点P(x,y,z)处的切平面∏为x(X-x)+y(Y-y)+2(Z-z)=0, 于是d(x,y,=)= 由∑ 得 y3 2.（本题共 8 分）设 f 可微，证明曲面  ( , , )  0 x y z x y z ：f 上任意一点处的切平面过某 个定点。 证：任取曲面上一点 ( , , ) 0 0 0 P x y z ，记 ( , , ) ( , , ) x y z x y z g x y z  f ，则 g(tx,ty,tz)  g(x, y,z), t  0， 上式两边对 t 求导，有 g x (tx,ty,tz)x  g y (tx,ty,tz)y  g z (tx,ty,tz)z  0 ， 特别地，有 g x (x0 , y0 ,z0 )x0  g y (x0 , y0 ,z0 )y0  g z (x0 , y0 ,z0 )z0  0， 即曲面在点处 ( , , ) 0 0 0 P x y z 点处的切平面的法向 ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g x y z g x y z g x y z x y z    与向径 ( , , ) 0 0 0 x y z 垂直，所以曲面在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 点处的切平面一定过原点。 3.（本题共 8 分）求 (x 3y )ds 2    ，其中 ( 0) 0 : 2 2 2 2            a x y z x y z a 。 解：由对称性， xds yds zds         ， x ds y ds z ds         2 2 2 ， 而 (   )  0  0     x y z ds ds ， 2 2 2 2 3 (x  y  z )ds  a ds  2a     ， 所以 (x 3y )ds 2    2 2 2 3  (x  y  z )ds  2a   。 4.（本题共 10 分） 设 1 ( 0) 2 2 : 2 2 2    z  z  x y ，点 P(x, y,z)， 是  在点 P 处 的切平面， d(x, y,z) 为原点到  的距离，求   dS d x y z z ( , , ) 。 解：  在点 P(x, y,z) 处的切平面  为 x(X  x)  y(Y  y)  2z(Z  z)  0， 或 xX  yY  2zZ  2， 于是 2 2 2 2 1 2 4 2 ( , , ) x y z z d x y z      ， 由 2 2 : 1 2 2 x y  z    ，得 z y z z x zx y 2 , 2    