第二十九讲 Green函数 第5页 剩下的常数A(k)就应该由R=0处的边界条件决定,即由R=0处点源的强度决定 R=0处的边界条件定4(k)这时并不能直接将解式代入R=0处的边界条件,原因是f(R) 或g(5,n,()在R=0处的导数并不存在.另一方面,我们已经约定,凡是涉及δ函数的等式都应 该从积分意义下去理解.于是,很自然地,应当将方程在R=0附近的小体积内积分 <f(R)dEdnds+k2///f(R)dgdnds 左端第一项的体积分应当化为面积分 因为这样就可以回避掉在R=0点的求导问题.取这个小体积为以R=0点为球心,p为半径的 体, v2., f(R)dednds=//VE n< f(R)-d3 /02 -4丌A(k)(1-ikp)elP 第二项的体积分可以直接算出 f(r)dedndc 47A(k) RdR 4丌A (k) 将这些结果代回到(式,就有 所以,A(k)=1/47∈0,与k无关,这样,最后就求出了三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 g(E,n,()=f(B)=4n0 当k=0时,这个结果就回到 Poisson方程的 Green函数 最后,需要说明,这个结果是在无穷远处为发散波,并且取时间因子为e-t的条件下得到 的.可以设想,如果要求无穷远处为会聚波,并且仍取时间因子为et,则Gren函数应该是 G(r;r) 如果是其他形式的无穷远条件,当然还会得到其他形式的解Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 5 ✃ ⑩Ù✙í✛ A(k) ✦ ❽❿ ➺ R = 0 ➑ ✙❘❛➙➛⑧ ✖ ✥ ✯ ➺ R = 0 ➑✲✳✙❶❼ ⑧ ✖✼ R = 0 ❷❄❸❹qrs A(k) ➀ ♦á❇ ✒ ❞♠★⑨➧✂ ① R = 0 ➑ ✙❘❛➙➛✥❑ ⑥ ❺ f(R) ✇ g(ξ, η, ζ) ✱ R = 0 ➑ ✙➍✛ á❇ ❦✱ ✼❺✬ ❖ ❜ ✥❻➳ ❼③❽✖ ✥❾❺☛ ✹ δ ✚✛✙❥➧Ö ❽ ❿❚✁❲ ÿ ❾Ù⑤ Þ ⑨✼➣❺✥❿ ✖❊♥ ✥ ❽❧★ ❖P✱ R = 0 ✴✵✙➀➤✁ ❶ ✁❲ Z ZZ ✥ ∇ 2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ + k 2 ZZZ f(R)dξdηdζ = − 1 ε0 . (z) ✭ ❰◗✬ë✙➤✁❲❽❧✮✷❜✁❲ Z ZZ ∇2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζ f(R) i · dΣ, ⑥✷➀ ➞ ✦ ❨✸ ✠➁➂✱ R = 0 ✲ ✙ ê ➍✗✘✼⑤➀❒➀➤✁✷✸ R = 0 ✲ ✷❥➃✥ ρ ✷➄➅✙ ❥➤ ✥Ó ZZ Z ∇ 2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ = Z Z h ∇ξ,η,ζ f(R) i · dΣ = Z Z df(R) dR R 2 sin θdθdφ    R=ρ = −4πA(k)(1 − ikρ)eikρ . ◗æë✙➤✁❲❨✸❞♠ ❪ ❐ ✥ Z ZZ f(R)dξdηdζ = 4πA(k) Z ρ 0 e ikRRdR = 4πA(k) k 2 h (eikρ − 1) − ikρe ikρi . ★ ➀➆ ➟➠✂ ✠❬ (z) ➧ ✥✦s −4πA(k) = − 1 ε0 , ➆✸ ✥ A(k) = 1/4πε0, ③ k ❸ ✍ ✼ ➀ ➞ ✥ ➇ ✤✦ê❐✔↔Û❸❛❭❪ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛ g(ξ, η, ζ) = f(R) = 1 4πε0 e ikR R , ✇ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e ik|r−r 0 | |r − r 0 | . ❧ k = 0 ♦ ✥➀❒➟➠✦ ✠❬ Poisson ❖P✙ Green ✚✛✼ ➇ ✤✥✧★Õ ➲ ✥➀❒➟➠❺✱❸❂❃➑ ✷ÐÑ① ✥ á❯ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✙➙➛Ùr❬ ✙✼❨✸⑧➈✥➭➠ ★ê❸❂❃➑ ✷q⑨① ✥ á❯❉ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✥Ó Green ✚✛❽❿❺ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e −ik|r−r 0 | |r − r 0 | . ➭ ➠ ❺ ❹➨Ï➧✙❸❂❃➙➛✥ ❧❊ ì qr❬❹➨Ï➧✙⑨✼