§29.2三维无界空间 Helmholtz方程的Gren函数 第4页 292三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 求三维无界空间中 Helmholtz方程的 Green函数,即在三维无界空间中求解方程 V2G(r;r)+k2G(r;r)=--6(r-r),r,r’∈V 关于无穷远处的边界条件,后面再讨论 这个方程是一个非齐次方程,因此,可以按照求解非齐次方程的标准做法, ·先求出方程的一个特解,而将方程齐次化; ·将G(r;r)按相应齐次问题的本征函数展开 这两种做法,特别是第二种做法,原则上没有什么困难,这里不作具体的介绍 ·这又是一个特殊的非齐次方程:只在r=r点,非齐次项才不为0 ·而且,由于这是在无界空间,可以适当地安置坐标架,以充分发挥 Laplace算符的不变性 使问题得到充分的简化 首先作坐标平移, 即将点电荷所在点取为新坐标系的原点.令G(r;r)=9(5,n,),于是,9(5,n,)满足方程 n(5,n,()+k29(,n,()=--6(5)6(n)5() 其中 020 是以直角坐标ξ,,为自变量的 Laplace算符.容易看出,变换后的方程是旋转不变的,g(5,n,) 只是R=P2+m2+的函数,g(∈,n,)=f(B).因此,如果将直角坐标系(,n)转换为球坐标 系,则方程将变为R≠0点处的齐次方程 +k f(r) 原因是在在R=0点只存在单侧导数)以及R=0点处的边界条件(在R=0点处有一单位点电 荷).此方程是零阶球Bese方程,它的通解是 f(R)=A(k)-+B(k) 根据R=0和无穷远处的边界条件定出常数A(k)和B(k) 无穷远条件定B(k)考虑到 Helmholtz方程的实际背景,比如说,它是由波动方程经过分离 变量(分离去时间部分)得到的.作为一个例子,假设要求得到的解在无穷远处为发散波.取时间 因子为e-u,则解式中的第一项为发散波,第二项为会聚波.所以,应该有B(k)=0Wu Chong-shi §29.2 ✲✳✴✵✶✷ Helmholtz ✸✹➘ Green ➶➹ ➱ 4 ✃ §29.2 ✺✻✼✽✾✿ Helmholtz ❀❁✌ Green ☛☞ ê↔Û❸❛❭❪ ❫ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛✥✯ ✱↔Û❸❛❭❪ ❫ê⑨ ❖P ∇2G(r; r 0 ) + k 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. ✍ ➣❸❂❃➑ ✙❘❛➙➛✥✤❜ ✥✩✪✼ ➀❒❖P❺✬ ❒❄❅❆❖P✥⑥⑦✥ ❨✸❇❈ê ⑨ ❄❅❆❖P✙❉❊✣✤✥ • ú ê ❐ ❖P✙✬❒➏⑨ ✥ ❣★ ❖P❅❆✮ñ • ★ G(r; r 0 ) ❇④❽❅❆✗✘✙❋●✚✛❍■✼ ➀➁❏ ✣✤✥➏➐❺◗æ❏ ✣✤✥❑Ó ❯▲s▼ ✑◆ã ✥➀❖ ❇P➢➤✙◗❘✼ • ➀ ♣ ❺ ✬ ❒➏❙ ✙ ❄❅❆❖P✰ ➉✱ r = r 0 ✲✥❄❅❆ë❚❇✷ 0 ✼ • ❣❯ ✥ ➺➣➀❺✱❸❛❭❪✥❨✸❱❧♥❲❳❨❉❩✥ ✸❬❲Ð❭ Laplace ❪❫✙❇❴✮ ✥ ❤✗✘r❬❬❲✙❵✮✼ ❛úP❨❉ç❜✥ ξ = x − x 0 , η = y − y 0 , ζ = z − z 0 , ✯★✲ ❍❴➆✱✲⑤✷❝❨❉✎ ✙ ❑✲ ✼➸ G(r; r 0 ) = g(ξ, η, ζ) ✥ ➣ ❺✥ g(ξ, η, ζ) ➻➼❖P ∇2 ξ,η,ζ g(ξ, η, ζ) + k 2 g(ξ, η, ζ) = − 1 ε0 δ(ξ)δ(η)δ(ζ), ❹ ❫ ∇ 2 ξ,η,ζ ≡ ∂ 2 ∂ξ2 + ∂ 2 ∂η2 + ∂ 2 ∂ζ2 ❺ ✸❞❡❨❉ ξ, η, ζ ✷ ✖❴❢✙ Laplace ❪❫✼ ÜÝ❩❐✥ ❴❣✤ ✙ ❖P❺❤✐❇❴✙ ✥ g(ξ, η, ζ) ➉❺ R = p ξ 2 + η 2 + ζ 2 ✙ ✚✛✥ g(ξ, η, ζ) = f(R). ⑥⑦✥➭ ➠★❞❡❨❉✎ (ξ, η, ζ) ✐ ❣✷❥❨❉ ✎✥Ó❖P★❴✷ R 6= 0 ✲➑✙ ❅❆❖P 1 R2 d dR h R 2 df(R) dR i + k 2 f(R) = 0 (❑ ⑥ ❺✱✱ R = 0 ✲➉❦✱ ➄❧➍ ✛) ✸✹ R = 0 ✲➑✙❘❛➙➛ (✱ R = 0 ✲➑s✬➄❦✲ ❍ ❴ ) ✼⑦❖P❺î➋❥ Bessel ❖P✥✫✙♠⑨ ❺ f(R) = A(k) e ikR R + B(k) e −ikR R . ✪✫ R = 0 ➅ ❸❂❃➑ ✙❘❛➙➛✖❐í✛ A(k) ➅ B(k) ✼ ♥♦♣qrs B(k) ût❬ Helmholtz ❖P✙Øâ✉✈✥✇➭Õ✥✫❺ ➺①②❖P③ ➡❲④ ❴❢ (❲④⑤♦ ❪ t❲) r❬✙✼P✷✬❒➫⑥✥⑦⑧★êr❬✙⑨✱ ❸❂❃➑ ✷ÐÑ①✼ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✥Ó⑨➧ ❫ ✙ ◗ ✬ë✷ÐÑ① ✥◗æë✷q⑨①✼➆✸ ✥ ❽❿s B(k) = 0 ✼