第二章估计方法引论 第二章估计方法引论 2.1德尔塔方法 计量经济学家经常希望对模型参数的非线性函数进行推断,因此要求对参数估计非线性函 数的标准差进行估计,或者更一般地,对这种函数向量的协方差矩阵进行估计。一种常用方法 是以渐近近似为基础的所谓的德尔塔方法。 假设已估计出参数θ,它可能是一个线性回归模型参数。我们感兴趣的是参数 g(),g(是连续可导的单调函数。在这种情况下,估计γ的方法是利用关系f=g(0) 对于g()是线性函数或仿射函数的情况,我们看如何计算var()。假定γ=Wrθ,则 i=W0 Var(WT)=E(Wr(6-0)(0-0)W) WE(-0)(0-6)2) oW(xX-W 德尔塔方法是想找出9(0)的一个线性近似,然后应用上面这个结论。 非线性函数进行线性近似的常用数学工具是泰勒定理。它的最简单形式为中值定理 f(b-f(a) f(a+h)=f(a)+hf'(a+ Ah) 直到h的p次方的泰勒定理可表述为 f(a+h)=f(a) h 最常用的是二阶泰勒展开 f(a+h)a f(a)+hf(a)+of'(a 两种形式都要求一个正则条件:f(x)在[aa+上的p阶导数连续。 假定参数估计b是√n一致和渐近正态的,则 (-60)→N(O.V() 对g()在0附近进行泰勒展开: 9(60)+g(o0(6-bo) (2-3 两个确定性量称为渐近相等当且仅当n→∞时它们具有相同的极限。类似地,两个随机变量 称为渐近相等的当且仅当它们以概率趋于相同的极限。通常我们需要因子n的适当次幂以使推 导能够顺利进行。对上式两边乘以n1 2(-0)ag(0)n/2(6-o) 由上式立即可以导出估计标准误差的一个实用方法 S,≡9() 2.2修正的普通最小二乘估计 修正的普通最小二乘估计(COLS)是 Richmand于1974年首先提出的在普通最小二乘估 计结果的基础上对常数项进行修正的一种估计方法第二章 估计方法引论 第二章 估计方法引论 2.1 德尔塔方法 计量经济学家经常希望对模型参数的非线性函数进行推断，因此要求对参数估计非线性函 数的标准差进行估计，或者更一般地，对这种函数向量的协方差矩阵进行估计。一种常用方法 是以渐近近似为基础的所谓的德尔塔方法。 假设已估计出参数 θ，它可能是一个线性回归模型参数。我们感兴趣的是参数 γ = g(θ)，g( ˙ ) 是连续可导的单调函数。在这种情况下，估计 γ 的方法是利用关系 γˆ = g( ˆθ)。 对于 g(θ) 是线性函数或仿射函数的情况，我们看如何计算 V ar(ˆγ)。假定 γ = WT θ，则 γˆ = WT ˆθ： V ar(WT ˆθ) = E(WT ( ˆθ − θ)(ˆθ − θ) TW) = WT E((ˆθ − θ)(ˆθ − θ) T )W = σ 2WT (XT X) −1W 德尔塔方法是想找出 g(θ) 的一个线性近似，然后应用上面这个结论。 非线性函数进行线性近似的常用数学工具是泰勒定理。它的最简单形式为中值定理: f 0 (x) = f(b) − f(a) b − a f(a + h) = f(a) + hf0 (a + λh) (2-1) 直到 h 的 p 次方的泰勒定理可表述为： f(a + h) = f(a) +X p−1 i=1 h i i! f (i) (a) + h p p! f 0 (a + λh) 最常用的是二阶泰勒展开： f(a + h) ∼= f(a) + hf0 (a) + h 2 2 f 0 (a) 两种形式都要求一个正则条件：f(x) 在 [a, a + h] 上的 p 阶导数连续。 假定参数估计 ˆθ 是 √ n 一致和渐近正态的，则 n 1 2 ( ˆθ − θ0) → N(0, V ( ˆθ)) (2-2) 对 g( ˆθ) 在 θ0 附近进行泰勒展开： γˆ ∼= g(θ0) + g‘(θ0)(ˆθ − θ0) (2-3) 两个确定性量称为渐近相等当且仅当 n → ∞ 时它们具有相同的极限。类似地，两个随机变量 称为渐近相等的当且仅当它们以概率趋于相同的极限。通常我们需要因子 n 的适当次幂以使推 导能够顺利进行。对上式两边乘以 n 1/2 : n 1/2 (ˆγ − γ0)ag‘(θ0)n 1/2 ( ˆθ − θ0) (2-4) 由上式立即可以导出估计 γˆ 标准误差的一个实用方法： Sγ ≡ ¯ ¯ ¯g 0 ( ˆθ) ¯ ¯ ¯ Sθ (2-5) 2.2 修正的普通最小二乘估计 修正的普通最小二乘估计（COLS）是 Richmand 于 1974 年首先提出的在普通最小二乘估 计结果的基础上对常数项进行修正的一种估计方法 - 9 -