以下定理为全微分存在的充分条件 定理4若函数z=f(xy)的偏导数一与在点(xy)的 某个邻域内存在且在点(xy)处连,则函数z=f(xy) 在(xy)处可微,且 d=f(xy)dx+fr(x,y)d减或d=ax+d 证因△z=f(x+△xy+△y)-f(xy) f(x+△x2+△y)f(x,+△y)+[f(x2+△y)-f(x2y) 注意两个括号中,前者yy未变;后者x未变;因而皆可视 为一元函数之差而两个偏导数在(x,y)的某个邻域内存 在,故可由 Lagrange中值定理,得7 则函数z=ƒ(x,y) z z x y     与 以下定理为全微分存在的充分条件： 定理4 若函数z=ƒ(x,y)的偏导数 在点(x,y)的 某个邻域内存在且在点(x,y)处连， 在(x,y)处可微，且 ( , ) ( , ) x y dz f x y dx f x y dy = +   . z z dz dx dy x y   = +   或 证 因 ∆z=ƒ(x+∆x,y+∆y)−ƒ(x,y) =[ƒ(x+∆x,y+∆y)−ƒ(x,y+∆y)]+[ƒ(x,y+∆y)−ƒ(x,y)] 注意两个括号中,前者y+∆y未变;后者x未变;因而皆可视 为一元函数之差.而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内存 在,故可由Lagrange中值定理，得