证:首先考虑AA。因为rank(AA)=rank(AA)= rankA,故 AA∈C 而且是厄米,半正定的,存在n阶酉矩阵V,使 (AA) nxn 令∑ 则 列(n-r冽列 A)V VI(AA)V2 V(A)V Ⅴ2(AHA)y1Ⅴ(AHA) w(A"Ay=∑2w(A"AN2=o D-I V2(AAV2=O(n+×(m-r) 令U1=AV∑则U"AV=∑,又(AV2(AV2)=0→AV2=0 在U1的基础上构造酉矩阵U=[U1|U2],即U"U=I 这由前面基扩充定理可知是可行的,从而有 01U1=Ir,01 U2=Orx(n-r),02U2=In-r 故 JHAV UIAV UIAV2 UAV UAV证 ：首先考 虑 H A A 。因 为 H H rank(A A) rank(AA ) rankA = = ， 故 H n n A A Cr   ， 而且是厄米，半正定的，存在 n 阶酉矩阵 V ，使 2 1 2 2 H H 2 r n n O V (A A)V . O O            =            令 1 2 r O . . O         =             ， V | V 1 2 V r (n r)     = 列 − 列 则 H H H H 2 H H 1 1 1 2 H H H H 2 1 2 2 V (A A)V V (A A)V O V (A A)V V (A A)V V (A A)V O O     = =              H H 2 V (A A)V 1 1 = H H V (A A)V O 1 2 r (n r) =  − H H V (A A)V O 2 2 (n r) (n r) = −  − 令 1 U AV 1 1 − =  则 H U AV1 =  ，又 H 2 2 2 (AV ) (AV ) 0 AV 0 = → = 在 U1 的基础上构造酉矩阵 U U | U = 1 2     ，即 H U U I = 这由前面基扩充定理可知是可行的，从而有 H H H U U I ,U U O ,U U I 1 1 r 1 2 r (n r) 2 2 n r = = =  − − 故 H H H H 1 1 1 1 2 H H H 1 2 2 2 1 2 2 U U AV U AV U AV A V V U U AV U AV     = =                