x1-x2+3x3 4x1+2x2+5x3=4, x2 2x3=5 第二个方程组减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程,就变成 x,+5x x2=4. 第二个方程减去第三个方程的2倍,把第二第三两个方程的次序互换,即得 2 这样,就容易求出方程组的解为(9,-1,-6) 分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所用 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成 1.用一非零数乘某一方程; 2.把一个方程的倍数加到另一个方程 3.互换两个方程的位置 定义1变换1,2,3称为线性方程组的初等变换 线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程下面证明,初等变换总是把方程 组变成同解的方程组 下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组 对于方程组(1),首先检查x1的系数如果x1的系数a12a1,…,an全为零,那 么方程组(1)对x1没有任何限制,x就可以取任何值,而方程组(1)可以看作 x2…xn的方程组来解如果x1的系数不全为零,那么利用初等变换3,可以设 a1≠0.利用初等变换2,分别把第一个方程的_①倍加到第个方程(=2,…m) 于是方程组(1)就变成     + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成      − = − = − + = 2 4. 4 2 , 2 3 1, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得      = − − = − + = 6. 2 4 , 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程 组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查 1 x 的系数.如果 1 x 的系数 11 21 1 , , , a a  as 全为零，那 么方程组(1)对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组(1)可以看作 n x , , x 2  的方程组来解.如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11  0.利用初等变换 2，分别把第一个方程的 11 1 a ai − 倍加到第 i 个方程( i = 2 ,  ,n ). 于是方程组(1)就变成