为使u(红，)满足边界条件，只须要求XO)=X(0=0即可. (2)解特征值问题.即求使常微分方程两点边值间题 32.8 有非零解的实数入值及其解，称这些入值为问题(3.2.8)的特征值，对应于入的 非零解X(工)叫做问题(3.2.8)的转征函数，其全体组成特征通数系.下面先求 特征值. (a)当入<0时，方程的通解为 X(a)=Aex+Be 代入边界条件，得 X0)=A+B=0. X()=Ae+Be--0 由此解得A=B=0.即(3.2.8)仅有零解.故入<0不是其特征值 (6)当入=0时，通解为X"(工)=0，代入边界条件后解每X臼=0，所以， 入=0也不是特征值。 (@)当入>0时，若记入=k2(k>0),则得方程的通解为 X(x)■Acos+B sinkz. 由边界条件X(O)=0得A=0,再由X仞=0得B sin kl=0.因求非零解，B 不能取为零，故应有 k=匹或入=(，n=12,… (3.2.9 此即特征值问题(3.2.8)的特征值.相应的非零解，即特征函数是 X.(gj=Binx,n=1,2,…, (3.2.10 其中，B是任意常数.把(32.9)式的入代入(3.2.刀的第一个方程，解得 T()=C sin+D cost 其中，C心，D是任意常数 于是，函数 u.(z,t)=X.(z)T.(t) -(C.cost+D sin t)sin n=1.2. 满足(3.26)中方程和边界条件.其中，C.=BC,D,=BD、是任意常数，留 特确定 ,不能期望它满足问题(3.2.6) u红，)=∑(C.cosn+D,iman)血z (3.2.11） 如果级数(3.2.11)一致收且关于t逐项微分后仍一致收，则由初始条件得 uz,0)-∑Ca sin "z=fe, 4(红，0)=∑D.snx=gg