捕捉分离变量法温柔气息 ●从数学物理方程课程整体内容看分离变量法 令在数学物理方程这门课中，我们主要学习的内容分为两部分： ~偏微分方程的基本概念以及数学物理方程的建立 常见的三类数学物理方程求解（二阶线性方程，后面内容默认只针 对线性情况讨论) 令求解方法主要有： >行波法（基于此我们总结出一种称为通解法的思路） >分离变量法（其中第三章特殊函数法辅助求解特殊固有值问题） 积分恋静法 基本解方法 女学习方法： >问题类型、方程类型分类 ◆齐次方程、非齐次方程 ◆有界区域、半无界区域（例如半直线）、无界区域 使用不同坐标系处理（比如球对称问题采用球坐标处理》 非齐次发展方程（使用齐次化原理】 ◆齐次边界条件（使用分离变量的必要条件）、齐次初始条件（使 用齐次化原理的必要条件) ◆等等 >不同方法的适用类型（使用条件） ◆行波法 一维无 区域波 动方程（或者可以转化为一维无界区域 波动方程，例如半直线问题 ◆分离变量法：有界区域、齐次方程、齐次边界条件 ◆积分变换法：半无界区域或无界区域 ◆基本解方法：对于椭圆方程可以处理有界或无界区域，对于抛物 和双曲方程，只能处理无界区域 >各种方法的具体操作 ◆行波法（基于此可以总结一种称为通解法的思路）： ■求解偏微分方程通解，得到未知函数表达形式 ■将未知函数带入定解条件，得到未知函数满足的等式（方程）， 和己知函数建立联系，从而用己知函数表达未知函数 ■利用已知函数对未知函数的表达，带入通解，得到定界问题 的解 ◆分离变量法： ■分析方程，分离变量得到固有值问题以及其他的常微分方程 ■求解固有值问题，得到固有函数系，并且将求得的固有值带 其他； 方程求解 ■对应项相乘得到级数表达的第项，然后线性叠加，得到形 式解 ■通过定解条件确定级数形式的解中的系数
捕捉分离变量法温柔气息 ⚫ 从数学物理方程课程整体内容看分离变量法 在数学物理方程这门课中，我们主要学习的内容分为两部分： ➢ 偏微分方程的基本概念以及数学物理方程的建立 ➢ 常见的三类数学物理方程求解（二阶线性方程，后面内容默认只针 对线性情况讨论） 求解方法主要有： ➢ 行波法（基于此我们总结出一种称为通解法的思路） ➢ 分离变量法（其中第三章特殊函数法辅助求解特殊固有值问题） ➢ 积分变换法 ➢ 基本解方法 学习方法： ➢ 问题类型、方程类型分类 ◆ 齐次方程、非齐次方程 ◆ 有界区域、半无界区域（例如半直线）、无界区域 ◆ 使用不同坐标系处理（比如球对称问题采用球坐标处理） ◆ 非齐次发展方程（使用齐次化原理） ◆ 齐次边界条件（使用分离变量的必要条件）、齐次初始条件（使 用齐次化原理的必要条件） ◆ 等等 ➢ 不同方法的适用类型（使用条件） ◆ 行波法：一维无界区域波动方程(或者可以转化为一维无界区域 波动方程，例如半直线问题) ◆ 分离变量法：有界区域、齐次方程、齐次边界条件 ◆ 积分变换法：半无界区域或无界区域 ◆ 基本解方法：对于椭圆方程可以处理有界或无界区域，对于抛物 和双曲方程，只能处理无界区域 ➢ 各种方法的具体操作 ◆ 行波法（基于此可以总结一种称为通解法的思路）： ◼ 求解偏微分方程通解，得到未知函数表达形式 ◼ 将未知函数带入定解条件，得到未知函数满足的等式（方程）， 和已知函数建立联系，从而用已知函数表达未知函数 ◼ 利用已知函数对未知函数的表达，带入通解，得到定界问题 的解 ◆ 分离变量法： ◼ 分析方程，分离变量得到固有值问题以及其他的常微分方程 ◼ 求解固有值问题，得到固有函数系，并且将求得的固有值带 入其他常微分方程求解 ◼ 对应项相乘得到级数表达的第 n 项，然后线性叠加，得到形 式解 ◼ 通过定解条件确定级数形式的解中的系数
◆积分变换法和基本解方法在后续学习中再做讨论 》分析不同方法之间的联系，从而得到对于整体内容结构的认识 基本的思路：转化和化归 借鉴以往 学内容中的思想：行波法（通解法 ◆转化为以往所学的熟悉的内容：分离变量法和积分变换法。 这两种方法的核心想法都是希望可以把偏微分方程转化为常微 分方程，只是采用不同的手段，适用于不同的类型（有界和无界， 文次和非齐次笔) ◆基于叠加原理，将微元法应用于求解方程：基本解方法 ●针对分离变量法中的思想和理解难点进行简要分析： 令分离变量法的思想：转化为我们熟悉的常微分方程进行求解 分离恋最法的理论来源！ 分离变量法又称Fourier(得里叶)方法，而在讨论波动方程时也称它为 鞋波法】 此法来源于物理学中如下的事实：机械振动或电磁振动总可以分 解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加。而每个简谐振动具有形式 e+a)=ete,k=aw,这正是物理上所谓的驻波。从数学角度看，驻波就 是只含变量x的函数与只含变量t的函数的乘积，即具有变量分离的形式.由 此启发我们在解线性定解问题时，可尝试先求出满足齐次方程和齐次边界条件 的具有变量分离形式的解 u.(x.t)=X(xTn(t),n=1.2... 然后把它们叠加起来，记为 ,=∑cxar 利用初始条件确定各项中的任意常数，使其成为问题的解，这个求解的方法叫 分离变量法。 令分离变量法的操作举例： 下面，我们以两端图定的弦的自由振动为例介绍分离变量法。此定解问题为 a2u=0,00, u(0,)=0,u,t)-0,t≥0， (32.6 【(x,0)=fe),u红，0)=9(x,0≤x≤l, 其中，，9满足相容条件 f0)=f0=0,g(0)=g0=0. 分离变量法的步囊如下 (①)分离变量.先求方程仅满足齐次边界条件的形如 u(x,)=X(x)Tt)丰0 的解，将它代入方程井整理.得 %=得xer0o 上式左端只是自变量t的函数，而右端只是自变量工的函数.因此，当且仅当它 们都是常数时恒等式成立，记此常数为一入，得 r(t)+λa2Tt)=0.t>0 X"(x)+AX(x)=0.0<x<L 3.27)
◆ 积分变换法和基本解方法在后续学习中再做讨论 ➢ 分析不同方法之间的联系，从而得到对于整体内容结构的认识 ◆ 基本的思路：转化和化归 ◆ 借鉴以往所学内容中的思想：行波法（通解法） ◆ 转化为以往所学的熟悉的内容：分离变量法和积分变换法。 这两种方法的核心想法都是希望可以把偏微分方程转化为常微 分方程，只是采用不同的手段，适用于不同的类型（有界和无界， 齐次和非齐次等等） ◆ 基于叠加原理，将微元法应用于求解方程：基本解方法 ⚫ 针对分离变量法中的思想和理解难点进行简要分析： 分离变量法的思想：转化为我们熟悉的常微分方程进行求解 分离变量法的理论来源： 分离变量法的操作举例：
为使u(红，)满足边界条件，只须要求XO)=X(0=0即可. (2)解特征值问题.即求使常微分方程两点边值间题 32.8 有非零解的实数入值及其解，称这些入值为问题(3.2.8)的特征值，对应于入的 非零解X(工)叫做问题(3.2.8)的转征函数，其全体组成特征通数系.下面先求 特征值. (a)当入0时，若记入=k2(k>0),则得方程的通解为 X(x)■Acos+B sinkz. 由边界条件X(O)=0得A=0,再由X仞=0得B sin kl=0.因求非零解，B 不能取为零，故应有 k=匹或入=(，n=12,… (3.2.9 此即特征值问题(3.2.8)的特征值.相应的非零解，即特征函数是 X.(gj=Binx,n=1,2,…, (3.2.10 其中，B是任意常数.把(32.9)式的入代入(3.2.刀的第一个方程，解得 T()=C sin+D cost 其中，C心，D是任意常数 于是，函数 u.(z,t)=X.(z)T.(t) -(C.cost+D sin t)sin n=1.2. 满足(3.26)中方程和边界条件.其中，C.=BC,D,=BD、是任意常数，留 特确定 ,不能期望它满足问题(3.2.6) u红，)=∑(C.cosn+D,iman)血z (3.2.11） 如果级数(3.2.11)一致收且关于t逐项微分后仍一致收，则由初始条件得 uz,0)-∑Ca sin "z=fe, 4(红，0)=∑D.snx=gg
电思交，商用仪9是 严就分别是人，9在区间0，！上的正弦级数的系数，于是 c-e血平d (3.2.12) D.=品厂m"吧 把它们代入(3.2.11，就得到问题(3.2.6)的解。 ◇锂醒难占之存在性，即这样的级数解是否直的存在 怎数是可以遥所须南海对已知函袁以的路 还须 所1 个过程称为综合过程，我们 表述如下 并且人f 和 3.211,共中系数由3212 证明由32.12)中C的表达式出发，连续四次用分部积分公式，可得 C=器厂回血"平 于是 C. 其中 M=器∫ma 是常数.同理，D≤4，这里M也是常数.记M=M+M,则有 <c+1D.D≤w是 空M≤（学'c1+1D.D≤M停∑点 ∑Iahl<(学c+D.D≤w是 由此可知，由(32.12)所确定的级数(32.1)及其分别逐项徽商一为 的两 ”是 意圈定的正数 所 C解(3.2.11)的确 2.6)的古 意的是 这里对和g所加 牛是很强 买际 滑的情 引进弱鲜 可以把形式解看作题(3,2.6)的弱解.这样做，既扩充了解的概念，又适应 实际问题的要求 令理解难点之固有函数系上展开： 分离变量法的本质是在线性空间中寻找一组基，即完备的固有函数系， 进而将解、定解条件都在固有函数系上展开，比较对应项的系数得到解
理解难点之存在性，即这样的级数解是否真的存在： 理解难点之固有函数系上展开： 分离变量法的本质是在线性空间中寻找一组基，即完备的固有函数系， 进而将解、定解条件都在固有函数系上展开，比较对应项的系数得到解
的展开式系数。这里就涉及到一个重要的理论支持，即施刘定理。 施刘定理告诉我们： 在满足 厨，间致不条货的因有值对应省定各的正安有致系游孕 (比如有界区域，施刘方程的各项系数满足对应条件 数（特别地，方程的解、定解条件）可以在其上展开得到收敛的级数表 达形式。这样，我们的求解方法是有效的。 由此分析，我们之后可以更轻松地理解，在分离变量法处理非齐次方程 的时候的一类方法：固有函数展开法 ◇理解难点之系数求解： ◆正交性：加权正交，积分形式的表达（这也是为什么我们求解系 数的公式是一个积分形式的表达) ◆我们上面分析，求解过程实际上是把解和定解条件都在得到的固 有函数系上展开，然后进行求解。求解的过程就转化为了求解方 程解的级数表达的系数的 ◆怎么求解系数：对应项比较，即解的第n项和定解条件第n项比 较 ◆怎么操作： ■既然想比较第n项，那一定要想办法把第n项从解和定解条 件对应函数中提取出来 ■在求解过程中，我们已经把解写出了级数形式，自然不难写 出第n项的系数（其实我们就是要求解这个东西）。 ■定解条件如果直接写成级数表达（可能有时候定解条件就是 级数中的一项)，那自然方便，可以直接比较。 如果定解条件没有写成级数表达形式，那么我们需要提取出 第项。怎么提取呢？我们想象，把定解条件自己写成级 表达形式，这个时候系数是未知的。我们利用固有函数系的 正交性，在等式两边同时乘以固有函数第项以及权值函数， 并进行加权积分，这样，由于正交性，其他项的积分结果为 相当于只有第n项参与运算，这样，我们就得到了第n 项的系数
的展开式系数。这里就涉及到一个重要的理论支持，即施刘定理。 施刘定理告诉我们： 在满足一定条件（比如有界区域，施刘方程的各项系数满足对应条件） 时，可数个非负的固有值对应着完备的正交固有函数系，进而，任何函 数（特别地，方程的解、定解条件）可以在其上展开得到收敛的级数表 达形式。这样，我们的求解方法是有效的。 由此分析，我们之后可以更轻松地理解，在分离变量法处理非齐次方程 的时候的一类方法：固有函数展开法。 理解难点之系数求解： ◆ 正交性：加权正交，积分形式的表达（这也是为什么我们求解系 数的公式是一个积分形式的表达） ◆ 我们上面分析，求解过程实际上是把解和定解条件都在得到的固 有函数系上展开，然后进行求解。求解的过程就转化为了求解方 程解的级数表达的系数的问题。 ◆ 怎么求解系数：对应项比较，即解的第 n 项和定解条件第 n 项比 较 ◆ 怎么操作： ◼ 既然想比较第 n 项，那一定要想办法把第 n 项从解和定解条 件对应函数中提取出来。 ◼ 在求解过程中，我们已经把解写出了级数形式，自然不难写 出第 n 项的系数（其实我们就是要求解这个东西）。 ◼ 定解条件如果直接写成级数表达（可能有时候定解条件就是 级数中的一项），那自然方便，可以直接比较。 ◼ 如果定解条件没有写成级数表达形式，那么我们需要提取出 第 n 项。怎么提取呢？我们想象，把定解条件自己写成级数 表达形式，这个时候系数是未知的。我们利用固有函数系的 正交性，在等式两边同时乘以固有函数第 n 项以及权值函数， 并进行加权积分，这样，由于正交性，其他项的积分结果为 0，相当于只有第 n 项参与运算，这样，我们就得到了第 n 项的系数
