958 and 中国斜学我术大学 数理方程复习指导 学院：信息科学技术学院 专业：信息安全 姓名：高源 指导教师：谢如龙老师
数理方程复习指导 学 院：信息科学技术学院 专 业：信息安全 姓 名：高源 指导教师：谢如龙老师
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 目录 1写给数理方程08班的同学们的一封信 2本书的使用说明 5 2.1本书的设计初衷 2.2本书的设计思想 2.3本书的使用方法 6 3课程综述 8 3.1课程主要内容 3.2课程学习日标 8 3.3课程学习方法… 9 3.4课程学习中蕴含的转化思想… 9 3.5定解问题求解方法的使用条件 10 3.6数理方程课程中的三步走战略 小4小小444小…小0 11 4第一章综合复习 12 41主要内容… 12 4.2学习目标 12 4.3学习方法… 多 4.4应用变量代换求解偏微分方程通解… 13 4.5定解问题的书写 14 4.6行波法求解一维无界区域弦振动问题… 15 4.7一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓法 16 4.8可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 19 4.9通解法求解定解问题 21 5第二章综合复习… 22 5.1主要内容 22 5.2学习目标 22 5.3学习方法 23 5.4明确齐次方程的基本概念 23 1
数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 目录 1 写给数理方程 08 班的同学们的一封信 ······················································ 4 2 本书的使用说明 ··················································································· 5 2.1 本书的设计初衷 ·········································································· 5 2.2 本书的设计思想 ·········································································· 5 2.3 本书的使用方法 ·········································································· 6 3 课程综述 ···························································································· 8 3.1 课程主要内容 ············································································· 8 3.2 课程学习目标 ············································································· 8 3.3 课程学习方法 ············································································· 9 3.4 课程学习中蕴含的转化思想 ··························································· 9 3.5 定解问题求解方法的使用条件 ························································ 10 3.6 数理方程课程中的三步走战略 ························································ 11 4 第一章综合复习 ··················································································· 12 4.1 主要内容 ··················································································· 12 4.2 学习目标 ··················································································· 12 4.3 学习方法 ··················································································· 13 4.4 应用变量代换求解偏微分方程通解 ·················································· 13 4.5 定解问题的书写 ·········································································· 14 4.6 行波法求解一维无界区域弦振动问题 ··············································· 15 4.7 一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓法 ······················· 16 4.8 可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 ·························· 19 4.9 通解法求解定解问题 ···································································· 21 5 第二章综合复习 ··················································································· 22 5.1 主要内容 ··················································································· 22 5.2 学习目标 ··················································································· 22 5.3 学习方法 ··················································································· 23 5.4 明确齐次方程的基本概念 ······························································ 23 1
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 5.5对于不满足施刘定理的问题的处理 24 5.6根据自然语言描述的物理问题书写定解问题并求解 26 5.7验证固有值问题是否满足施刘定理使用条件 28 5.8非齐次方程的求解 29 5.9非齐次边界的处理 31 6第三章综合复习33 6.1主要内容 33 6.2学习目标 33 6.3学习方法 34 6.4应用贝塞尔函数的母函数及其积分表示进行积分求解 34 6.5利用贝塞尔函数的递推关系进行积分求解 6.6给定函数的贝塞尔级数展开 36 6.7使用分离变量法结合贝塞尔函数求解定解问题 6 6.8应用勒让德多项式的性质和递推关系求解积分 37 6.9勒让德多项式的重要积分…38 6.10给定函数的勒让德级数展开… 39 6.11利用分离变量法结合勒让德函数求解定解问题 39 7第四章综合复习… 41 7.1主要内容 41 7.2学习目标 41 7.3学习方法 7.4利用傅里叶变换求解定解问题 7.5利用正余弦变换求解定解问题 43 7.6利用拉普拉斯变换求解定解问题 44 77利用傅里叶变换和拉普拉斯变换进行求解… 5 8第五章综合复习… 48 8.1主要内容 …………0 48 8.2学习目标 48 8.3学习方法 49 8.4关于6函数的等式的证明 49 8.56函数积分表示的应用 49 8.6利用镜像法求解格林函数 50 87利用分离变量法求解格林函数 52 8.8利用基本解方法求解定解问题 53
数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 5.5 对于不满足施刘定理的问题的处理 ·················································· 24 5.6 根据自然语言描述的物理问题书写定解问题并求解 ····························· 26 5.7 验证固有值问题是否满足施刘定理使用条件 ······································ 28 5.8 非齐次方程的求解 ······································································· 29 5.9 非齐次边界的处理 ······································································· 31 6 第三章综合复习 ··················································································· 33 6.1 主要内容 ··················································································· 33 6.2 学习目标 ··················································································· 33 6.3 学习方法 ··················································································· 34 6.4 应用贝塞尔函数的母函数及其积分表示进行积分求解 ·························· 34 6.5 利用贝塞尔函数的递推关系进行积分求解 ········································· 35 6.6 给定函数的贝塞尔级数展开 ··························································· 36 6.7 使用分离变量法结合贝塞尔函数求解定解问题 ··································· 36 6.8 应用勒让德多项式的性质和递推关系求解积分 ··································· 37 6.9 勒让德多项式的重要积分 ······························································ 38 6.10 给定函数的勒让德级数展开 ·························································· 39 6.11 利用分离变量法结合勒让德函数求解定解问题 ·································· 39 7 第四章综合复习 ··················································································· 41 7.1 主要内容 ··················································································· 41 7.2 学习目标 ··················································································· 41 7.3 学习方法 ··················································································· 41 7.4 利用傅里叶变换求解定解问题 ························································ 42 7.5 利用正余弦变换求解定解问题 ························································ 43 7.6 利用拉普拉斯变换求解定解问题 ····················································· 44 7.7 利用傅里叶变换和拉普拉斯变换进行求解 ········································· 45 8 第五章综合复习 ··················································································· 48 8.1 主要内容 ··················································································· 48 8.2 学习目标 ··················································································· 48 8.3 学习方法 ··················································································· 49 8.4 关于 δ 函数的等式的证明 ······························································ 49 8.5 δ 函数积分表示的应用 ·································································· 49 8.6 利用镜像法求解格林函数 ······························································ 50 8.7 利用分离变量法求解格林函数 ························································ 52 8.8 利用基本解方法求解定解问题 ························································ 53 2
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 9综合复习课讲义… 55 9.1定解问题的书写 55 9.2行波法求解定解问题（并和积分变换法作比较） 57 9.3齐次化原理的应用 59 9.4分离变量法求解定解问题 62 9.5积分变换法求解定解问题 67 9.66函数的性质 68 9.7基本解方法求解定解问题 69 10经典问题专题 . 71 10.1简介… 71 10.2函数变换法的应用 10.3微元法分析书写定解问题…73 10.4阻尼振动问题… 4………75 10.5勒让德多项式的递推公式推导 77 10.6一类重要的函数的傅里叶变换求解的特殊方法 78 10.7分离变量法求解基本解 80 11期末复习试卷 … 82 12期末模拟试卷 89 13期末模拟试卷参考答案 95 14总结… .103 15致谢…104
数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 9 综合复习课讲义 ··················································································· 55 9.1 定解问题的书写 ·········································································· 55 9.2 行波法求解定解问题（并和积分变换法作比较） ································ 57 9.3 齐次化原理的应用 ······································································· 59 9.4 分离变量法求解定解问题 ······························································ 62 9.5 积分变换法求解定解问题 ······························································ 67 9.6 δ 函数的性质 ·············································································· 68 9.7 基本解方法求解定解问题 ······························································ 69 10 经典问题专题 ···················································································· 71 10.1 简介 ························································································ 71 10.2 函数变换法的应用 ······································································ 71 10.3 微元法分析书写定解问题 ····························································· 73 10.4 阻尼振动问题 ············································································ 75 10.5 勒让德多项式的递推公式推导 ······················································· 77 10.6 一类重要的函数的傅里叶变换求解的特殊方法 ·································· 78 10.7 分离变量法求解基本解 ································································ 80 11 期末复习试卷 ···················································································· 82 12 期末模拟试卷 ···················································································· 89 13 期末模拟试卷参考答案 ········································································ 95 14 总结 ································································································ 103 15 致谢 ································································································ 104 3
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 写给数理方程08班的同学们的一封信 亲爱的2020春数理方程08班的同学们，你们好 这本《数理方程复习指导》在几个月的努力下终于和大家见面了。这学期是 我第一次当助教，而且由于特殊情况我们的课堂教学、习题课讨论等过程只能在 线上进行。考虑到各种原因，这一个学期在和大家的交流中我也在一直寻找合适 的方法能够尽自己所能为大家提供帮助，最终能够和大家一起顺利完成这门课程 的学习。 综合各种考虑，我决定制作这本《数理方程复习指导》，希望能够和大家分享 学习数理方程的方法、经验，以及遇到的困难。衷心希望这本复习指导能够对大 家有所帮助，也希望大家都能够圆满地完成这学期的学习。 遇到我们这个大家庭的每一个成员都让我感到幸运，衷心希望能够和大家一 起变得更好。 2020
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 写给数理方程 08 班的同学们的一封信 亲爱的 2020 春数理方程 08 班的同学们，你们好: 这本《数理方程复习指导》在几个月的努力下终于和大家见面了。这学期是 我第一次当助教，而且由于特殊情况我们的课堂教学、习题课讨论等过程只能在 线上进行。考虑到各种原因，这一个学期在和大家的交流中我也在一直寻找合适 的方法能够尽自己所能为大家提供帮助，最终能够和大家一起顺利完成这门课程 的学习。 综合各种考虑，我决定制作这本《数理方程复习指导》，希望能够和大家分享 学习数理方程的方法、经验，以及遇到的困难。衷心希望这本复习指导能够对大 家有所帮助，也希望大家都能够圆满地完成这学期的学习。 遇到我们这个大家庭的每一个成员都让我感到幸运，衷心希望能够和大家一 起变得更好。 4
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 本书的使用说明 2.1本书的设计初衷 这本《数理方程复习指导》的设计初衷是，希望可以帮助大家复习。主要希望可以 解决的问题有： 1.没有建立课程的知识体系 2.没有理解课程的重点 0 3.不清楚目前自己会哪些内容，不会哪些内容 4.不清楚考试会考哪些内容 5.不清楚自己应该从哪些方面着手复习，重点是什么，按照自己的考试预期，至少 应该掌握什么 2.2本书的设计思想 首先，这本复习指导是在我的学习笔记以及参考大量学习指导、习题指导、习题集 的基础上制作的，其中学习指导等部分重点参考姚端正老师编著的《数学物理方法学习 指导》、吴崇试老师编著的《数学物理方法习题指导》以及经典的《数学物理方法习题 集》。这本复习指导的制作是按照这样的流程进行的。 1.首先我总结归纳课程主要内容、学习目标以及学习方法，综合比较各种求解方法 的使用条件以及选择原则，并总结提出数理方程求解定解问题的三步走战略。 2.接着，对应每一章的内容，分别进行归纳整理。站在大家复习备考的角度，我在 总结每部分的主要内容和学习目标的时候，会用“了解”、“理解”、“掌握”、“热 练掌握”等词语来标识对应知识点对于考试来说的重要程度。具体分析请见“本 书的使用方法”板块。 3.对应于每一部分的知识点，对于本课程来说主要就是每一种求解方法，我会按照 归纳整理出来的这一部分要掌握的重点内容设计例题，主要涉及参考各种学习指
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 本书的使用说明 2.1 本书的设计初衷 这本《数理方程复习指导》的设计初衷是，希望可以帮助大家复习。主要希望可以 解决的问题有： 1. 没有建立课程的知识体系 2. 没有理解课程的重点 3. 不清楚目前自己会哪些内容，不会哪些内容 4. 不清楚考试会考哪些内容 5. 不清楚自己应该从哪些方面着手复习，重点是什么，按照自己的考试预期，至少 应该掌握什么 2.2 本书的设计思想 首先，这本复习指导是在我的学习笔记以及参考大量学习指导、习题指导、习题集 的基础上制作的，其中学习指导等部分重点参考姚端正老师编著的《数学物理方法学习 指导》、吴崇试老师编著的《数学物理方法习题指导》以及经典的《数学物理方法习题 集》。这本复习指导的制作是按照这样的流程进行的。 1. 首先我总结归纳课程主要内容、学习目标以及学习方法，综合比较各种求解方法 的使用条件以及选择原则，并总结提出数理方程求解定解问题的三步走战略。 2. 接着，对应每一章的内容，分别进行归纳整理。站在大家复习备考的角度，我在 总结每部分的主要内容和学习目标的时候，会用“了解”、“理解”、“掌握”、“熟 练掌握”等词语来标识对应知识点对于考试来说的重要程度。具体分析请见“本 书的使用方法”板块。 3. 对应于每一部分的知识点，对于本课程来说主要就是每一种求解方法，我会按照 归纳整理出来的这一部分要掌握的重点内容设计例题，主要涉及参考各种学习指 5
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 导、习题集等并适当地改编，另外会适当添加解题过程部分的分析过程说明，以 方便说明这类问题的分析思路以及解题原则。 4.对应每一部分的题目，按照题目类型归纳简洁的说明作为例题的分类介绍。其中 一道例题会代表一类问题。有些问题会以不同的形式呈现在不同章节中，比如教 材上在讲述非齐次方程使用分离变量法求解的部分提到用拉普拉斯变换法求解常 微分方程定值问题，这个也是建议掌握的内容，对应在这本复习指导中，我以综 合运用傅里叶变换和拉普拉斯变换求解定解问题的形式呈现，其中拉普拉斯变仍 然是应用于求解常微分方程，只不过在这里对应的是傅里叶变换后得到的像函数 满足的常微分方程。 2.3本书的使用方法 温馨提示：以本书作为辅助，配合课程回放、老师的板书、教材以及自己记录的课 堂笔记，食用效果更好哦！ 1.首先本书主要是作为复习过程的指导建议，对于知识点部分只是做出归纳总结， 但没有详细说明，具体内容仍要对应教材等。 2.如果觉得自己的状态是“课程学习的时候有些地方就不太清晰”，那建议对照教材 等资料，每章对应地复习。在复习时，可以首先看一下这一章的重点内容，然后 回归教材，并对照笔记。如果有看不懂的地方，可以看看课程回放，反复听一听， 或者和同学、助教讨论，如果觉得以上方法效果不好可以在合适的时间请教老师。 3.如果觉得自己的状态是“学习的时候学每一部分都还好，大概都懂，做题不太顺 利”，那建议对应做题不顺利的地方，在本书目录部分查找对应类型题目，然后进 行查看。说明，本书的pf版本提供书签，方便大家可选择性查看。 4.如果觉得自己的状态是“学习理论部分还可以，做题虽然慢但是大体都还会做”， 那建议从知识点出发进行复习，查看每章的总结部分，对应思考，这一个知识点 是否还有印象，如果没有，对应的去看教材等。然后在复习完本章知识点后，查 看目录，看对应每章的类型题总结，思考是否对某一类型题不熟练，如果是，可 以查看相关例题。 5.如果觉得自己的状态是“学习还算顺利”，那如果想使用本书进行复习，建议翻看 每章的前面部分，对应每章的重点内容，浏览一下然后总结自己是否有还不熟练 的知识点或者没注意到的重点。对应看教材、笔记等进行复习。 6.如果觉得自己的状态是“学得挺好的，如果有点例题看看也不错”，那如果对本书 感兴趣，可以看看总结归纳的例题。 6
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 导、习题集等并适当地改编，另外会适当添加解题过程部分的分析过程说明，以 方便说明这类问题的分析思路以及解题原则。 4. 对应每一部分的题目，按照题目类型归纳简洁的说明作为例题的分类介绍。其中 一道例题会代表一类问题。有些问题会以不同的形式呈现在不同章节中，比如教 材上在讲述非齐次方程使用分离变量法求解的部分提到用拉普拉斯变换法求解常 微分方程定值问题，这个也是建议掌握的内容，对应在这本复习指导中，我以综 合运用傅里叶变换和拉普拉斯变换求解定解问题的形式呈现，其中拉普拉斯变仍 然是应用于求解常微分方程，只不过在这里对应的是傅里叶变换后得到的像函数 满足的常微分方程。 2.3 本书的使用方法 温馨提示：以本书作为辅助，配合课程回放、老师的板书、教材以及自己记录的课 堂笔记，食用效果更好哦！ 1. 首先本书主要是作为复习过程的指导建议，对于知识点部分只是做出归纳总结， 但没有详细说明，具体内容仍要对应教材等。 2. 如果觉得自己的状态是“课程学习的时候有些地方就不太清晰”，那建议对照教材 等资料，每章对应地复习。在复习时，可以首先看一下这一章的重点内容，然后 回归教材，并对照笔记。如果有看不懂的地方，可以看看课程回放，反复听一听， 或者和同学、助教讨论，如果觉得以上方法效果不好可以在合适的时间请教老师。 3. 如果觉得自己的状态是“学习的时候学每一部分都还好，大概都懂，做题不太顺 利”，那建议对应做题不顺利的地方，在本书目录部分查找对应类型题目，然后进 行查看。说明，本书的 pdf 版本提供书签，方便大家可选择性查看。 4. 如果觉得自己的状态是“学习理论部分还可以，做题虽然慢但是大体都还会做”， 那建议从知识点出发进行复习，查看每章的总结部分，对应思考，这一个知识点 是否还有印象，如果没有，对应的去看教材等。然后在复习完本章知识点后，查 看目录，看对应每章的类型题总结，思考是否对某一类型题不熟练，如果是，可 以查看相关例题。 5. 如果觉得自己的状态是“学习还算顺利”，那如果想使用本书进行复习，建议翻看 每章的前面部分，对应每章的重点内容，浏览一下然后总结自己是否有还不熟练 的知识点或者没注意到的重点。对应看教材、笔记等进行复习。 6. 如果觉得自己的状态是“学得挺好的，如果有点例题看看也不错”，那如果对本书 感兴趣，可以看看总结归纳的例题。 6
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 7.另外，建议使用本书的时候，复习每一部分和建立整体知识体系都要注意，并且 注意例题并不是孤立地对应一章，有时候会有综合性的例题，可以看看这种类型 题目是怎样考察的。 祝食用愉快！ 2020春数理方程08班
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 7. 另外，建议使用本书的时候，复习每一部分和建立整体知识体系都要注意，并且 注意例题并不是孤立地对应一章，有时候会有综合性的例题，可以看看这种类型 题目是怎样考察的。 祝食用愉快！ 7
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 课程综述 3.1课程主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 班 数理方程的建立过程 三类常见方程及其对应的定解问题的书写及对应的物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题的基本操作 延拓法的基本思想和应用 通解法求解一类定解问题的基本操作 分离变量法求解有界区域问题的基本操作 应用特殊函数实现分离变量法在柱坐标和球坐标系下分离变量得到的固有值问题 求解 傅里叶变换法求解无界区域问题的基本操作 正余弦变换的应用 拉普拉斯变换求解半无界区域问题的基本操作 基本解方法求解定解问题的基本操作 3.2课程学习目标 掌握数理方程的基本概念 理解数理方程的建立过程 理解三类重要方程及其对应的定解问题中的元素的物理意义
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 课程综述 3.1 课程主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 数理方程的建立过程 三类常见方程及其对应的定解问题的书写及对应的物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题的基本操作 延拓法的基本思想和应用 通解法求解一类定解问题的基本操作 分离变量法求解有界区域问题的基本操作 应用特殊函数实现分离变量法在柱坐标和球坐标系下分离变量得到的固有值问题 求解 傅里叶变换法求解无界区域问题的基本操作 正余弦变换的应用 拉普拉斯变换求解半无界区域问题的基本操作 基本解方法求解定解问题的基本操作 3.2 课程学习目标 掌握数理方程的基本概念 理解数理方程的建立过程 理解三类重要方程及其对应的定解问题中的元素的物理意义 8
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 熟练掌握根据自然语言描述的物理过程书写定解问题的方法 熟练学握各种定解问题求解方法的适用范围 熟练掌握各种定解问题求解方法的具体操作 3.3课程学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类，明确我们的分类是和不同求 解方法的使用条件相对应的 熟练掌握定解问题的各个组成元素对应的物理意义 熟练掌握三类重要方程及其定解问题的书写 熟练掌握求解定解问题的方法的使用条件和具体操作 班 3.4课程学习中蕴含的转化思想 转化思想是数学学习中的重要思想之一，其根本想法是把不熟悉的问题和熟悉的 问题建立联系，进而实现求解。在这门课程中，主要学习几类偏微分方程的求解方法， 其中蕴含着转化的思想，理解了这一点会有助于知识体系结构的建立和对于各种求解方 法的理解。 借鉴 行波法的转化思想体现在借鉴常微分方程的定值问题求解，首先求得泛定方 程通解，进而根据定解条件得到解。但由于偏微分方程的通解我们只熟悉几 类常见问题，其他问题求解难度较大，所以，我们要思考，其他的转化思路， 以实现能够顺利求解三类重要方程对应的定解问题 转化为常微分方程 分离变量法和积分变换法的转化思想体现在把偏微分方程的定解问题求解转 化为常微分方程定值问题求解，其中分离变量法通过将解和定解条件在固有 函数系上展开实现转化操作，积分变换法通过使用积分变换并利用积分变换 的性质实现转化操作 转化为特殊定解问题 基本解方法的转化思想体现在将一般的定解问题转化为特殊的定解问题，结 合物理意义以及叠加原理，实现转化和求解 9
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 熟练掌握根据自然语言描述的物理过程书写定解问题的方法 熟练掌握各种定解问题求解方法的适用范围 熟练掌握各种定解问题求解方法的具体操作 3.3 课程学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类，明确我们的分类是和不同求 解方法的使用条件相对应的 熟练掌握定解问题的各个组成元素对应的物理意义 熟练掌握三类重要方程及其定解问题的书写 熟练掌握求解定解问题的方法的使用条件和具体操作 3.4 课程学习中蕴含的转化思想 转化思想是数学学习中的重要思想之一，其根本想法是把不熟悉的问题和熟悉的 问题建立联系，进而实现求解。在这门课程中，主要学习几类偏微分方程的求解方法， 其中蕴含着转化的思想，理解了这一点会有助于知识体系结构的建立和对于各种求解方 法的理解。 借鉴 行波法的转化思想体现在借鉴常微分方程的定值问题求解，首先求得泛定方 程通解，进而根据定解条件得到解。但由于偏微分方程的通解我们只熟悉几 类常见问题，其他问题求解难度较大，所以，我们要思考，其他的转化思路， 以实现能够顺利求解三类重要方程对应的定解问题 转化为常微分方程 分离变量法和积分变换法的转化思想体现在把偏微分方程的定解问题求解转 化为常微分方程定值问题求解，其中分离变量法通过将解和定解条件在固有 函数系上展开实现转化操作，积分变换法通过使用积分变换并利用积分变换 的性质实现转化操作 转化为特殊定解问题 基本解方法的转化思想体现在将一般的定解问题转化为特殊的定解问题，结 合物理意义以及叠加原理，实现转化和求解 9