第六章空间解析几何和向量代数题库 一、选释题 1、下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角-一 (中等) (A)30°，45°，60°(B)45°，60°，90°(C)60°，90°，120°(D)45°，90°，1350 2、点(a.b,c)关于y轴的对称点坐标为 《)〔中等) (A)(-a,-b.-c） (B)(-a.b.-c) (C)(-a,bc) (D》(a.-b,c) 3、己知A(10,2)12.1是空间两点。向量AB的核是：《) (较易) A)5 B)3 C)6 D)9 4.设a1,-1,3!,b-2,-l2引，求-32b是：() (较号) A）{-l,1,51 B》f-1,-l51. C){l,-1,51 D)f-l,-161 5,己知向量PO={4,-4,7}的终点为Q(2,-1,7),则起点P的坐标为()：（较易 A.(-230, B、(2,-30) C、(4,-514): D.(-4,5,14 6、零向量的方向（方（较易） A、是一定的：B、是任意的：C、与坐标拍间的夹角相等：D、以上结论都不对。 T、单位向量的方向()：（较易） A、必相等：B、不相等：C、不一定相等：D、向量的方向必相同。 8、两个单位白量()：（较号） A、是一定的：B、是任意的：C、与坐标轴间的夹角相等：D、以上结论都不对。 9、下列关系式错误的是-一 -一()较易) (A)a-b=b-aBa×b=-b×aCga2a2D)a×a=0 10、设0=7-k,B=27+3+K,求Gxb是：（）《较难) A)-7-27+5B)-7-7+3f C)-i-j+5 D)37-37+3 1、已知向量“=儿1则垂直于口及'轴的单位向量5。（方（陶 A万-1明B-11啡 c方-1g D方a- 12.设4ABC的顶点为430,2)，5,3)C0,-L,3),求三角形的面积是：（)（较垂） A)36 B)36 D)3 理科韶方玲玲编摘 1
理科部方玲玲编撰 1 第六章空间解析几何和向量代数题库 一、选择题： 1、下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角-----------------------------（ ） （中等) （A） 30 , 45 , 60 （B） 45 , 60 , 90 （C） 60 , 90 , 120 （D） 45 , 90 , 135 2、点 (a,b, c) 关于 y 轴的对称点坐标为---------------------------------------（ ） （中等） （A） (−a,−b,−c) （B） (−a, b,−c) （C） (−a, b, c) （D） (a,−b, c) 3、已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是： （ ） （较易 ） A ） 5 B） 3 C） 6 D）9 4、设 a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求 c=3a-2b 是： （ ） (较易) A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}. 5、 已知向量 PQ = − 4, 4,7 的终点为 Q(2, 1,7 , − ) 则起点 P 的坐标为 （ ）； (较易) A、(−2,3,0 ;) B 、(2, 3,0 ; − ) C 、(4, 5,14 ; − ) D 、(−4,5,14 .) 6、零向量的方向（ ）； (较易) A 、是一定的； B 、是任意的； C 、与坐标轴间的夹角相等； D 、以上结论都不对。 7、单位向量的方向 （ ）； (较易) A 、必相等； B 、不相等； C 、不一定相等； D 、向量的方向必相同。 8、两个单位向量（ ）； (较易) A 、是一定的； B 、是任意的； C 、与坐标轴间的夹角相等； D 、以上结论都不对。 9、下列关系式错误的是---------------------------------------------------------（ ） (较易) (A) a b b a = (B) a b b a = − (C) 2 2 a | a | = (D) a a = 0 10、设 a i k b i j k = − = + + , 2 3 , 求 a b 是：（ ） （较难） A ） i j k − − 2 + 5 B） i j k − − + 3 C） i j k − − + 5 D） i j k 3 −3 + 3 11、已知向量 a = 1,1,1 , 则垂直于 a 及 y 轴的单位向量 b = （ ）；(难) A ) 1 1, 1,1 ; 3 − B ) −1,1,0 ; C ) 1 1, 1,0 ; 2 − D ) 1,0, 1 2 1 − 12、设⊿ ABC 的顶点为 A B C (3,0,2), (5,3,1), (0, 1,3) − ，求三角形的面积是：（ ）(较难) A ） 2 3 6 B） 3 6 C） 3 2 D）3
13、在空间直角坐标系下，方程3x+5y=0的图形表示为()（较易） A)通过源点的直线：B)垂直于：轴的直线：C)垂直于：轴的平面：D通过：轴的平面 14、平面x+y+=0(方（中等） A》平行于x轴： B》平行于y轴：C)平行于：轴： D)过源点： 15、求两平面x+2y-:-3=0和2x+y+:+5=0的夹角是：《)（中等） )员 B) C) D)是 4 16、平面艺+二+=1与平面2x+3y-4:=1的位置关系是 ).(较难) 234 (A)相交但不垂直B)互相垂直(C)平行但不重合 D)互相重合 17、设空何直线方程兰=上=三，则此直线经过的点是《为（较易） 012 A、(0.0.0 B、(0,1.0 C、(00) D、(212) 18、直线L::2.+2。二3与平面：+y+:=3的位置关系为《)（较难） 3 1 -4 (A)平行 (B)垂直 (C)斜交 (D)L在平面Π上 19、空间直线.y+2。号与平面3x-2y+7:-1的相互位置关系是（)《软难) 3 -27 (A)互相平行但不相交(B)互相垂直(C)不平行也不垂直(D)直线在平面内 20、.平面x+√26y+3知-3=0与x0y面夹角为 )(较难】 w君 B》日 号 四号 21、通过点M（-5,2,-),且平行于红平面的平面方程为《力《较难) A)x+5=0 B)y-2=0 C):+1=0 D)x-1=0. 22、2x+3y+4:=1在x.只：轴上的截距分别为()1（较易） A)2,34 B)'11 234 02 D2} 28.求平行于：轴。且过点M,,0,和M(2-1)的平面方程.是()（做易） A)2x+3y-50B)xy+1-0C)xy+1-0 D)x+y-1=0 24、设平面方程为B+C+D=0,且B,C,D≠0，则平面( )(较号) (A)平行于x轴(B)平行于y轴(C)经过y轴 (D)垂直 理科韶方骨持编横 2
理科部方玲玲编撰 2 13、在空间直角坐标系下，方程 3 5 0 x y + = 的图形表示为（ ）（较易） A )通过原点的直线； B )垂直于 z 轴的直线； C )垂直于 z 轴的平面； D )通过 z 轴的平面 14、平面 x y z + + = 0 （ ）；（中等） A ）平行于 x 轴； B ）平行于 y 轴； C ）平行于 z 轴； D ）过原点。 15、求两平面 x + 2y − z − 3 = 0 和 2x + y + z + 5 = 0 的夹角是：（ ）（中等） A ） 2 B） 4 C） 3 D） 16、平面 1 2 3 4 x y z + + = 与平面 2 3 4 1 x y z + − = 的位置关系是( )．（较难） (A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合 17、设空间直线方程 , 0 1 2 x y z = = 则此直线经过的点是（ ）；（较易） A、(0,0,0 ;) B 、(0,1,0 ;) C 、(0,0,1 ;) D 、(2,1,2 .) 18、直线 4 3 1 2 3 2 : − − = + = x − y z L 与平面 : x + y + z = 3 的位置关系为（ ）（较难） （A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D） L 在平面 上 19、空间直线 1 2 3 2 7 x y z − + = = − 与平面 3 2 7 1 x y z − + = 的相互位置关系是（ ）（较难） （A）互相平行但不相交 （B）互相垂直 （C）不平行也不垂直 （D）直线在平面内 20、. 平面 x + 26 y + 3z − 3 = 0 与 xoy 面夹角为---------------------（ ）（较难） （A） 6 （B） 4 （C） 3 （D） 2 21、通过点 M (− − 5,2, 1 ,) 且平行于 yoz 平面的平面方程为（ ）；（较难） A ) x + = 5 0; B ) y − = 2 0; C ) z + =1 0; D ) x − =1 0. 22、 2 3 4 1 x y z + + = 在 x y z , , 轴上的截距分别为（ ）；(较易) A ) 2,3,4; B ) 111 , , ; 234 C ) 3 1, ,2; 2 D ) ,1 3 4 2, 23、求平行于 z 轴，且过点 (1,0,1) M1 和 (2, 1,1) M2 − 的平面方程．是（ ）(较易) A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D） x + y −1 = 0 ． 24、设平面方程为 Bx Cz D + + = 0 ，且 B C D , , 0 ，则平面( )(较易) （A）平行于 x 轴 （B）平行于 y 轴 （C）经过 y 轴 （D）垂直
.y-1.+2 25、求点M(2,-l10)到直线L:321的距离是：《)( A)V138 剧118 C)V158 D)1 25、在空间直角坐标系下，方程3x+5y=0的图形表示为()：（中等） A)通过单点的直线：B)垂直于：触的直线：C)垂直于：轴的平面：D)通过：轴的平面。 27 在空间直角坐标系里表示()1（较易》 =2 A)一个点： B)两条直线：C)两个平面的交线，即直线 D)两个点。 28、下列曲面中经过原点的曲而是()：（较易） A)x=y+2+2B)x2+y2+:2=上C)5=y2+2；D)=(x++y2 1=5 29、将白线 「绕：轴旋转一周，所得的曲面为()（较难） x=0 (A)圆锥面 (B)旋转抛物面 (C)球面 (D)抛物柱面 3动、在空间直角坐标系中，x2+2=36是(）较易) (A)圆 (B)球 (C)一点 (D)圆柱面 + 31. 49 “在空间直角坐标系里表示()：（中等） x= A)一个点： B)平面x=l:C)桃烟上+三=1 D)料概面. 49 二、填空题 1、若A1,-1,3,B1,30),则AB中点坐标为(L,1,-,|AB上 (较号》 2,若a.B,y为向量石的方向角，则C0s°a+cosB+cosy■ sna+sinB+sn'y= (中等) 3,平行于向量a=(67,-6)的单位向量为 1(较易) 4,已知A-1,2,-4).B6-2.0,且|AB=9,则(1)1= :(2》找段AB的中点坐标为 。(中等) 5、a=(11,-2)与b=（-2,-2,4)的位置关氛为 (较易) 6、ā=(2.-3.1)与b=(42-2)的位置关系 (中等) 师科部方玲丹编损
理科部方玲玲编撰 3 25、 求点 M (2,−1,10) 到直线 L： 1 2 2 1 3 + = − = x y z 的距离是：（ ）(难) A ） 138 B) 118 C） 158 D） 1 26、在空间直角坐标系下，方程 3 5 0 x y + = 的图形表示为（ ）；(中等) A ）通过原点的直线； B ）垂直于 z 轴的直线； C ）垂直于 z 轴的平面； D ）通过 z 轴的平面。 27、 1 2 x y = = 在空间直角坐标系里表示（ ）；(较易) A ）一个点； B ）两条直线； C ）两个平面的交线，即直线 D ）两个点。 28、下列曲面中经过原点的曲面是（ ）；(较易) A ） 2 x y z = + + 2; B ） 2 2 2 x y z + + =1; C ） 2 2 z y xy = + ; D ） 2 2 z x y = + + ( 1) . 29、将曲线 2 5 0 y z x = = 绕 z 轴旋转一周，所得的曲面为（ ）(较难) （A）圆锥面 （B）旋转抛物面 （C）椭球面 （D）抛物柱面 30、在空间直角坐标系中， 2 2 x y + = 36 是（ ）(较易) （A）圆 （B）球 （C）一点 （D）圆柱面 31、 2 2 2 1 4 9 1 y z x x + + = = 在空间直角坐标系里表示（ ）；(中等) A )一个点； B )平面 x =1 ； C )椭圆 2 2 1 4 9 y z + = D )椭圆面。 二、填空题 1、若 A(1,−1, 3), B(1, 3, 0) ，则 AB 中点坐标为_ 3 (1,1, ) 2 _，| AB |= (较易) 2、若 ,, 为向量 a 的方向角，则 + + = 2 2 2 cos cos cos ______ __ + + = 2 2 2 sin sin sin ___________ .(中等) 3、平行于向量 a = (6,7,−6) 的单位向量为__________________；（较易） 4、已知 A(−1, 2,−4)， B(6,−2, t) ，且 | AB |= 9 ，则（1） t = __________；（2）线段 AB 的中点坐标为 ______________________。（中等） 5、 a = (1,1,−2) 与 b = (−2,−2,4) 的位置关系为____________(较易) 6、 a = (2,−3,1) 与 b = (4,2,−2) 的位置关系___________ （中等）
7、已知同=2，月=5，且a6=2,则×=一较) 8、a,b=3axb=l1.l月.则∠(a,b)- (中等) 9、设a=(3-12).b=12-1D,则a-b= a×b.= (较难) 10、已知O=i+3派，OB=了+3派，求△04B的面积- 〔较难) 1山、通过原点且垂直于直线1：-2.+2.一8的平雨方程为 较易) 3 -25 12、平围x+2y-4:=0与平面2x+4y-8:=1.的位置关系 (较易) 13、平面2x-y+3班=1与平面3x-2:■4.的位置关系 (较易) 14、直线-3=+！.-3与直线：1 2kk+1 5 -y+5=号相互直w 《较易) k-2 15、点(1,2,3)到平面3x+4y-12:+12=0的距离5 (较易) 16、点(1,2)到平面x+2y+2:-10=0的距离为 (较易) 17、求两平行平而3x+6y-2-7=0,3x+6y-2:+14=0阿的距离： (较难) 18.(1)过点P1,2,3)且垂直于平面3x-4y+:=10的直线方程 :《较易) (2)过点PL,23)且平行于直线-3=-2=的直线方程 3 ；(较易) -2 (3)过点PL,2,3)和点Q3,3,)的直线方程 ；(中等) 19、将0坐标面上的双曲线4r-9y一36绕x轴求所生成的院转曲面的方程 绕y轴能转一周，求所生成的旋转曲面的方程 一1（较难） (1)将x0好坐标面上的y2=2x绕x轴旋转一周。生成的曲面方程为 曲面名称为 (较难) 20、以点(13，一2)为球心，且通过坐标源点的球面方程为 ,(较易) 三、计算思 1、设己知两点M,(4.√2.1)和M,(3,0,2),计算向量M,M2的模，方向余弦和方向角.（较易） 2、设a=3f-j-2k,B=i+2j-k,求1)d-b及a×b:(2X-2)-3站及a×2b(3)a、b的夹角 的余弦.（较易） 3.已知日=l,园=5a6-3.试球：)x(2)[a+i)x(a-b列] 理科韶方玲玲编摘
理科部方玲玲编撰 4 7、已知 a = 2， b = 2 ，且 a b = 2 ，则 a b = ．(较难) 8、 a b = 3,a b ={1,1,1}, (a,b) = ______________ 则 （中等） 9、设 a =（3,−1,2） ，b =（1,2,−1） ，则 a b =___________ a b. =______________ (较难) 10、已知 OA i k OB j k = +3 , = +3 ，求 OAB 的面积=____________________（较难） 11、通过原点且垂直于直线 2 2 8 : 3 2 5 x y z l − + − = = − 的平面方程为 ,(较易) 12、平面 x + 2y − 4z = 0 与平面 2x + 4y − 8z = 1. 的位置关系 ______ _____(较易) 13、平面 2x − y + 3z = 1 与平面 3x − 2z = 4. 的位置关系_______________(较易) 14、直线 5 3 1 1 2 3 − = + + = − z k y k x 与直线 2 2 5 3 1 − + = + = − k z y x 相互垂直则 k=___________。(较易) 15、点 (1,2,3) 到平面 3x + 4y −12z +12 = 0 的距离 d=____________ (较易) 16、 点 (1, 2,1) 到平面 x + 2 y + 2z −10 = 0 的距离为 _____________(较易) 17、求两平行平面 3x + 6y − 2z − 7 = 0 ，3x + 6y − 2z +14 = 0 间的距离：__________（较难） 18．（1）过点 P(1, 2,3) 且垂直于平面 3 4 10 x y z − + = 的直线方程______________________；（较易） （2）过点 P(1, 2,3) 且平行于直线 3 2 1 1 2 3 x y z − − − = = − 的直线方程___________________；（较易） （3）过点 P(1, 2,3) 和点 Q(3,3,1) 的直线方程_______________________；（中等） 19、将 xoy 坐标面上的双曲线 2 2 4 9 36 x y − = 绕 x 轴求所生成的旋转曲面的方程 _______________ 绕 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程___________________ ；（较难） （1)将 xOy 坐标面上的 y 2x 2 = 绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程为____________________； 曲面名称为____________________________. (较难） 20、以点（1,3，—2）为球心，且通过坐标原点的球面方程为_______________________，（较易） 三、计算题 1、 设已知两点 (4, 2,1) (3,0,2) M1 和M2 ，计算向量 M1M2 的模，方向余弦和方向角.（较易） 2、设 a i j k b i j k = 3 − − 2 , = + 2 − ，求(1) a b a b a b a b 及 ； (2)(−2 )3 及 2 (3)a、b 的夹角 的余弦.（较易） 3、已知 a =1, b = 5, a b = 3. 试求: (1) a b (2) 2 ( ) ( ) a b a b + −
(3)[(d-2)x6-2a (中等) 4.设a=(2,-32.b=(-L,L2).c=(L0,3),求(a×b)-d.(中等) 5,求下列各平面的方程： (1)通过点M,(3,1-)和点M,(L,-1,0)且平行于失量a=【-1,0,2的平面。（较易） (2)、求平行于x轴且过两点(4,0，-2和(5,1,7)的平而方程.（较易》 (3》求过点位，1,2》且通过直线二4_3_三的平面方程.做 5 21 (4)过点M2,34)且在X轴和y轴上截距分别为-2和-3的平面：（较易》 (5)求过点3,0，-l)且与平而3x-7y+5z12-0平行的平面方程.（较号》 (6)、求过点(1,1，-1)，且平行于白量a-2,1,1)和b-(1.-1,0)的平面方程.（中等） (7)、求过点(20，-3)且与直线 2x-2y+4:-7=0垂直的平面方程.（中等） 3x+5y-2:+1=0. (8)入、求过点M,(4,1,2),M2(-3,5-1),且垂直于6x-2y+3班+7=0的平面。（中等） (9)、求过直线 8与k:片-片的程做 0已知直线马号-学.直线4空2-曰-芹求，县平行的平面方税 (中等) 6、求下列直线方程： D来过点.2动且平行于直线-空：兮的直致方视（做》 21 (2),求过点0,2,4)且与两平面x+2:=1,y-3:=2平行的直线方程.（中等） (3)通过点A(-3,0,1)和点(2，-5,1)的直线：（较易） (4》通过点M1-5,3)且与黑，男，：三拍分别成60°，45,120的直线：（中等） 理科韶方骨护编调 5
理科部方玲玲编撰 5 (3) 2 ( 2 ) ( 2 ) a b b a − − （中等） 4、设 a = (2,−3, 2), b = (−1, 1, 2), c = (1, 0, 3) ，求 (a b) c. （中等） 5、求下列各平面的方程： （1）通过点 (3,1, 1) M1 − 和点 (1, 1,0) M2 − 且平行于矢量 a ={−1,0,2} 的平面。(较易) （2）、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.(较易) （3）求过点(3,1,-2)且通过直线 2 1 3 5 x 4 y z = + = − 的平面方程.(较难) (4)过点 (2,3,−4) 且在 x 轴和 y 轴上截距分别为− 2 和− 3 的平面;(较易) （5）求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程.(较易) （6）、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)的平面方程.（中等） （7）、求过点 （2，0，−3） 且与直线 + − + = − + − = 3 5 2 1 0. 2 2 4 7 0, x y z x y z 垂直的平面方程。（中等） （8）、求过点 (4,1,2) M1 ， ( 3,5, 1) M2 − − ，且垂直于 6x − 2y + 3z + 7 = 0 的平面.（中等） （9）、求过直线 + − − = − + − = 2 2 0 2 1 0 1 x y z x y z l ，且与直线 2 l ： 1 1 2 x y z = − = 平行的平面.（较难） （10）、已知直线 1 3 0 2 1 : 1 − − = − − = y z L x ，直线 1 1 1 2 2 : 2 x y z L = − = + ，求过 L1 且平行 L2 的平面方程。 （中等） 6、求下列直线方程： （1）求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1 1 3 2 − = − = x y z 的直线方程.（较易） （2）、求过点(0,2,4)且与两平面 x + 2z =1, y − 3z = 2 平行的直线方程.（中等） （3）通过点 A(−3,0,1) 和点 B(2,−5,1) 的直线；（较易） （4）通过点 M (1− 5,3) 且与 x, y,z 三轴分别成 60 ,45 ,120 的直线；（中等）
(5)通过点ML0,-2)且与两直线X-.。+和。-.1垂直的直线：〔中等) 11-11-10 (6)求过点M(2,13)且与直线1..三垂直相交的直线方程（难） 32-1 x+y-2-1=0 7、求直线x一y+:+1=0在平面x++z=0上的投影直线的方程：（难） 8,米直线不-2=y-3=三-4 2 与平面2x+y+:-6=0的交点。（较易） 9、求直线 x+y+3知=0 与平面x-y一：+1=0的夹角.（中等） x-y-2=0 10、设直线上：x一1=义=三1，平面Π：x一y+2:=3,求直线与平面的夹角.（中等） 2 小、求直线：=上-3和直线：：+2-三的夹角 1 -41 2-2-1 12、直线 2:,直线分==号的他置关系段号 x+2y-5=7 2 -1-1 13、求点A3,-1,2到直线 x+y-:+1=0 的距离.（较难） 2x-y+:=4=0 14、求中心在C(3-5,2)且与平面2x-y-3:+11=0相切的球面方程。（较易） 15、已知球面的方程为++=1(1)和環面的方程2+(y一1)2+(：一1)2=1(2。求它们的 交线在xOy面上的投影方程.（难） 16、已知A(12,3)。B(2,-1,4),求线段4B的瑶直平分面的方程.（较易》 四、综合愿 l、应用向量证明Cauchy-一Schwarz不等式 1晴+晴+呐5+d+可香+或+ 师科部方玲丹编损 6
理科部方玲玲编撰 6 （5）通过点 M (1,0,−2) 且与两直线 1 1 1 1 1 − + = = x − y z 和 0 1 1 1 1 + = − − = x y z 垂直的直线；（中等） (6)求过点 M (2,1,3) 且与直线 2 1 1 3 1 − = − = x + y z 垂直相交的直线方程.(难) 7、求直线 − + + = + − − = 1 0 1 0 x y z x y z 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线的方程；（难） 8、求直线 2 4 2 3 − − = − = z x y 与平面 2x + y + z − 6 = 0 的交点。（较易） 9、求直线 − − = + + = 0 3 0 x y z x y z 与平面 x − y − z +1 = 0 的夹角.（中等） 10、设直线 L: 2 1 2 1 1 + = − = x − y z ，平面 : x − y + 2z = 3 ，求直线与平面的夹角.(中等) 11、 求直线 L1： 1 3 1 4 1 x y z − + = = − 和直线 L2： 2 2 2 1 x y z + = = − − 的夹角. 12、直线 − + + = + − = 2 7 2 7 x y z x y z 与直线 1 1 3 2 1 − = − − = x − y z 的位置关系；（较易） 13、求点 A(3,-1,2)到直线 − + − = + − + = 2 4 0 1 0 x y z x y z 的距离.（较难） 14、求中心在 C(3,−5,2) 且与平面 2x − y − 3z +11 = 0 相切的球面方程。（较易） 15、 已知球面的方程为 x 2＋y 2＋z 2＝1 (1) 和 球面的方程 x 2＋（y－1）2＋（z－1）2＝1 (2)，求它们的 交线在 xOy 面上的投影方程.（难） 16、已知 A(1,2,3) ， B(2,−1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程.（较易） 四、综合题 1、应用向量证明 Cauchy—Schwarz 不等式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 | a b + a b + a b | a + a + a b +b +b