第8章 无穷级数（共40题）（张露掉编撰） 一、选择愿 1. 若无穷级数 ，收敛于S,则无穷级数立+，)收敛于( )。较易 A.S B、25 C.2s- D、2S+ 2、设无穷级数 刘收数，则g应满是( )。较易) A.q<l B.-<q<l C.0sq<3 D、e1 ,设无穷级数了L收敛。则( )。(较易) A.pol B、p<3 C.p2 D.p2 本、若m私≠0k是常数，则级数】 )。(较导) A,收敛 B、条件收敛 C,发散 D、敛散性与k值有关 5、设级数∑，收敛。且m≠0。则下列级数中收致的是( 。(中等) .0 A B、 c. 6、设无穷级数了。收放无穷领数了。发版则无穷级数工a,+b,)( )。(中等)
第 8 章 无穷级数（共 40 题）（张露萍编撰） 一、选择题 1、 若无穷级数 n=1 un 收敛于 S，则无穷级数 = + + 1 1 ( ) n un un 收敛于（ ）。(较易) A、S B、2S C、2S-u1 D、2S+u1 2、 设无穷级数 =3 3 n n q 收敛，则 q 应满足（ ）。(较易) A、q1 B、p2 D、p<2 4、若 n→ lim un≠0,k 是常数，则级数 n=1 n ku （ ）。(较易) A、收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性与 k 值有关 5、设级数 n=1 un 收敛，且 un≠0，则下列级数中收敛的是（ ）。 (中等) A、 = + 1 ( 10) n un B、 n=5 un C、 =1 1 n un D、 =1 2 n n 6、设无穷级数 n=1 n a 收敛,无穷级数 n=1 bn 发散,则无穷级数 = + n 1 n n (a b ) （ ）。(中等)
A,条件牧数 B,绝对收敛 C、发散 D、可能收敛也可能发收 7、下列缓数中，发散的级数是( )。较难) A. B、 -” hn 4n C. ()'n D. 3π 台n+1 n 8、下列无穷级数中绝对收敛的是( )。(中等 A∑-r n+2 -旷右 B. eirG D. 9、下列无穷级数中，绝收数的无穷领数是( )。(较难) n 台2 器 B. C,-- 台n 品 D 10.无穷领数了1+-2少( ),(较难) 3” A,绝对收数 B,条件收数 C、发散 D、数散性不确定 1、幕级数少仪-的收敛区何为《 )。(较靡) A.(2,4】 B.[2,4] C.2.4 D、2.4)
A、条件收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、可能收敛也可能发散 7、下列级数中，发散的级数是（ ）。 (较难) A、 n=1 2 3 n 1 B、 = − n 2 n ln n ( 1) C、 = + − n 1 n n 1 ( 1) n D、 = n 1 3 n 3 4n sin 8、下列无穷级数中绝对收敛的是（ ）。(中等) A、 = + − n 1 n n 2 n ( 1) B、 = − n 1 n n 1 ( 1) C、 = − n 1 2 n n 1 ( 1) D、 = − n 1 n ( 1) n 9、下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是（ ）。(较难) A、 n=1 2 n n 2 3 sin B、 = − − n 1 n 1 n ( 1) C、 = − − n 1 n 1 n ( 1) D、 n=1 + 2 2 1 n n 10、无穷级数 = + − 1 3 1 2 n n n ( ) （ ）。(较难) A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、敛散性不确定 11、 幂级数 = − − n 1 n 2 n (x 3) n ( 1) 的收敛区间为（ ）。(较难) A、（2，4） B、［2，4］ C、 (2， 4 D、2， 4)
)。(较重) A.(-l, B、1 C.←L可 D、-1.1月 x2+…+x”+…的收数半径民（ 1 13.幂级数1+x+ ).(中等) A,0 B、1 C.2 D.+ 14、当心时，函数国)=+2 的麦克劳林根开式正确的是( )。(中等) 2-r2*r c.E(-"2"r D 2-2rr 15、当5时，函数fx)= 1 的麦克劳林屏开式是( 5-x ).中等) D、J 二、填空题 1、已知级数】 。(中等) 2、冪级数∑1x(>0为常数)的收敛半径是】 ·中等) 3.当树<1时，无穷级数∑-)x的和函数为 。《较难) 4、函数f(x) 1+2x 的x的琴级数展开式为 。(较难) 5、函数x)= 展开成x2的幂级数为 。(难) 3-x
12、幂级数 + 3 + 5 + x 7 + 7 1 x 5 1 x 3 1 x 的收敛域是（ ）。(较难) A、 (−1,1) B、−1,1) C、 (−1,1 D、[−1,1] 13、 幂级数 1+x+ 2 ++ x n + n! 1 x 2! 1 的收敛半径 R=（ ）。(中等) A、0 B、1 C、2 D、+ 14、 当|x|< 2 1 时，函数 x f x 1 2 1 ( ) + = 的麦克劳林展开式正确的是（ ）。(中等) A、 = − 1 ( 1) 2 n n n n x B、 =1 2 n n n x C、 = + + − 0 1 1 ( 1) 2 n n n n x D、 = − 0 ( 2) n n n x 15、当|x|<5 时，函数 x f x − = 5 1 ( ) 的麦克劳林展开式是（ ）。(中等) A、 =0 5 1 n n n x B、 = + 0 1 5 1 n n n x C、 =1 5 1 n n n x D、 = + 1 1 5 1 n n n x 二、填空题 1、已知级数 1 2 1 1 1 ( 1) 2, 5 n n n n n a a − − = = − = = ，则级数 1 n n a = =______________。（中等） 2、幂级数 = 1 0 1 n n p x ( p ) n 为常数 的收敛半径是_______________。(中等) 3、当|x|＜1 时，无穷级数 = + − 0 1 ( 1) n n n x 的和函数为______________。（较难） 4、函数 x f x 1 2 1 ( ) ＋ = 的 x 的幂级数展开式为_______________。（较难） 5、函数 x f x − = 3 1 ( ) 展开成 x-2 的幂级数为_______________。（难）
6、设函数=和'脱开成x幂级数为∑，x“,则系数品，=一·（难） 7、领数血3r的和为 2” ·(较垂) 8。幂级数∑(2m+1M的收数半径是 。(中等) 0 9、设无穷级数 ∑4牧数， 则g应清足 。《中等) 10、设无穷级数∑，一收敏，则9应满足 ·《较难) 三、计算愿 1米无穷级数了 1 n+ 一的和。（中等） 2、判别下列级数的敛散性，（中等） o2n+ 3、判别下列级数是绝对收敛，条件收效，还是发散？（较难） w-w写 a) √-ln
6、设函数 x f (x) = xe 展开成 x 幂级数为 n=1 n n a x ，则系数 3 a =_________。（难） 7、级数 0 (ln3 ) 2 n n n = 的和为 。（较难） 8、幂级数 0 ( 2 1) n n n x = + 的收敛半径是_______________。（中等） 9、设无穷级数 6 n n q = 收敛，则 q 应满足_______________。（中等） 10、设无穷级数 1 2 1 1 p n n − = 收敛，则 q 应满足_______________。（较难） 三、计算题 1、求无穷级数 =1 ( +1) 1 n n n 的和。（中等） 2、判别下列级数的敛散性：（中等） (1) 2 1 1 sin ; n n = (2) 1 1 ln(1 ); n n = + (3) 1 ! ; n n n n = (4) 2 1 1 2 1 ( ) 3 2 n n n n + = + − 3、判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？(较难) (1) 2 1 1 1 ( 1) [ ] 3 n n n n n − = − + ； (2) 2 1 cos 3 n n n n = ； (3) 1 1 1 ( 1) ln n n n n − = − −
4、求幂级数的收敛区间。（较 5、求琴级数-3汇的牧数城。粒陶 台n 6、将话数f)=,产展开成x的幂级数。中 3-x 7、在区间(-1)内求幂级数 了 台n+1 的和函数。（难） 四、棕合题 小验证函数(x)=1++关+ 3+6:+9+·*3 +…(-0<x<+0)满足微分方程 y+y+y=e。(难 2、求幂级数1+立-1旷二付<1)的和函数x及其授值。南 2开
4、求幂级数 =1 2 n n n x 的收敛区间。(较难) 5、求幂级数 2 1 ( 3 )n n x n = − 的收敛域。(较难) 6、将函数 ( ) 3 x f x x = − 展开成 x 的幂级数。(中等) 7、在区间 ( 1,1) − 内求幂级数 1 1 1 n n x n + = + 的和函数。(难) 四、综合题 1、验证函数 3 6 9 3 ( ) 1 ( ) 3! 6! 9 ( 3 )! n x x x x y x x n = + + + + + + − + 满足微分方程 x y y y e + + = 。(难) 2、求幂级数 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 n n n x x n = + − 的和函数 f x( ) 及其极值。(难)