第9章多元函数微分法及其应用（共45题（王进朵编摆） 一、选择恩 1、函数(x,)= 9-x-y的定文线是( ),(较易) x2+y2-4 A.xy2<x2+y2<3到 B.{xyN<x2+y2<9明 C.((x.y)4<x+ys9 D、x,yp<x2+y2s3到 2、设函数化，)=+上，则了动=《 )。(较易) x-y A、 1+ B、+y 1-y x-y C、- D.y-x 若+y 累+ 3、极限1im- x'y + )。《较难 40 A、等于0 B,不存在 C、等于 2 D.存在且不等于0暖2 1 1 4、设函数f(x,y)= xsin-+ysin- ≠0 则极限mf(x,y)·()。(较易) 0 3=0 0 A、不存在 B、等于I C,等于o D、等于2 5、极限im sinx'y) x )。(较易) A.0 B、1 C.9 D、不存在 6.设：=乐，则x +y( +y1 )。《较难)
第 9 章 多元函数微分法及其应用(共 45 题)（王进朵编撰） 一、选择题 1、函数 f (x, y) = x y 4 ln(9 x y ) 2 2 2 2 + − − − 的定义域是（ ）。（较易） A、{( , ) 2 3} 2 2 x y x + y B、{( , ) 4 9} 2 2 x y x + y C、{( , ) 4 9} 2 2 x y x + y D、{( , ) 2 3} 2 2 x y x + y 2、设函数 x y x y f x y − + ( , ) = ,则 , ) = 1 ( x y f （ ）。（较易） A、 xy xy − + 1 1 B、 xy y x y + − C、 x y xy y + − D、 y x x xy − + 3、极限 lim x y x y → x y → + 0 0 2 4 2 = （ ）。（较难） A、等于 0 B、不存在 C、等于 1 2 D、存在且不等于 0 或 1 2 4、设函数 f x y x y y x xy xy ( , ) sin sin = + = 1 1 0 0 0 ，则极限 lim ( , ) x y f x y → → 0 0 =（ ）。（较易） A、不存在 B、等于 1 C、等于 0 D、等于 2 5、极限 3 2 3 0 0 sin( ) lim x y x y → x → = （ ）。（较易） A、0 B、1 C、9 D、不存在 6、设 x y z = x sin ，则 = + y z y x z x （ ）。（较难）
A.0 B.1 C.2 D. 7设u=arctan,则 。《)。《中等) ax A.y B、-y x+y c.y D.4y 8.设fx)-2+x,则f1.0=《 )。(中等) A.0 B、1 C.-1 D、2 9.段：=，则庆+色（ )。(中等) y A,2 B、1+h2 C.0 D.1 10、函登：=八x,y)在点(3。，片)处具有偏导数是它在该点存在全微分的()。《较易) A、必要面非充分条件： B、充分面非必要条件： C、充分必要条作： D、既非充分又非必要条作 1,设函数：=e,则全微分出u=( )。(中等》 A、-在= B、杰+ C、t-亦 D、t+ 12、函数：=1-x)2+1-y)2的驻点是〔)。（较号） A.(0.0) B、0.D C.1,0) D、1.) 13、函数f八x,-(x2+y27-2x2-y)的极值点是（。《中等)
A、0 B、1 C、 z D、 2 z 7、设 u y x = arctan ，则 u x =（ ）。（中等） A、 x x y 2 2 + B、 − + y x y 2 2 C、 y x y 2 2 + D、 − + x x y 2 2 8、设 ( , ) ln( x) x y f x y = + ，则 (1,0) x f = （ ）。（中等） A、0 B、1 C、 −1 D、2 9、设 z y x = ，则 ( ) ( , ) z x z y + 2 1 = （ ）。（中等） A、2 B、 1+ln2 C、0 D、 1 10、函数 z = f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）。（较易） A、必要而非充分条件； B、充分而非必要条件； C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件 11、设函数 x y z e − + = ，则全微分 dz (1,1) = （ ）。（中等） A、 −dx − dy B、 dx + dy C、 dx − dy D、 −dx + dy 12、函数 2 2 z = (1− x) + (1− y) 的驻点是（ ）。（较易） A、 (0,0) B、(0,1) C、 (1,0) D、(1,1) 13、函数 2 2 2 2 2 f x y x y x y ( , ) ( ) 2( ) = + − − 的极值点是（ ）。（中等）
A.(0.0) B、L,0) C、(0,1) D、(0,1) 14.授函数：-1-√x2+y,则点0.0)是函数：的().〔较易) A,极大值点但非最大值点 B、极大值点且是最大值点 C、极小值点但非最小植点 D、极小值点且是最小植点 15.设fx,y)=x2+xy-y2,则f0,0)是x,y)的(。（中等》 A、 极大植 B,极小值 C、非极值 D、不能确定 二、填空题 1、函数：= aresin工的定义域为 (较易) 2、极限m V+4-2 。(中等) V 3、极限1im ny+e") 一·（较易） 4、设函数x,)=,则/x+,x-功 ·(较易) x中y 5设话数：=间x2+,则空 ·(较易) dx u 6、设u=xlny,则 一。《中等) dxdy 7、设：=n(x+y),则止= 。(中等) 8、函数：=2x2-3y2-4x-6y-1的鞋点是 一。（较易） 9.设函数：=(x,)由方程2x2-3y2+2:2+6y-14x-6y+:+4=0确定，则函数： 的驻点是 ·(较难)
A、 (0,0) B、(1,0) C、（0，-1） D、（0,1） 14、设函数 z = 1− x + y 2 2 ，则点 (0,0) 是函数 z 的 （ ）。（较易） A、极大值点但非最大值点 B、极大值点且是最大值点 C、极小值点但非最小值点 D、极小值点且是最小值点 15、设 2 2 f (x, y) = x + xy − y ，则 f (0, 0) 是 f (x, y) 的（ ）。（中等） A、 极大值 B、 极小值 C、 非极值 D、不能确定 二、填空题 1、函数 z x y = arcsin 的定义域为 。（较易） 2、极限 xy xy y x 4 2 lim 0 0 + − → → = 。（中等） 3、极限 lim ln( ) x y x y e x y → → + + 0 1 2 2 2 = 。（较易） 4、设函数 f x y xy x y ( , ) = + ，则 f (x + y, x − y) = 。（较易） 5、设函数 sin( ) 2 2 z = x + y ，则 = x z ___________。（较易） 6、设 u = x ln xy ，则 2 u x y = ___________ 。（中等） 7、设 2 z x y = + ln( ) ，则 dz = 。（中等） 8、函数 z = 2x − 3y − 4x − 6y −1 2 2 的驻点是_________。（较易） 9、设函数 z = z(x, y) 由方程 2 3 2 6 14 6 4 0 2 2 2 x − y + z + xy − x − y + z + = 确定，则函数 z 的驻点是 。（较难）
10、授函数：=f(x,y)在点(，)处可微，则点(x,。)是函数：的极值点的必要条件 为 ·(较易) 三、计算愿 1、设f(x,y= [x2mx2+y2)x2+y2≠0 10 x2+y2=0 根据偏导数定义求手(0.0).f(0.0) (较难) 2 设：=yM,求在产，（中等) ax'dy 3、求下列函数的全微分： (10:= (中等) + (2)M■x(中等) 4、设：=n'h￥，其中h=cos1,P=e',求： 。(较易) di 5.设：=asm(-以.而x=3,y=4,求 。《中等) 、设函数=，=+.=，求空 。《中等) dx cy 入、设方程=h三确定函数：一化，，求空 ix'by 。(中等) y 、已知方程r+少-4y+2-3确定函数：红，，求空和兰 a·(较撞) 头段e--0,求 2·（塔） 10、设：=上/Bx-以cs小.求空.空.（较难 dx dy 11、求下列二元函数的极值。（中等） (1)x,0=x3-y3+3x2+3y2-9x
10、设函数 z = f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处可微，则点 (x , y ) 0 0 是函数 z 的极值点的必要条件 为 。（较易） 三、计算题 1、 设 f x y x x y x y x y ( , ) ln( ) = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ，根据偏导数定义求 f f x y (0,0), (0,0) 。 （较难） 2、设 z y ln( xy) x = ，求 z x z y , 。 （中等） 3、求下列函数的全微分。 （1) 2 2 x y y z + = （中等） （2) yz u = x （中等） 4、设 z u ln v 3 = ，其中 t u = cost,v = e ，求： dt dz 。（较易） 5、设 z = arcsin (x − y) ，而 x = 3t ， 3 y = 4t ，求 dt dz 。（中等） 6、设函数 u v2 z e + = ， 2 2 u x y v xy = + = , ，求 , z z x y 。（中等） 7、设方程 y z z x = ln 确定函数 z = z(x, y) ，求 y z x z , 。（中等） 8、已知方程 2 2 2 x y y z + − + = 4 3 确定函数 z = z(x, y),求 2 2 x z x z 和 。（较难） 9、设 e − xyz = 0 z ，求 2 2 x z 。（难） 10、设 f ( x y y) x z 3 ,cos 1 = − ，求 x z ， y z 。（较难） 11、求下列二元函数的极值。（中等） （1） f (x, y) x y 3x 3y 9x 3 3 2 2 = − + + −
2)f八x,0=y-x+6x-12y+5 12、讨论函数：=yC0城2x+3y)的极值点。（中等） 13求函数（红，片，）=：-2在4x2+2y2+:2=1条件下的极大值。（中等） 14求函数：=xy+广在闭城D=(x,y川x+少s}上的最植（较难） 四、证明愿 山山 1,设：=e宁，求证：x2色+2变-2：.《中等) dx y 2、设：=arctan二，而x=+v,y=拉-v,险证： 亦“+平·（中等） 五、应用题 1、在斜边为一切直角三角形，求出周长最大的直角三角形。（中等） 2、某厂要用铁板做成一个体积为8的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取多少时，才能 使用料最省？（中等）
（2） 3 2 f x y y x x y ( , ) 6 12 5 = − + − + 12、讨论函数 z = y cos(2x + 3y) 的极值点。（中等） 13、求函数 f (x, y,z) = z − 2 在 4 2 1 2 2 2 x + y + z = 条件下的极大值。（中等） 14、求函数 2 2 z x y y = + 在闭域 ( ) 2 2 D x y x y = + , | 1 上的最值。（较难） 四、证明题 1、设 ) 1 1 ( x y z e − + = 求证： z y z y x z x 2 2 2 = + 。（中等） 2、设 y x z = arctan ，而 x = u + v ， y = u − v ，验证： 2 2 u v u v v z u z + − = + 。（中等） 五、应用题 1、在斜边为 l 一切直角三角形，求出周长最大的直角三角形。（中等） 2、某厂要用铁板做成一个体积为 8m3 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能 使用料最省？（中等）