第八章重积分 一、选择思 1.设D好+产≤1定，若=b.4=+h 4=∬时x2+y6,则1，，人之间的大小顺序为 )(中等) A,1<2<I B,I1<13<3C.3<13<1D.I3<13<I 2由二重积分的几何意义， ∬VR--yd(其中D:x2+r≤R)-( )(较易) A.R B. D. 3.由重积分的对称性。 ∬dG(其中D:x2+y2s2x)=( )(较易) A.I B.0 e n 4.设D是由x轴和y=s血x(信∈0，)所围成，测积分∬)而=〔( )(中等) B. n月 5.设积分区域D由y=和y~x+2围成，则∬f八红，6=( )(中等) A.fdf"rs.yd B.广f, c.Ldf"rr.y D.fef"n.y 6设/么)是连铁函数，则累改积分血化冰。( )(中等) Afx达 B.ovf n.yds c.ffn达 D.f达 7.设D由|x长1,1y长1确定，则川xem”smn=( )(较难) A.0 B.e C.2 D.e-2 8.设V:x2+y2+2≤R(e20),为V在第一扑限中的部分，则有( )(较难) A.ar-4∬dr B.ur=4∬n c.∬=dr=4∬dr D.∬=dr=4∬=d 9投2：+y+2sd,:20,则川dv*（ )(希)
第八章 重积分 一、选择题 1．设 D 由 1 4 1 2 2 x + y 确定，若 + = D d x y I 1 2 2 1 ， = + D I (x y )d 2 2 2 ， = + D I ln( x y )d 2 2 3 ，则 1 I ， 2 I ， 3 I 之间的大小顺序为（ ）（中等） A． 1 2 3 I I I B． 1 3 2 I I I C． 2 3 1 I I I D． 3 2 1 I I I 2. 由二重积分的几何意义， 2 2 2 D R x y d − − （其中 2 2 2 D x y R : + ）=（ ）（较易） A． 3 R B． 1 3 3 R C． 2 3 3 R D． 4 3 3 R 3. 由重积分的对称性， D yd （其中 2 2 D x y x : 2 + ）=（ ）（较易） A．1 B．0 C． 1 3 D． 1 2 4．设 D 是由 x 轴和 y = sin x (x [0， ] ) 所围成，则积分 = D yd （ ）（中等） A． 6 B． 4 C． 1 3 D． 1 2 5．设积分区域 D 由 2 y = x 和 y = x + 2 围成，则 = D f (x, y)d （ ）（中等） A． − 2 + 1 2 2 ( , ) x x dx f x y dy B． − 2 1 2 0 dx f (x, y)dy C． − 1 + 2 2 2 ( , ) x x dx f x y dy D． 1 + 0 2 2 ( , ) x x dx f x y dy 6．设 f (x, y) 是连续函数，则累次积分 = 4 0 2 ( , ) x x dx f x y dy （ ）（中等） A． 4 0 4 1 2 ( , ) y y dy f x y dx B． − 4 0 4 1 2 ( , ) y y dy f x y dx C． 4 0 4 1 ( , ) y dy f x y dx D． 4 0 2 1 2 ( , ) y y dy f x y dx 7．设 D 由 | x | 1，| y | 1 确定，则 = D xy xe sin xydxdy cos （ ）（较难） A．0 B． e C．2 D．e − 2 8. 设 2 2 2 2 V x y z R z : ( 0) + + ，V1 为 V 在第一卦限中的部分，则有（ ）（较难） A． 1 4 v v xdV xdV = B． 1 4 v v ydV ydV = C． 1 4 v v zdV zdV = D． 1 4 v v xyzdV xyzdV = 9. 设 2 2 2 2 + + : , 0 x y z a z ，则 z v d （ ）（难）
r5可：d c.fd:f dxdy D.[dosinecosedr 2 10.设2是由曲面x2+y2=:,:=1,:=4围成的区域，在桂面坐标系下 们/化北=灿d址=(，其中f为造续函数（库） A."dof pden(pcs.s B.dof pp n(pcos0.osn0: C.o(pcs.sim.dop .doflodcsid= 二、填空圈 1.设D是由直线y=x,y=，x,y-2所围成的区域，则川= (较易) 之段D由于+y2≤1商定 则∬dk小=_ ·(较易) 3交换积分次序：广x,达 (中等) 4.交换积分次序： fan rnyfon romay (中等) 5.已知D是由a≤x≤b,0sys1所围成的区域，且小(x女=1，则 r(xyds- ,(中等) 6.设D是由y=x(k>0),y=0和x=1围成的区域， k=_ ·(中等) 7.将二重积分1=川fxyG化为极坐标系下的累次积分，其中D:a2≤x2+y2≤b2, 则1=∬fx,do (中等)
A. 2 2 2 2 2 2 0 d d d a x y x y a x y z z − − + B. 2 2 2 0 0 0 d d d a a r r r z z − C. 2 2 2 0 d d d a x y a z x y + D. 2 2 3 0 0 0 d d sin cos d a r r 10. 设 是 由 曲 面 2 2 x y z z z + = = = , 1, 4 围 成 的 区 域 ， 在 柱 面 坐 标 系 下 f x y z x y z ( , , )d d d = ( )，其中 f 为连续函数.（难） A. d d f z dz 4 1 2 0 2 1 ( cos, sin , ) B. d d f z dz 2 4 0 2 1 2 ( cos , sin , ) ; C. 2 1 4 0 0 1 d d ( cos , sin , )d f z z + d d f z dz 2 4 0 2 1 2 ( cos , sin , ) D. d d f z dz 4 1 2 0 2 1 ( cos, sin , ) + 2 1 4 0 0 1 d d ( cos , sin , )d f z z 二、填空题 1．设 D 是由直线 y = x , y x 2 1 = , y = 2 所围成的区域，则 = D dxdy ．（较易） 2．设 D 由 1 4 2 2 + y x 确定，则 = D dxdy ．（较易） 3．交换积分次序： − + = 2 1 2 2 ( , ) y y dy f x y dx ．（中等） 4．交换积分次序： 2 3 1 3 2 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )d x x x f x y y x f x y y − + = ______________.（中等） 5．已知 D 是由 a x b，0 y 1 所围成的区域，且 = D yf (x)dxdy 1 ，则 = b a f (x)dx ．（中等） 6. 设 D 是 由 y = kx (k 0) ， y = 0 和 x =1 围 成 的 区域 ， 且 = D xy dxdy 15 2 1 ， 则 k = ．（中等） 7. 将二重积分 I = D f (x, y)d 化为极坐标系下的累次积分，其中 D : 2 a ≤ 2 2 x + y ≤ 2 b ， 则 I = D f (x, y)d = ．（中等）
8将二重积分1=∬fx,yG化为极坐标系下的次积分，其中D由y=VR一x2和 直线y=x,y■-x所围成的区域，则1=儿fx,yG= ·（中等） 9设0：x2+y2+2sd2,:20,则1-j川h= (较易) 10.设0由柱面x2+y2=】以及平面：=0.：=1围成，则 1-j∬y-xdt-一（较号） 1山.将三重积分1=∬x,片h化为先对：、在对y、后对x的三重积分，其中2是由 三个坐标面及平面x+y+:=1所围的四面体，则/=一·（较难） 12.将三重积分1=∬化，水h化为先对：、在对y、后对x的三重积分，其中2是由 旋转抛物面：=x2+y2及平面：=1所围的区城，则1=一 一·《较难) 三、计算圆 1.计算1一儿x冰其中D是直线=1=之及=x所围的闭区城（较） 2.计算下列二重积分：（中等） 1)∬-ydd,其中D={x,川0sy≤inx0sx≤： (2) 了于0，其中D是由直线)=式=2及鱼线y=引所国成得阳区线 其中D={《xy≤ys5ysx≤S}: osx+yt,其中D=I0sx5元x≤y5 3.计算1=小0，其中D是由直线=-2及抛物线2=x所围成的闭区城（中等） 4计算二重积分应可w小，（较难） 五计算二重积分心e矿.《较难) 6计算∬e产，其中D=红，0≤x≤L0≤y≤.（难） 7.利用极坐标计算二重积分：
8. 将二重积分 I = D f (x, y)d 化为极坐标系下的累次积分，其中 D 由 2 2 y = R − x 和 直线 y = x ， y = −x 所围成的区域，则 I = D f (x, y)d = ．（中等） 9. 设 2 2 2 2 + + : , 0 x y z a z ，则 I dv = = ．（较易） 10. 设 由 柱 面 2 2 x y + =1 以及平面 z z = = 0, 1 围成，则 3 2 I y x dxdydz 1 = − = ．（较易） 11.将三重积分 I f x y z dv ( , , ) = 化为先对 z 、在对 y 、后对 x 的三重积分，其中 是由 三个坐标面及平面 x y z + + =1 所围的四面体，则 I = ．（较难） 12.将三重积分 I f x y z dv ( , , ) = 化为先对 z 、在对 y 、后对 x 的三重积分，其中 是由 旋转抛物面 2 2 z x y = + 及平面 z = 1 所围的区域，则 I = ．（较难） 三、计算题 1 .计算 其中 D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. (较易) 2.计算下列二重积分：（中等） （1） (x − y )dxdy 2 2 ，其中 D x y y x x = ( , ) | 0 sin ,0 ； （2） 2 2 D x d y ，其中 D 是由直线 y x x = = , 2 及曲线 xy =1 所围成得闭区域; （3） ln D dxdy y x , 其中 D x y y y x = ( , 1 5, 5 ) ； （4） cos(x y)dxdy D + , {( , ) | 0 其中D x y x x y = π, π}. 3.计算 I xyd D = 其中 D 是由直线 y=x−2 及抛物线 y 2=x 所围成的闭区域（中等） 4. 计算二重积分 2 2 1 1 0 y x dx xe dy .（较难） 5. 计算二重积分 − 2 0 2 2 x y dx e dy .（较难） 6. 计算 D x y e dxdy max( , ) 2 2 ，其中 D ＝(x, y)| 0 x 1,0 y 1.（难） 7. 利用极坐标计算二重积分： d , = D I x y xdy
)小(：+少o,其中D是由直线y=x,y=0x+广-1x之0y之0)所图成闭区 域：（较易） 2∬arctanda,D:1≤x2+y2≤4，y≤x,y≥0：（仲 @小e可dc,D:a2r+y产6，(0<a<b.做 8.计算三重积分 xk小止，其中0为三个坐标面及平面+2+3l所围成的闭区域线.（中 等) 9,计算三重积分 t,中V由x=0,y=0，x■1，y=1,三■0及 x+y+:=2所围成的区域，（中等） 10.计算三重积分 ry's动h,其中r为长方体：0≤x≤2,0≤y发1， (较易) 2 11.计算三重积分 小叮。其中0是由椭球面子+仁+二2】 十。云=1所围成的空间闭区线 (较难) 12.计算三重积分 ∬d小止，其中Q由旋转抛物雨：=4-x2-y2及xO平面围成.（较 难) 13.计算三重积分 川冰其中V是由球面：=√R-x2-少和平面：=0所围成的半球 形区域.（较难） 14.己知Q由：=x产+，：=V2--y所围。计算川t.(较难) 15计算三重积分∬(x2+y2,其中V是由曲面2：=x2+y2与平面：=2所围成的 闲区域。（较难） 16.利用球坐标计算三重积分 川V+y+:小，其中P由球面x2+少2+：2=：所国 成的阳区域.（较难）
(1) ( ) 2 2 D x y d + ,其中 D 是由直线 2 2 y x y x y x y = = + = , 0, 1( 0, 0) 所围成闭区 域；（较易） (2) arctan D y d x ， D :1 ≤ 2 2 x + y ≤ 4 ， y ≤ x ， y ≥ 0 ；(中等) (3) + D x y d 2 2 e ， D : 2 a ≤ 2 2 x + y ≤ 2 b ,( 0 a b ).(较难) 8. 计算三重积分 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面 x+2y+z=1 所围成的闭区域（中 等） 9. 计算三重积分 V zdxdydz ，其中 V 由 x = 0 ， y = 0 ， x =1， y = 1， z = 0 及 x + y + z = 2 所围成的区域．（中等） 10. 计算三重积分 V (x y sin z)dv 2 3 ，其中 V 为长方体： 0 ≤ x ≤ 2 ， 0 ≤ y ≤ 1 ， 0 ≤ z ≤ 2 π ．（较易） 11. 计算三重积分 z dxdydz 2 其中是由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 所围成的空间闭区域 （较难） 12. 计算三重积分 zdxdydz 其中由旋转抛物面 2 2 z x y = − − 4 及 xOy 平面围成.（较 难） 13. 计算三重积分 V zdv ,其中 V 是由球面 2 2 2 z = R − x − y 和平面 z = 0 所围成的半球 形区域．（较难） 14. 已知 由 2 2 2 2 z x y z x y = + = − − , 2 所围，计算 3 z dxdydz .（较难） 15. 计算三重积分 + V (x y )dv 2 2 ，其中 V 是由曲面 2 2 2z = x + y 与平面 z = 2 所围成的 闭区域.（较难） 16. 利用球坐标计算三重积分 + + V x y z dv 2 2 2 ，其中 V 由球面 x + y + z = z 2 2 2 所围 成的闭区域．（较难）
17.计算三重积分∬冰，其中V是由面：=√2+少与上半球面 :=8-x2-y2所围成的闭区域。（难） 四、综合愿 1.求由坐标面及平面x=1,y=1,2x+3y+:=6围成的体积（较难） 2.计算由由面圆锥面：=x2+y2与平面：=1所围成立体的体积，（较难） 3.求由曲面：=8-x2-y2。:=x2+y2所围立体的体积.（难） 4.计算平面6x+3y+2:=12在第一卦限部分的面积.（中等） 5.计算曲面：=1-x2-y2上部分的面积.（较难）
17. 计算三重积分 V zdv ，其中 V 是由曲面 2 2 z = x + y 与上半球面 2 2 z = 8 − x − y 所围成的闭区域．（难） 四、综合题 1. 求由坐标面及平面 x y x y z = = + + = 1, 1,2 3 6 围成的体积. （较难） 2. 计算由曲面圆锥面 2 2 z = x + y 与平面 z =1 所围成立体的体积．（较难） 3. 求由曲面 2 2 z = 8− x − y ， 2 2 z = x + y 所围立体的体积. (难) 4. 计算平面 6x + 3y + 2z =12 在第一卦限部分的面积．（中等） 5. 计算曲面 2 2 z =1− x − y 上部分的面积．（较难）