数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 目录 1期末考试题目考点分析 4 1.1偏微分方程通解的求解 4 1.1.12014春数理方程B期末第一题 1.1.22017春数理方程B期末第一题… 4 1.2通解法（行波法）求解定解问题… 4 1.2.12016春数理方程B期末第三题… 4 1.2.22017春数理方程B期末第二题… 5 1.2.32019春数理方程B期末第二题… 1.2.42020春数理方程B毕业班期末第一题… 6 1.3求解固有值问题 5 1.3.12014春数理方程B期末第二题… 6 1.3.22016春数理方程B期末第一题 1.3.32016春数理方程B期末第八题… 6 1.3.42019春数理方程B期末第三题… 6 1.3.52020春数理方程B毕业班期末第二题 6 1.4分离变量法求解定解问题… > 14.12014春数理方程B期末第五题… 14.22014春数理方程B期末第六题… 7 1.4.32014春数理方程B期末第七题 7 1.4.42016春数理方程B期末第二题… 1.4.52016春数理方程B期末第五题… 8 1.4.62016春数理方程B期末第七题… 8 1.4.72017春数理方程B期末第三题… 8 1.4.82017春数理方程B期末第四题… 8 1.4.92017春数理方程B期末第五题 9 1.4.102019春数理方程B期末第四题… 9 1
数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 目录 1 期末考试题目考点分析 ·········································································· 4 1.1 偏微分方程通解的求解 ································································· 4 1.1.1 2014 春数理方程 B 期末第一题 ·············································· 4 1.1.2 2017 春数理方程 B 期末第一题 ·············································· 4 1.2 通解法 (行波法) 求解定解问题 ······················································· 4 1.2.1 2016 春数理方程 B 期末第三题 ·············································· 4 1.2.2 2017 春数理方程 B 期末第二题 ·············································· 5 1.2.3 2019 春数理方程 B 期末第二题 ·············································· 5 1.2.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第一题 ····································· 5 1.3 求解固有值问题 ·········································································· 5 1.3.1 2014 春数理方程 B 期末第二题 ·············································· 6 1.3.2 2016 春数理方程 B 期末第一题 ·············································· 6 1.3.3 2016 春数理方程 B 期末第八题 ·············································· 6 1.3.4 2019 春数理方程 B 期末第三题 ·············································· 6 1.3.5 2020 春数理方程 B 毕业班期末第二题 ····································· 6 1.4 分离变量法求解定解问题 ······························································ 7 1.4.1 2014 春数理方程 B 期末第五题 ·············································· 7 1.4.2 2014 春数理方程 B 期末第六题 ·············································· 7 1.4.3 2014 春数理方程 B 期末第七题 ·············································· 7 1.4.4 2016 春数理方程 B 期末第二题 ·············································· 7 1.4.5 2016 春数理方程 B 期末第五题 ·············································· 8 1.4.6 2016 春数理方程 B 期末第七题 ·············································· 8 1.4.7 2017 春数理方程 B 期末第三题 ·············································· 8 1.4.8 2017 春数理方程 B 期末第四题 ·············································· 8 1.4.9 2017 春数理方程 B 期末第五题 ·············································· 9 1.4.10 2019 春数理方程 B 期末第四题 ············································· 9 1
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4.112019春数理方程B期末第五题…9 1.4122020春数理方程B毕业班期末第三题 9 1.5特殊函数的积分求解（性质、递推公式的应用） 9 1.5.12019春数理方程B期末第八题…10 1.5.22020春数理方程B毕业班期末第五题第一问…10 1.6积分变换法求解定解问题… 10 1.6.12014春数理方程B期末第四题…10 1.6.22016春数理方程B期末第四题 10 1.6.32019春数理方程B期末第六题… 10 1.6.42020春数理方程B毕业班期末第四题 10 1.7求解格林函数，用基本解方法求解定解问题 11 1.7.12014春数理方程B期末第三题 11 1.7.22016春数理方程B期末第六题 11 1.7.32017春数理方程B期末第六题… 1.7.42017春数理方程B期末第七题…11 1.7.52019春数理方程B期末第七题…11 1.7.62020春数理方程B毕业班期末第六题… 12 2重要考点梳理… 13 2.1定解问题的书写 13 2.2行波法求解定解问题（并和积分变换法作比较）… 15 23阻尼振动问题中的行波法使用…17 2.4齐次化原理的应用… 19 2.5分离变量法求解定解问题 44……… 21 2.6积分变换法求解定解问题 …27 2.76函数的性质… 28 2.8基本解方法求解定解问题 29 3经典问题专题复习… 30 3.1简介 30 3.2函数变换法的应用 30 3.3重要的物理学定律 32 3.4微元法分析书写定解问题 34 3.5施刘定理相关问题。 36 3.6勒让德多项式的递推公式推导 37 3.7一类重要的函数的傅里叶变换求解的特殊方法… 39
数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4.11 2019 春数理方程 B 期末第五题 ············································· 9 1.4.12 2020 春数理方程 B 毕业班期末第三题 ···································· 9 1.5 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用) ··································· 9 1.5.1 2019 春数理方程 B 期末第八题 ·············································· 10 1.5.2 2020 春数理方程 B 毕业班期末第五题第一问 ···························· 10 1.6 积分变换法求解定解问题 ······························································ 10 1.6.1 2014 春数理方程 B 期末第四题 ·············································· 10 1.6.2 2016 春数理方程 B 期末第四题 ·············································· 10 1.6.3 2019 春数理方程 B 期末第六题 ·············································· 10 1.6.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第四题 ····································· 10 1.7 求解格林函数，用基本解方法求解定解问题 ······································ 11 1.7.1 2014 春数理方程 B 期末第三题 ·············································· 11 1.7.2 2016 春数理方程 B 期末第六题 ·············································· 11 1.7.3 2017 春数理方程 B 期末第六题 ·············································· 11 1.7.4 2017 春数理方程 B 期末第七题 ·············································· 11 1.7.5 2019 春数理方程 B 期末第七题 ·············································· 11 1.7.6 2020 春数理方程 B 毕业班期末第六题 ····································· 12 2 重要考点梳理 ······················································································ 13 2.1 定解问题的书写 ·········································································· 13 2.2 行波法求解定解问题 (并和积分变换法作比较) ··································· 15 2.3 阻尼振动问题中的行波法使用 ························································ 17 2.4 齐次化原理的应用 ······································································· 19 2.5 分离变量法求解定解问题 ······························································ 21 2.6 积分变换法求解定解问题 ······························································ 27 2.7 δ 函数的性质 ·············································································· 28 2.8 基本解方法求解定解问题 ······························································ 29 3 经典问题专题复习 ················································································ 30 3.1 简介 ························································································· 30 3.2 函数变换法的应用 ······································································· 30 3.3 重要的物理学定律 ······································································· 32 3.4 微元法分析书写定解问题 ······························································ 34 3.5 施刘定理相关问题 ······································································· 36 3.6 勒让德多项式的递推公式推导 ························································ 37 3.7 一类重要的函数的傅里叶变换求解的特殊方法 ··································· 39 2
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 3.8分离变量法求解基本解 40 3.9方向导数 3.10变量代换的定义域问题 44 4课程作业易错题总结… 46
数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 3.8 分离变量法求解基本解 ································································· 40 3.9 方向导数 ··················································································· 42 3.10 变量代换的定义域问题 ································································ 44 4 课程作业易错题总结 ············································································· 46 3
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 期末考试题目考点分析 1.1偏微分方程通解的求解 偏微分方程通解的求解是重要考点之一，主要通过通解法求解定解问题类型题目考察， 偶尔也会直接出现求解偏微分方程通解的题目.主要掌握三类偏微分方程通解的求解力 法，即掌握可直接积分类型的求解以及变量代换和函数变换方法在转化到可直接积分 类型中的应用.对应作业题目第一章第2题和第6题. 1.1.12014春数理方程B期末第一题 求下列偏微分方程的通解u=u(红，) 1. d0= +=w 1.1.22017春数理方程B期末第一题 求方程wr+yuy=0的一般解. 1.2通解法（行波法）求解定解问题 这类问题几乎每年都有考察，主要考察对于通解法求解定解问题的掌握.这类题目以考 察行波法为主，偶尔会涉及其他类型的偏微分方程通解的求解.需要熟练掌握行波法的 使用条件，以及通解法求解定解问题的流程.对应于作业第一章题目的第11题. 1.2.12016春数理方程B期末第三题 考虑初值问题 4=4u+f,x),(t>0,-<x<+o∞） 、4l=0=z2,4l=0=sin2z
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 期末考试题目考点分析 1.1 偏微分方程通解的求解 偏微分方程通解的求解是重要考点之一，主要通过通解法求解定解问题类型题目考察， 偶尔也会直接出现求解偏微分方程通解的题目. 主要掌握三类偏微分方程通解的求解方 法，即掌握可直接积分类型的求解以及变量代换和函数变换方法在转化到可直接积分 类型中的应用. 对应作业题目第一章第 2 题和第 6 题. 1.1.1 2014 春数理方程 B 期末第一题 求下列偏微分方程的通解 u = u(x, y) 1. ∂ 2u ∂x∂y = x 2 y 2. y ∂ 2u ∂x∂y + ∂u ∂x = xy 1.1.2 2017 春数理方程 B 期末第一题 求方程 ux + yuxy = 0 的一般解. 1.2 通解法 (行波法) 求解定解问题 这类问题几乎每年都有考察，主要考察对于通解法求解定解问题的掌握. 这类题目以考 察行波法为主，偶尔会涉及其他类型的偏微分方程通解的求解. 需要熟练掌握行波法的 使用条件，以及通解法求解定解问题的流程. 对应于作业第一章题目的第 11 题. 1.2.1 2016 春数理方程 B 期末第三题 考虑初值问题 ( utt = 4uxx + f(t, x),(t > 0, −∞ < x < +∞) u| t=0 = x 2 , ut | t=0 = sin 2x 4
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.如取f(化，x)=0,求此初值问题的解 2.如取f(t,x)=2x2,求此初值问题相应的解 1.2.22017春数理方程B期末第二题 求解一维半无界弦的自由振动问题： ur=9ur,(t>0,00) ul-o=2,uel=o=sin 3r 1.2.42020春数理方程B毕业班期末第一题 求解下列Cauchy问题 1. ∫t=4uz,(t>0,-oo<x<+∞) ul=o=2,=o=cos 2x 0器=20 u(0,y)=y,u(r,0)=sin 1.3求解固有值问题 这类题目在近年来考察频率也比较高，几乎每年都会有考察.这类题目的做法核心是要 认识到求解固有值问题本质上是求解带有未知参数入的常微分方程问题.所以，只需要 将其当作一般的常微分方程问题来处理。总的来讲，可能会用到的方法有：降阶法，特 征根法，特殊函数法.其中降阶法主要要求掌握可降阶类型的表达形式，以及降阶所使 用的函数变换方法：特征根法主要要求掌握一般方程和特征根方程的对应关系，以及 对应解的形式（特征根法求解属于常见类型，也是重点，关于特征根法的思想阐述详见 文件”特征根法，你到底，你到底是谁)：特殊函数法是这门课程中主要学习的一种求 解特殊固有值问题的方法，主要要求掌握两类方程的表达形式，以及对应方程的解.对 应于作业第二章第1题和第2题
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1. 如取 f(t, x) = 0, 求此初值问题的解. 2. 如取 f(t, x) = t 2x 2 , 求此初值问题相应的解. 1.2.2 2017 春数理方程 B 期末第二题 求解一维半无界弦的自由振动问题: utt = 9uxx,(t > 0, 0 0) u| t=0 = x 2 , ut | t=0 = sin 3x 1.2.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第一题 求解下列 Cauchy 问题: 1. ( utt = 4uxx,(t > 0, −∞ < x < +∞) u| t=0 = x 2 , ut | t=0 = cos 2x 2. ( ∂ 2u ∂x∂y = 20 u(0, y) = y 2 , u(x, 0) = sin x 1.3 求解固有值问题 这类题目在近年来考察频率也比较高，几乎每年都会有考察. 这类题目的做法核心是要 认识到求解固有值问题本质上是求解带有未知参数 λ 的常微分方程问题. 所以，只需要 将其当作一般的常微分方程问题来处理. 总的来讲，可能会用到的方法有：降阶法，特 征根法，特殊函数法. 其中降阶法主要要求掌握可降阶类型的表达形式，以及降阶所使 用的函数变换方法；特征根法主要要求掌握一般方程和特征根方程的对应关系，以及 对应解的形式 (特征根法求解属于常见类型，也是重点，关于特征根法的思想阐述详见 文件” 特征根法，你到底，你到底是谁”)；特殊函数法是这门课程中主要学习的一种求 解特殊固有值问题的方法，主要要求掌握两类方程的表达形式，以及对应方程的解. 对 应于作业第二章第 1 题和第 2 题. 5
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.3.12014春数理方程B期末第二题 求下列固有值问题的解，要求明确指出固有值及其所对应的固有函数 了x2”"+x+Ax2y=0,(0<x<2) ly(0川<+o∞，(2)=0 1.3.22016春数理方程B期末第一题 求以下固有值问题的固有值和固有函数 y"(e)+AY(x)=0,(0<x<16) Y'(0)=0,Y'(16)=0 1.3.32016春数理方程B期末第八题 考察勒让德方程对应固有值问题的求解，以及函数在勒让德多项式所构成的固有函数 系上的展开， 考虑固有值问题 是[1-x2)]+y=0,(0<x<1) 0)=0,l(1川<+ 1.求此固有值问题的固有值和固有函数. 2.把f()=2x+1按此固有值问题所得到的固有函数系展开 1.3.42019春数理方程B期末第三题 求解固有值问题 了”+2+Aw=0,(0<x<9) ((0)=y(9)=0 1.3.52020春数理方程B毕业班期末第二题 二.(18分)求以下固有值问题的固有值和固有函数：1 Y"()+Y(x)=0,(0<x<) 1Y0)=0,Y()=0 x2Y"(x)+xY"(x)+AY(x)=0,(1<x<b) Y(1)=0,Y'(b)=0 6
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.3.1 2014 春数理方程 B 期末第二题 求下列固有值问题的解, 要求明确指出固有值及其所对应的固有函数 ( x 2 y ′′ + xy′ + λx2 y = 0,(0 < x < 2) |y(0)| < +∞, y′ (2) = 0 1.3.2 2016 春数理方程 B 期末第一题 求以下固有值问题的固有值和固有函数 ( Y ′′(x) + λY (x) = 0,(0 < x < 16) Y ′ (0) = 0, Y ′ (16) = 0 1.3.3 2016 春数理方程 B 期末第八题 考察勒让德方程对应固有值问题的求解，以及函数在勒让德多项式所构成的固有函数 系上的展开. 考虑固有值问题 ( d dx [(1 − x 2 ) y ′ ] + λy = 0,(0 < x < 1) y ′ (0) = 0, |y(1)| < +∞ 1. 求此固有值问题的固有值和固有函数. 2. 把 f(x) = 2x + 1 按此固有值问题所得到的固有函数系展开. 1.3.4 2019 春数理方程 B 期末第三题 求解固有值问题 ( y ′′ + 2y ′ + λy = 0, (0 < x < 9) y(0) = y(9) = 0 1.3.5 2020 春数理方程 B 毕业班期末第二题 二. (18 分) 求以下固有值问题的固有值和固有函数: 1 ( Y ′′(x) + λY (x) = 0,(0 < x < π) Y ′ (0) = 0, Y ′ (π) = 0 2 ( x 2Y ′′(x) + xY ′ (x) + λY (x) = 0,(1 < x < b) Y (1) = 0, Y ′ (b) = 0 6
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4分离变量法求解定解问题 分离变量法是求解定解问题的重要方法之一，也是这门课程的重点.分离变量法求解定 解问题几乎每年都会有考察对于这类题目，首先要选择合适的变量，进而判断是否为 齐次.对于非齐次问题，需要转化为齐次问题才能直接进行分离变量法求解.对应于作 业第二章310题和第三章16、18、19、25、27、28、29题. 1.4.12014春数理方程B期末第五题 「△2u=0.(r0) u(t.0)=0.u(t,1=1 u(0,x)=p(x)+x,u4(0,)=6(x-) 1.4.32014春数理方程B期末第七题 ur+w+4s:=名，(r2+2+20,0<x<5) u(t,0)=u(6,5)=0 u(0,)=(x) 并求(x)=(x-2)时此定解问题的解
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4 分离变量法求解定解问题 分离变量法是求解定解问题的重要方法之一，也是这门课程的重点. 分离变量法求解定 解问题几乎每年都会有考察. 对于这类题目，首先要选择合适的变量，进而判断是否为 齐次. 对于非齐次问题，需要转化为齐次问题才能直接进行分离变量法求解. 对应于作 业第二章 3-10 题和第三章 16、18、19、25、27、28、29 题. 1.4.1 2014 春数理方程 B 期末第五题 ( ∆2u = 0,(r 0) u(t, 0) = 0, u(t, 1) = 1 u(0, x) = φ(x) + x, ut(0, x) = δ x − 1 2 1.4.3 2014 春数理方程 B 期末第七题 ( uxx + uyy + uzz = z,(x 2 + y 2 + z 2 0, 0 < x < 5) u(t, 0) = u(t, 5) = 0 u(0, x) = ϕ(x) 并求 ϕ(x) = δ(x − 2) 时此定解问题的解. 7
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4.52016春数理方程B期末第五题 求解以下定解问题： 4=um+u,(00,t>0,-o00,00,0<x<1) 叫0有界，4=1=0 4=0=p()
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4.5 2016 春数理方程 B 期末第五题 求解以下定解问题: ut = urr + 1 r ur,(0 0, t > 0, −∞ 0, 0 0, 0 < x < 1) u|x=0 有界, ux|x=1 = 0 u| t=0 = φ(x) 8
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4.92017春数理方程B期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题： 了ur+w+u:=之，(x2+y+20) 4=0=4z=1=1 4l=0=0,ul-0=0 1.4.112019春数理方程B期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题 △3u=0,(x2+y20,00,0<x<1) u(t,0)=u(t,1),uz(化，0)=uz(亿，1) u(0,)sin 2nz,ut(0,r)=2 cos 2 1.5特殊函数的积分求解（性质、递推公式的应用） 这类题目从2019春期末开始，近两年都有考察.主要考察特殊函数的基本概念、性质 以及递推公式的应用，并且考察积分求解方法，如换元法、分部积分法等.对应作业第 三章第9、22、23题
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4.9 2017 春数理方程 B 期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题: ( uxx + uyy + uzz = z,(x 2 + y 2 + z 2 0) u|x=0 = u|x=1 = 1 u| t=0 = 0, ut | t=0 = 0 1.4.11 2019 春数理方程 B 期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题 ∆3u = 0,(x 2 + y 2 0, 0 0, 0 < x < 1) u(t, 0) = u(t, 1), ux(t, 0) = ux(t, 1) u(0, x) = sin 2πx, ut(0, x) = 2π cos 2πx 1.5 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用) 这类题目从 2019 春期末开始，近两年都有考察. 主要考察特殊函数的基本概念、性质 以及递推公式的应用，并且考察积分求解方法，如换元法、分部积分法等. 对应作业第 三章第 9、22、23 题. 9
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.5.12019春数理方程B期末第八题 计算积分 [A国0+r+22+3r+r血 1.5.22020春数理方程B毕业班期末第五题第一问 卫为n阶勒让德函数，写出B(x),B(c),P(x),并计算积分」，(20+x)P(x)d. 1.6积分变换法求解定解问题 这类题目几乎每年都有考察，一般为一道题目.对应作业第四章第1、2题以及补充题 目. 1.6.12014春数理方程B期末第四题 月积分变换法求解 ∫4=a2urr+u,(-00) u(0,x)=p(r) 1.6.22016春数理方程B期末第四题 求解以下初值问题 t=4u+5u,(t>0,-o0) u(0,x)=e 1.6.42020春数理方程B毕业班期末第四题 求解 4=urr+u,(t>0,0<x<+oo) 4=0=6(x+1) 10
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.5.1 2019 春数理方程 B 期末第八题 计算积分 Z 1 −1 P4(x) 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 dx 1.5.2 2020 春数理方程 B 毕业班期末第五题第一问 Pn 为 n 阶勒让德函数, 写出 P0(x), P1(x), P2(x)，并计算积分 R 1 −1 (20 + x)P2(x)dx. 1.6 积分变换法求解定解问题 这类题目几乎每年都有考察，一般为一道题目. 对应作业第四章第 1、2 题以及补充题 目. 1.6.1 2014 春数理方程 B 期末第四题 月积分变换法求解 ( ut = a 2uxx + u,(−∞ 0) u(0, x) = φ(x) 1.6.2 2016 春数理方程 B 期末第四题 求解以下初值问题 ( utt = 4uxx + 5u,(t > 0, −∞ 0) u(0, x) = e −x 2 1.6.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第四题 求解 ( ut = uxx + u,(t > 0,∞ < x < +∞) u| t=0 = δ(x + 1) 10