无穷级数（共65题） 一、流择短 1、下列级数中收敛的是( )(较易) A、】 1 B、 +1 c3” 0八 4 a 名n+2) 台n2 (n-n+3) 2、下列缓数中发散的是( )(中等) A 1 1 台nlnn c. 台ln厅 台in m(In In 3、下列级数中，发散的级数是( )《中等) 甜 B、 宁-9 点hn 4n -)°n 3 名n+l n' 、设无穷缓最∑。，收敛，无穷级数∑，发散，则无穷级数∑a。+b,)( )(较易) A、条件收致 B绝对收敛 C、发胜 D、可能收敛也可能发敏 5,设无穷级数∑收敛，则( )(较易) A,P>1 B、p2 D、p<2 6、在下列饭数中，发散的是()（较号） 如动 B、001+60i+601+ 0.；自+自-自 不、设无穷级数∑3刘收敛，则：应满足( )(较易) A.q<l B、-la1 C.0≤q3 D、g≥1 8、下列无穷级数中绝对收敛的是( )〔较易)
1 无穷级数（共 65 题） 一、选择题 1、下列级数中收敛的是（ ）（较易） A、 =1 1 n n n n B、 = + + 1 ( 2) 1 n n n n C、 = 1 2 3 n n n n D =1 ( −1)( + 3) 4 n n n 2、下列级数中发散的是（ ）（中等） A、 2 1 n n n ln = B、 2 1 ln n n n = C、 2 2 1 n n n (ln ) = D 2 4 1 n n n n ln (ln ln ) = 3、下列级数中，发散的级数是（ ）（中等） A、 n=1 2 3 n 1 B、 = − n 2 n ln n ( 1) C、 = + − n 1 n n 1 ( 1) n D、 = n 1 3 n 3 4n sin 4、设无穷级数 n=1 n a 收敛,无穷级数 n=1 bn 发散,则无穷级数 = + n 1 n n (a b ) （ ）（较易） A、条件收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、可能收敛也可能发散 5、设无穷级数 = − n 1 3 p n 1 收敛，则（ ）（较易） A、p>1 B、p2 D、p<2 6、在下列级数中,发散的是 ( ) （较易） A、 3 1 1 ( ) n n = B、 3 0.01 0.01 0.01 +++ C、 1 1 1 2 4 8 + + + D、 3 3 3 3 2 3 4 ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 − + − + 7、设无穷级数 =3 3 n n q 收敛，则 q 应满足（ ）（较易） A、q<1 B、-1<q<1 C、0≤q<3 D、q≥1 8、下列无穷级数中绝对收敛的是（ ）（较易）
片a2 2&0 台N分 D.(l) 台nhn 9、下列饭数中条件收微的是()（中等】 2-旷 一2-w日 C. -r (n+) 10、∑出，为正项领数，下列命题中错误的是()（中等） A.知果1im, =P1，则，爱敬 强空r城w )(中等) A.(2,4) B.[2,4] C包4 b.4) 12、级数=马的和函数为( )(中等) 白nx A.-I(1-x)-x B.(2-x)C.hx D,以上都不对： 13、函数x的麦克劳林展开式是( )(中等) xK0 7 Ixkto Ixk+oo 97 |xk灯 14、(0)存在是自x)可展开成x的幂级数的()（中等） A,充要条作 B、充分但非必要条件 C,您要而不充分条件 D、既不是充分条件也非必要条件 15、f(x是以周期为2江的周期函数，它在[-，)的表达式为fx)= [x-sx50.f(x) 0,0≤有≤开 2
2 A、 n n n 1 ( 1) 1 = − B、 = + − 2 1 ln ( 1) n n n C、 = + − 1 1 ( 1) n n n n D、 = + − 2 1 ln ( 1) n n n n 9、下列级数中条件收敛的是（ ）（中等） A、 n n n 1 ( 1) 1 1 = + − B、 2 1 1 ( 1) n n n = − C、 1 ( 1) 1 + − = n n n n D、 ( 1) 1 ( 1) 1 + − n= n n n 10、 n=1 un 为正项级数，下列命题中错误的是（ ）（中等） A、如果 1 1 lim = + → n n n u u ，则 n=1 un 收敛。 B、如果 1 1 lim = + → n n n u u ，则 n=1 n u 发散。 C、如果 1 1 + n n u u ，则 n=1 un 收敛。 D、如果 1 1 + n n u u ，则 n=1 un 发散。 11、幂级数 = − − n 1 n 2 n (x 3) n ( 1) 的收敛域为（ ）（中等） A、（2，4） B、［2，4］ C、 (2， 4 D、2， 4) 12、级数 n n x x n ) 1 ( 1 1 − = 的和函数为（ ）（中等） A、 − ln(1− x) − x B、ln( 2 − x) C、ln x D、以上都不对。 13、函数 sinx2 的麦克劳林展开式是（ ）（中等） A. − + − + | | + 7! 1 5! 1 3! 2 1 6 10 14 x x x x x B. − + − x + | x | + 7! 1 x 5! 1 x 3! 1 x 3 5 7 C.( − + − x + ) | x | + 7! 1 x 5! 1 x 3! 1 x 2 5 7 2 D. − + − x + | x | + 6! 1 x 4! 1 x 2! 1 1 2 4 6 14、 (0) (n) f 存在是 f(x)可展开成 x 的幂级数的（ ）（中等） A、充要条件 B、充分但非必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不是充分条件也非必要条件 15、 f (x) 是以周期为 2 的周期函数，它在 [−, ] 的表达式为 − = x x x f x 0,0 , 0 ( ) ， f (x)
的博立叶级数的和函数为S(x),则S(x)一〔 )(中第) )-号 (B)-x(C)0(D)其它值 16、f(x)=Sin水-厅≤x≤)的傅立叶系数a,b,满是( )(中等) (A)a,=0对=01,21b*0n=12)(B)6=0m=L2-以a-=0成k=01,2- (C）a.*0线a=0,12k6-0n-12) (D)以上结论都不对. 17、利用/)=x产在-京，副上的博立叶展开式可求得号 )(中等) (A) (B) (c) (D) 6 x0<X<开 18.Fx)= x+2x,-8<x<0 展成简立叶级数号+立a,c0sm8+b.5中用) 2 则系数，满足(）（较难） A、a.=0n=0.L,2 B、a6=2T,0,=0n=12) C、a.≠0n=12) D、a=0a,≠0n=12） 二、填空题 1、级数子-付号…的一极项是 ·(较易) 2.设无穷级数∑红，收数，则极限m队，- 一·〔较号) 11 3、无穷级数 22334 …的和为 。《中等) m+1) 本领数了 收敛，则P的取值范围为 ,(较易》 nP 5、函数 ,1的x的幂级数展开式为 (较易) 1+2x 6、冪级数∑”的收版半径R=」 (中等) 2 7、级数了 的收敛域是 (较易)
3 的傅立叶级数的和函数为 S（x），则 S( ) =（ ）（中等） （A） 2 − （B） − （C）0 （D）其它值 16、 f (x) = sin x (− x ) 的傅立叶系数 an bn , 满足（ ）（中等） （A） a = 0(n = 0,1,2),b 0(n =1,2) n n （B） 0( 1,2 ), 0( 0,1,2 ) bn = n = a2k−1 = k = （C） a 0(n = 0,1,2),b = 0(n =1,2) n n （D）以上结论都不对。 17、利用 2 f (x) = x 在 [−, ] 上的傅立叶展开式可求得 =1 2 1 n n =（ ）（中等） （A） 3 2 （B） 6 2 （C） 9 2 （D） 12 2 18、 + − = 2 , 0 ,0 ( ) x x x x F x 展成傅立叶级数 ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n n = + + 则系数 an 满足（ ）（较难） A、 a = 0(n = 0,1,2) n B、 2 , 0( 1,2 ) a0 = an = n = C、 a 0(n =1,2) n D、 0, 0( 1,2 ) a0 = an n = 二、填空题 1、级数 − + − + − 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 的一般项是 。（较易） 2、设无穷级数 n=0 n u 收敛，则极限 n n u → lim =__________。（较易） 3、无穷级数 + + + + + + ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的和为________。（中等） 4、级数 0 1 p n n = 收敛，则 P 的取值范围为 。（较易） 5、函数 f(x)＝ 1 2x 1 ＋ 的 x 的幂级数展开式为_______________.（较易） 6、幂级数 2 1 1 2 n n n n x − = 的收敛半径 R = .（中等） 7、幂级数 1 n n x n = 的收敛域是 .（较易）
8、f八x)满足收敛的条件，其得立叶级数的和函数为Sx,已知x)在x0处左连续，且 f0)=-1,S0)=2,则mfx)- ·(较易) 9.设= 耳≤x≤0 展成以2x为周期的傅立叶领数的和函数为S(x),则S(3) X0SISI S(12》=-s(kx) k为整数。（中等） 三、判断题 1、判断无穷级数 1 的敛散性。（中等） 台(n+1n+3) 2、判断无穷级数) -少一的数敬性，若收敛。指出是绝对收效还是条件收敛〔较 hn 3、判断无穷级数 的数散性， (中等) 1.2 4、判断缓数 +…的敛散性（中等） 12 5. 判斯领数了2 的数散性《较易) 台Mm+3动 判新领数了2”sn三的敛敬性《较易) 判断领数了 cos 7. 王的敛散性（中等） + 8. 判断级数∑1-c0s与)的敛散性（中等） 9. 列断领数上（任-如马的饭敬性（较难） 10. 判斯级数 3=1 )”的微散性（中等） 4桥+1
4 8、 f (x) 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为 S(x)，已知 f(x)在 x=0 处左连续，且 (0) 1, (0) 2, lim ( ) 0 f S f x x→ + = − = 则 = 。（较易） 9、设 − + − = x x x x x f x 1 ,0 , 0 ( ) 展成以 2 为周期的傅立叶级数的和函数为 S(x)，则 S（-3） = ，S（12）= ，S (k ) = ，k 为整数。（中等） 三、判断题 1、判断无穷级数 =1 ( +1)( + 3) 1 n n n 的敛散性。 （中等） 2、判断无穷级数 = − n 2 n ln n 1 ( 1) 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.（较难） 3、判断无穷级数 n=1 2 ! 2 n n n 的敛散性. （中等） 4、判断级数 4 4 4 1 2 1! 2! ! n n + + + + 的敛散性（中等） 5、 判断级数 1 2 n n n( 3) = + 的敛散性 （较易） 6、 判断级数 1 2 sin 3 n n n = 的敛散性 （较易） 7、 判断级数 =1 + 3 2 ( 1) 3 cos n n n n 的敛散性 （中等） 8、 判断级数 ) 1 (1 cos 1 = − n n 的敛散性 （中等） 9、 判断级数 ( sin ) 1 = − n n n 的敛散性 （较难） 10、 判断级数 n n n n ) 4 1 3 1 ( 1 = + − 的敛散性 （中等）
、列断无穷级数三-广只的敛散性，着收敛。指出是绝对收数还是条件收数（软 12、判断无穷级数】 (-一一的数散性，若收敛。指出是绝对收数还是条件收数 1+) (较难) sn- 13. 判斯无穷级数∑一的效版性，若收效，指出是绝对收数还是条件收敛《较难) 14. 判断无穷级数∑(-八上+马 二+-]的敛散性，若收敛。指出是绝对收数还是条件收数 (较难) 四、计算恩 1、求幂级数上x“的收敛城《中等) 2、求都级数之是红-2r的收微城（中等 2” 3、求级数1- 32 43 x2+x-x+…的收半径及收城。《中等) 2 4 6 小求那很版空旷司的收放率径及收敛线。（中等》 5、求级数B+工xr的牧数华径及收敛城，中等 6、求幂级数∑(2-1)(x-1)的收敛城及和话数。（较难） 不求帮级数 二x”的和函数。〔难】 台 8,求幂级数丁 x 的和函数。（中等） (+)
5 11、判断无穷级数 = − − − 1 1 1 3 ( 1) n n n n 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.（较 难） 12、判断无穷级数 = − + − 1 1 ln(1 ) 1 ( 1) n n n 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. （较难） 13、判断无穷级数 = + + 1 1 1 sin n n n 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.（较难） 14、判断无穷级数 ] 1 1 [( 1) n 1 n n n − + = 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. （较难） 四、计算题 1、求幂级数 0 ! n n n n x n = 的收敛域 （中等） 2、求幂级数 = − 1 ( 2) 2 n n n x n 的收敛域 （中等） 3、求级数 2 3 3 3 3 2 4 6 1 2 4 6 − + − + x x x 的收敛半径及收敛域。（中等） 4、求幂级数 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n + = − + 的收敛半径及收敛域。（中等） 5、求级数 = + − 1 [3 ( 1) ] n n n n x n 的收敛半径及收敛域。（中等） 6、求幂级数 ( )( ) 2 1 1 2 1 1 n n n x + = − − 的收敛域及和函数。（较难） 7、求幂级数 =1 1 n n x n 的和函数.（难） 8、求幂级数 1 ( 1) n n x n n = + 的和函数。（中等）
9、在区间(-1.1)内求幂级数 的和函数.（较易） 10、求级数广+2加+2的和，《较难) 11、将函数)=2一根开为x的幂级数（中等） 、将函数纱二展开成+2)的琴级数〔通 13、将函数=，】展开为r1的幕级数。（较难） 3+ 14.将函数f(冈-4x+ 1 按下列方式展开成鬈级数（中等）】 15,将函数f(x)=n(1+x+x2+x)展开成x的琴级数，并求其收数域。（较难） 2 16.试将区一2 2 展成以2x为周期的博立叶级数《中等) 足元5x<营 22 17、将八(x)=x(-1三xs1)履开成以2为周期的博立叶领数，并由该领数求】 2-”片和.做 18、将函数f(x)-2sn（-灯≤x≤）展开成以2x为周明博立叶领数。（中等） 五、棕合题及证明题 1、利用常见幂级数履开式求极限Iim e-1-x 《中等) sin2x 2、利用常见琴级数展开式求极限1m 1-cos(sun) (中等) 2ln1+x2) 3.利用常见琴缓数展开式求授限1im(F+3x-√F-2r) (较易》
6 9、 在区间 ( 1,1) − 内求幂级数 1 1 n n x n + = 的和函数.（较易） 10、求级数 2 1 2 2 n ! n n n = + + 的和。（较难） 11、将函数 ( ) 2 x f x x = − 展开为 x 的幂级数（中等） 12、将函数 f(x)= 2 1 x 展开成（x+2）的幂级数.（难） 13、将函数 f(x)= 3+ x 1 展开为 x-1 的幂级数．（较难） 14、将函数 ( ) 2 1 4 3 f x x x = − + 按下列方式展开成幂级数（中等） 15、将函数 ( ) ( ) 2 3 f x x x x = + + + ln 1 展开成 x 的幂级数，并求其收敛域。（较难） 16、试将 − − − − x x x x 2 , 2 2 2 , 2 , 2 展成以 2 为周期的傅立叶级数（中等） 17、将 ( ) ( 1 1) 2 f x = x − x 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并由该级数求 =1 2 1 n n 、 = + − 1 2 1 1 ( 1) n n n 和。（较难） 18、将函数 ( ) 2sin ( ) 3 x f x x = − 展开成以 2 为周期傅立叶级数。（中等） 五、综合题及证明题 1、利用常见幂级数展开式求极限 3 3 6 1 lim sin 2 x x e x → x − − （中等） 2、利用常见幂级数展开式求极限 2 1 cos(sin ) lim 2ln(1 ) x x → x − + （中等） 3、利用常见幂级数展开式求极限 3 3 2 lim( 3 2 ) x x x x x → + − − （较易）
太利阳常足琴强数是开大求餐限回(》+月 0s2xsim2x-x2-x2）月 利用常见幂级数展开式求极限1m (较难) x 6、证明级数了 一x当|xke时绝对收敛，当引x上e时发散。（垂）
7 4、利用常见幂级数展开式求极限 1 1 lim ln 1 n 2 n → n + + （难） 5、 利用常见幂级数展开式求极限 ( ) 4 2 2 2 2 3 6 0 cos sin 1 lim x x x x x → x − − （较难） 6、证明级数 1 ! n n n n x n = 当 | | x e 时绝对收敛，当 | | x e 时发散。（难）