第7章多元函数微分法及其应用 一、选择思 函数/化，=广的定义线是( )。(较易) A,{(x,y0.y2≥对 B.xy2≥ C、xy肛*0y2≤x对 D、x,y2>x对 2、函数：=aesn自-y）+h(x-y)的定义域是( )。(较易) A、{xy)川0≤y≤2y C、x,y)ly*0,ys对 D、{x,y川y≠0，y<x对 xsin-+ys到n- 4、设函数(x,)= 岁≠0 ,则极限imf(x,)=(,《较易) 0 少=0 动 A,不存在 B.等于1 C.等于0 D、等于2 人：=m之则尝+y后 )(较难) A、0 B.1 C. D. 6.设u=cos(y）则业.( )。(中第) A.-y2sin(y2）】 B、y2sin(y） c.sin(g） D.-y2cos(y）
第 7 章 多元函数微分法及其应用 一、选择题 1、函数 f (x, y) = 2 y x x − 的定义域是（ ）。（较易） A、 2 {( , )| 0 } x y x y x ， B、 2 {( , )| } x y y x C、 2 {( , )| 0 } x y x y x ， D、 2 {( , )| } x y y x 2、函数 z = arcsin(1− y)+ ln(x − y) 的定义域是（ ）。（较易） A、{( x, y) | 0 y 2, y x} B、{( x, y) | x y 2} C、{( x, y) | 0 y x} D、{( x, y) | y x} 3、函数 x y y z 1 1 + − = 的定义域是（ ）。（较易） A、{( x, y) | y x} B、{( x, y) | y 0, y x} C、{( x, y) | y 0, y x} D、{( x, y) | y 0, y x} 4、设函数 f x y x y y x xy xy ( , ) sin sin = + = 1 1 0 0 0 ，则极限 lim ( , ) x y f x y → → 0 0 =（ ）。（较易） A、不存在 B、等于 1 C、等于 0 D、等于 2 5、设 x y z = x sin ，则 = + y z y x z x （ ）。（较难） A、0 B、1 C、 z D、 2 z 6、设 ( ) 2 u xy = cos ，则 u x =（ ）。（中等） A、 ( ) 2 2 −y xy sin B、 ( ) 2 2 y xy sin C、 ( ) 2 sin xy D、 ( ) 2 2 −y xy cos
7、设fx,)=∠+x,则L0)=().(中等) A,0 B,1 C.-1 D、2 8设：=少严，则在+ n=( )。(中等) A,2 B、1+h2 C.0 D.1 9、函数：=八x,)在点(x。,片)处具有偏导数是它在该点存在全微分的()，（较易） A、必要面非充分条件： B、充分而非必要条件： C、充分必要条件： D、既非充分又非必要条件 10、设函数：=n1+x2+y),则全微分正”《 )。(中等) 1d-2dy 33 B、 33 2 C+ 2 D+ 11、设函数：=e”,则全微分止■( )。(中等) A.edx B,(本+xe7 C、k+xd D、(y+xe" 12。函数：■4(x-y)-x2-y2的驻点是《 ).(较易) A,(22) B、（-2-2) C.(2.-2) D.(-2.2) 13.两数fx,y)=(x2+y2-2(x2-y2)的极值点是(。（中等） A.(0,0) B、(L,1) C、(0.1) D.(0,1) 14、授函数：-1-√x2+y2,则点(0.0)是函数：的《.（较易）
7、设 ( , ) ln( x) x y f x y = + ，则 (1,0) x f = （ ）。（中等） A、0 B、1 C、 −1 D、2 8、设 z y x = ，则 ( ) ( , ) z x z y + 2 1 = （ ）。（中等） A、2 B、 1+ln2 C、0 D、 1 9、函数 z = f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）。（较易） A、必要而非充分条件； B、充分而非必要条件； C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件 10、设函数 ( ) 2 2 z x y = + + ln 1 ，则全微分 (1,2) dz = （ ）。（中等） A、 1 2 + 3 3 dx dy B、 1 2 - 3 3 dx dy C、 2 + 3 dx dy D、 1 2 - + 3 3 dx dy 11、设函数 xy z = e ，则全微分 dz = （ ）。（中等） A、 e dx xy B、 xy (ydx + xdy)e C、 ydx + xdy D、 xy ( y + x)e 12、函数 ( ) 2 2 z x y x y = − − − 4 的驻点是（ ）。（较易） A、 (2,2) B、(-2,-2) C、 (2,-2) D、(-2, 2) 13、函数 2 2 2 2 2 f x y x y x y ( , ) ( ) 2( ) = + − − 的极值点是（ ）。（中等） A、 (0,0) B、(1,1) C、（0，-1） D、（0,1） 14、设函数 z = 1− x + y 2 2 ，则点 (0,0) 是函数 z 的 （ ）。（较易）
A,极大值点但非最大值点 B、极大值点且是最大值点 C、极小值点但非最小值点 D、极小植点且是最小植点 15设xy)=x2+y-y2,则f0,0)是x,y)的(。（中等） A. 极大植 B,极小值 C,非极值 D,不能确定 16.设r2+r2+2-2z-0,则。（) dx 二、填空题 1、函数：=ny的定义城为 -·(较易) 医 2.函数：=aein(y-x)+ 的定义城为 (中等) V-x-y 3.函数：=--丁+F+y可的定义域是 (较易) 4,极限lim x+y :《中等) +2+y-1 Iny+e") 5极限回+户 一·《较易) 6、设函数fx,》=”,则x+.x-= 。(较易) x+V 7设函数：5x2+y).则 。(较易) a 8、设2=×4y,则 。(较易) 9、设u=xny。则 u 。《中等) dxdy
A、极大值点但非最大值点 B、极大值点且是最大值点 C、极小值点但非最小值点 D、极小值点且是最小值点 15、设 2 2 f (x, y) = x + xy − y ，则 f (0, 0) 是 f (x, y) 的（ ）。（中等） A、 极大值 B、 极小值 C、 非极值 D、不能确定 16、设 2 2 2 x y z z + + − = 2 0 ，则 z x = （ ） A、 1 x − z B、 2 x − z C、 1 x z − D、 2 x z − 二、填空题 1、函数 z xy = ln 的定义域为 。（较易） 2、函数 ( ) 2 2 arcsin 1 x z y x x y = − + − − 的定义域为 .（中等） 3、函数 2 2 2 2 z x y x y = − − + + − 4 1 的定义域是 _________________.（较易） 4、极限 2 2 0 2 2 0 lim 1 1 x y x y x y → → + + + − = 。（中等） 5、极限 lim ln( ) x y x y e x y → → + + 0 1 2 2 2 = 。（较易） 6、设函数 f x y xy x y ( , ) = + ，则 f (x + y, x − y) = 。（较易） 7、设函数 sin( ) 2 2 z = x + y ，则 = x z ___________。（较易） 8、设 Z=x2+y，则 z x x y = = 2 = 1 _________ 。（较易） 9、设 u = x ln xy ，则 2 u x y = ___________ 。（中等）
10、设：=nx+y2),则止= 。(中等) 11、函数：=2+x2+y2)在x=2,y=1时的全微分为 (中等) 12、设：=nF+y+arctan+y,则止= (中等) x-V 13、设：=x,y)由：3+x+’=1所确定，则厂0.0)=一·（较难） 14、授：=在油x2+少2+：2-4：=0所确定，则空=-」 的 dx (较难) 15、设方程-h三确定函数：一化功，则交。 ·（中等） y 16、两数：川由方程x+少+：em所确定，则兰 (较难) 17、函数：=(6x-x2)(4y-y)的驻点是一·（较易） 18.设函数：■x,y)由方程2x2-3y2+2:2+60y-14x-6y+:+4=0确定，则函数： 的驻点是 。(较难) 19、设函数：■(x,y)在点()处可微，则点(x)是函数：的极值点的必要条件 为 (较易) 三、计算题 小设：=y,求 。(中等) 位' 2、求函数“=x的全微分，（中等） 3.设：=n(x+)+ctan1,其中x=2,y=2r,求：生.（较号) 4设函数：=心snv,u=v=x+y,求空色。《中等 Oxoy 5、设函数：=21n,u=r=3x-2y,米空空.（中等） dx'dy
10、设 2 z x y = + ln( ) ，则 dz = 。（中等） 11、函数 2 2 z x y = + + ln(2 ) 在 x y = = 2, 1 时的全微分为_______________（中等） 12、设 2 2 ln arctan x y z x y x y + = + + − ，则 dz =_____________________ .（中等） 13、设 z = f (x, y) 由 1 5 4 3 z + xz + yz = 所确定，则 (0,0) = ' x f 。（较难） 14、设 z = f (x, y) 由 4 0 2 2 2 x + y + z − z = 所确定，则 = x z , = y z 。 （较难） 15、设方程 y z z x = ln 确定函数 z = z(x, y) ，则 = x z , = y z 。（中等） 16、函数 z = z(x, y) 由方程 x y z e x y z + + = −( + + ) 所确定，则 2 2 z x = （较难） 17、函数 ( )( ) 2 2 z x x y y = − − 6 4 的驻点是_________。（较易） 18、设函数 z = z(x, y) 由方程 2 3 2 6 14 6 4 0 2 2 2 x − y + z + xy − x − y + z + = 确定，则函数 z 的驻点是 。（较难） 19、设函数 z = f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处可微，则点 (x , y ) 0 0 是函数 z 的极值点的必要条件 为 。（较易） 三、计算题 1、设 z y ln( xy) x = ，求 z x z y , 。 （中等） 2、求函数 yz u = x 的全微分。（中等） 3、设 z x y t = + + ln arctan ( ) ，其中 3 x t y t = = 2 , 2 ，求： dt dz 。（较易） 4、设函数 sin u z e v = ，u xy v x y = = + , ，求 , z z x y 。（中等） 5、设函数 2 z u v = ln ， , 3 2 x u v x y y = = − ，求 , z z x y 。（中等）
6设函数：=y-,x=re0s0,y=r5m0,求空色，《中等) ar'80 入已知方程r+广-4y+:-3确定爵数：一红，功，求空和兰 正众、〔较难) 8、设：=/6r-c0s小，求空，色.较 dx dy 9、求下列二元函数的极值。《中等) (1)fx.y)=x3-4x2+2-y+3 (2)八x,)=3g-x-y 10.求橘数：=xy+y2在闭域D=《x,y）川x+y2s1}上的最值.（较难） 四、应用题 1、在斜边为一切直角三角形，求出周长最大的直角三角形。（中等） 2、某厂要用以板做成一个体积为8的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取多少时，才能 使用料最省？《中等) 3、某工长生产两种产品A与B,出售单价分别为10元与9元，生产X单位的产品A与生产 y单位的产品B的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+罗+3y)(元)求取得最大利润时. 两种产品的产量各为多少？《中等) 4、设生产某产品需要原料A和B,它们的单价分别为10元、15元，用x单位原料A和少单 位原料B可生产-x2+20-8y单位的该产品。现要以最低成本生产112单位的该产品， 问需要多少原料A和B?(中等) 5、设生产某种产品的数量P与所用两种原料AB的数量x,y有关系式P-0.005x2y,欲 用150元购买材料，已知A,B原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少时， 可使生产的产品数量最多？（中等） 6、设某产品的生产函数为y■21山馬+4血马，其中无，马2分别是两种原料的授入量，设两 种原料的单价分别为4元和3元，现在用1000元购买两种原料，间怎样分配两种原料的授 入量，才能获得最大的产量？〔中等)
6、设函数 2 2 z x y xy = − ， x r y r = = cos , sin ，求 , z z r 。（中等） 7、已知方程 2 2 2 x y y z + − + = 4 3 确定函数 z = z(x, y),求 2 2 x z x z 和 。（较难） 8、设 f ( x y y) x z 3 ,cos 1 = − ，求 x z ， y z 。（较难） 9、求下列二元函数的极值。（中等） （1） 3 2 2 f x y x x xy y ( , ) 4 2 3 = − + − + （2） 3 3 f x y xy x y ( , ) 3 = − − 10、求函数 2 2 z x y y = + 在闭域 ( ) 2 2 D x y x y = + , | 1 上的最值。（较难） 四、应用题 1、在斜边为 l 一切直角三角形，求出周长最大的直角三角形。（中等） 2、某厂要用铁板做成一个体积为 8m3 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能 使用料最省？（中等） 3、某工长生产两种产品 A 与 B，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品 A 与生产 y 单位的产品 B 的总费用是 2 2 400 2 3 0.01(3 3 ) + + + + + x y x xy y （元）求取得最大利润时， 两种产品的产量各为多少？（中等） 4、设生产某产品需要原料 A 和 B，它们的单价分别为 10 元、15 元，用 x 单位原料 A 和 y 单 位原料 B 可生产 2 2 − + − x xy y 20 8 单位的该产品，现要以最低成本生产 112 单位的该产品， 问需要多少原料 A 和 B？（中等） 5、设生产某种产品的数量 P 与所用两种原料 A B ， 的数量 x y, 有关系式 2 P x y =0.005 ，欲 用 150 元购买材料，已知 A B ， 原料的单价分别为 1 元、2 元，问购进两种原料各多少时， 可使生产的产品数量最多？（中等） 6、设某产品的生产函数为 1 2 y x x = + 2ln 4ln ，其中 1 2 x x, 分别是两种原料的投入量。设两 种原料的单价分别为 4 元和 3 元，现在用 1000 元购买两种原料，问怎样分配两种原料的投 入量，才能获得最大的产量？（中等）
7、某公可可通过电台和报纸两种方式为销售商品做广告。根据统计资料，销售收入解得R (万元)与电台广告费x(万元)和报纸广告费y(万元)有如下关系： x,Jy）=15+14x+32y-8.y-2x2-10y2 求：《1)在广告费不限的情况下，求最优广告策略： (2)总广告费为15000元封的最优广告策略。（较难）
7、某公司可通过电台和报纸两种方式为销售商品做广告。根据统计资料，销售收入解得 R （万元）与电台广告费 x（万元）和报纸广告费 y(万元)有如下关系： 2 2 R x y x y xy x y ( , ) 15 14 32 8 2 10 = + + − − − 求：（1）在广告费不限的情况下，求最优广告策略； （2）总广告费为 15000 元时的最优广告策略。（较难）