第三章多锥随机变量及其分布 一、选邦恩 1、(悬)设随机变量X与Y相互鞋立，它们的概率密度分别为厂(x,厂(y)·则X,》的概率密度列 A. +60例 Bf(x)+(y) CM四 Df((y) 2,(哥》设任意二维随机变量(X,Y)的联合概半密度函数和两个边峰概率密度函数分别为红功，(x 和小，则以下结论正确的是() Af(ryFfi(rViy) Bf(x.y)=fi(x)tfi() c.[f D.[f(s.ns-1 3、(中等)设二推连候型随机变量(X了)的联合分布函数和概率密度分别为F(xP)和∫（工y),则以下 结论中错误的是() AF ( BFx)-工fx) CF(.m,-e)-0 D.F(+m,+m)-1 4、(易)设二推随机变量(X门N4,马，aP)则K《) A N(.) B.N() C.N) D.N) 5,(易)设二推随机变量(X,门服从区城D上的均匀分布，其中D是一个以原点为圆心，以R为半径的 圈域，则X,门的概率密度为《) A雁，R B.f(x,y)= R (X.Y)ED 0 其他 C (X.Y)ED R D.f(x,y)= 0 其他 6,(中等)设随机变量(XY)服从区域线D上的均匀分布，其中D为x轴、y触和直线y≤1所围成的三角 形区域，则X门的概率密度xyP(）
1 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率密度分别为 ( ), ( ) X Y f x f y ，则(X，Y)的概率密度为( ) A． 1 ( ) ( ) 2 X Y f x f y + B. ( ) ( ) X Y f x f y + C. 1 ( ) ( ) 2 X Y f x f y D. ( ) ( ) X Y f x f y 2、（易）设任意二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数和两个边缘概率密度函数分别为 f (x,y) ， fX(x) 和 fY(y)，则以下结论正确的是（ ） A.f (x,y)=fX(x)fY(y) B.f (x,y)=fX(x)+fY(y) C. + − f X(x)dx=1 D. ( , ) =1 + − f x y dx 3、（中等）设二维连续型随机变量（X,Y）的联合分布函数和概率密度分别为 F（x,y）和 f （x,y），则以下 结论中错误．．的是（ ） A.F（x,y）= + − + − dx f （x,y）dy B.F（x,y）= − − x y dx f （x,y）dy C.F（-∞,-∞）=0 D.F（+∞,+∞）=1 4、（易）设二维随机变量 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , , , , ) X Y N ,则 X~（ ） A. 2 1 1 N( , ) B. 2 2 1 N( , ) C. 2 1 2 N( , ) D. 2 2 2 N( , ) 5、（易）设二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 是一个以原点为圆心，以 R 为半径的 圆域，则(X，Y)的概率密度为（ ） A. f(x，y)=R B. ( ) 2 1 , ( , ) 0 X Y D f x y R = C. f(x，y)= 2 1 R D. ( ) 2 1 , ( , ) 0 X Y D f x y R = 6、（中等）设随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 为 x 轴、y 轴和直线 x+y≤1 所围成的三角 形区域，则(X,Y)的概率密度 f(x,y)=（ ） 其他 其他
2(x.y)ED A在，2 B.f(x.y)= 0,其它 cmr号 D.f(x.y)= 层红eD 0.其它 了、（较希）设随机变量X,Y相互独立，其联合分布为 X 0 15 1 1 9 2 1-5 则有() 1 A.p= 2 B.p= 1 09= 15 09=5 11 c.pi59"3 8,(中等)设二维随机变量(X门的联合分布函数为Fx,y)其联合概率分布律为 X -1 0.1 0.3 02 0 0.2 0 3 0.1 0.1 则F(1.0)=() A.0.6 B.0.2 C.0.3 D0.1
2 A. f(x，y)=2 B. 2,( , ) ( , ) 0, x y D f x y = 其它 C. f(x，y)= 1 2 D. 1 ,( , ) ( , ) 2 0, x y D f x y = 7、（较难）设随机变量 X，Y 相互独立，其联合分布为 Y X -1 1 0 1 15 p 1 q 1 5 2 1 5 3 10 则有（ ） A． 15 2 , 10 1 p = q = B． 5 1 , 30 1 p = q = C． 5 1 , 15 1 p = q = D． 6 1 , 15 1 p = q = 8、（中等）设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F( x y, ). 其联合概率分布律为 Y X -1 0 1 -1 0.1 0.3 0.2 1 0 0.2 0 3 0.1 0.1 0 则 F（1,0）=（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.1 其它
9、(中等)设二维随机变量(X门的联合概率分布律为 0 X 0 02 01 02 1 0.1 0.2 0 3 0.1 0.1 0 则P{7=0=() A.07 B.04 C.02 D.0.i 10、(中等)设二雀随机变量(X,)的分布函数为Fx),则下式错误的是( A.F(-e.-0)=0 B.F(x,+o)=1 C.Fx,-o)=0 D.F(+0,y)-F(y) 1、(较难)设二排随机变量(X,Y)的概率密度为红，，则PY<2() A [dof nr.y B.Ldsf c地 D.. 12、(中等)设随机变量X和Y相互鞋立，它们的分布律分别为， 0.8 则概率PX≥Y}=() A0 B04 C.05 D.0.88 二、填空愿 1、(中等)设二推随机变量(.》服从区域D=《x,yD≤x≤2,0≤x≤2}上的均匀分布，则 P0k<I.0K2= 3
3 9、（中等）设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布律为 Y X 0 1 2 0 0.2 0.1 0.2 1 0.1 0.2 0 3 0.1 0.1 0 则 P XY = = 0 （ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 10、（中等）设二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数为 F(x, y) ，则下式错误的是（ ） A． F( , ) 0 − − = B． F x( , ) 1 + = C． F x( , ) 0 − = D． F y ( , ) + = F ( y) Y 11、(较难) 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为 f (x，y)，则 P{Y<2}=( ) A. ( ) + − − 2 dy f x, y dx B. ( ) + − − 2 dx f x, y dy C. f (x y)dx − 2 , D. f (x y)dy − 2 , 12、（中等）设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们的分布律分别为， X 0 1 Y 0 1 P 0.2 0.8 P 0.4 0.6 则概率 PX Y=（ ） A.0 B.0.4 C.0.5 D.0.88 二、填空题 1、（中等）设二维随机变量(X，Y)服从区域 D = (x, y)0 x 2,0 x 2 上的均匀分布，则 P{0<X<1，0<Y<2}=____ ____________
2、(中等)设二推随机变量(X,n的概率密度f(x) 0<x<2,0<y<2,则PxY=— 0 其他 3,(难)设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为 ,其中Z=水y则Z= 030.5 08 4、(易)已知二隆随机变量(X)的分布律为 2 5 0 01 0.2 03 0.15 0 0.25 则Pr≤0，-2)-PKeI)-PK2)-PYY≤2)-PX4Y-2 三、计算题 1、(中等)箱子中技有10件产品，其中4件次品，6件正品，不放回地从箱子里而任意取2件产品，每次 一个，定义随机变量 X-0第一次取到的是次品. 0,第二次取到的是次品， Y=. L第一次取到的是正品， L第二次取到的是正品， (1)求(X,Y)的暖合慢率分布： (2)求关于X与关于Y的边缘分有律： (3)X与Y是香相互独立？并说明理由
4 2、（中等）设二维随机变量(X，Y)的概率密度 ( ) 1 , 0 2,0 2 4 0 x y f x = ，则 P{X<Y}= 3、（难）设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们的分布律分别为 ， ，其中 Z=X-Y 则 P{Z<1}=___ ___. 4、（易）已知二维随机变量(X,Y)的分布律为 1 2 5 0 0.1 0.2 0.3 1 0.15 0 0.25 则 P(X≤0,Y=2)＝__ _P(X<1)＝_ _P(X<2)＝ _ P(Y≤2)＝_ _P(X+Y=2)=____ __ 三、计算题 1、（中等）箱子中装有 10 件产品，其中 4 件次品，6 件正品，不放回地从箱子里面任意取 2 件产品，每次 一个，定义随机变量 0, 0, = Y= 1, 1, X 第一次取到的是次品， 第二次取到的是次品， 第一次取到的是正品， 第二次取到的是正品， （1）求 ( X Y, ) 的联合概率分布； （2） 求关于 X 与关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由 X -1 0 1 P 0.2 0.3 0.5 Y -1 0 P 0.2 0.8 Y X X X Y 其他
2、(中等)盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任意取4只球，用x表示取到黑球的只数， 用丫表示取到红球的只数 (1)求(X,Y)的联合概率分布： (2)求关于X与美于Y的边锋分布律： (3)X与Y是香相互独立？并说明理由 3、(中等)将三个球随机地成入三个盒子中，用【和分别表示做入第一个，第二个盒子的球的个数 (1)求(X,Y)的联合概率分布： (2)求关于X与关于y的边峰分有律： (3》X与Y是否相互独立？并说明理由
5 2、（中等）盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任意取 4 只球，用 X 表示取到黑球的只数， 用 Y 表示取到红球的只数 （1）求 ( X Y, ) 的联合概率分布； （2） 求关于 X 与关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由 3、（中等）将三个球随机地放入三个盒子中，用 X 和 Y 分别表示放入第一个、第二个盒子的球的个数 （1）求 ( X Y, ) 的联合概率分布； （2） 求关于 X 与关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由
4(较难)设随机变量Xn的分布脑数为FK,川--e“1-ex>0>0, 0其它 试求：(1)求边缘分布函数F,(,F() (2)试问X与了是否鞋立，并说明理由 (3)求X与Y的联合概率密度函数。 5、(难)设随机变量(X.Y)的概率密度函数为 f(x.y)= 1+21+y) (-<x<+,-0<y<+∞)： 试求，(1)常数A的值 (2)分别求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度： (3)问：X与Y是否相互独立，为什么7 6
6 4、（较难）设随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 (1 )(1 ), 0, 0 ( , ) 0, x y e e x y F x y − − − − = 其它 ， 试求：（1）求边缘分布函数 ( ), ( ) F x F y X Y （2）试问 X 与 Y 是否独立，并说明理由？ （3）求 X 与 Y 的联合概率密度函数。 5、（难）设随机变量 ( , ) X Y 的概率密度函数为 ( )( ) ( ) 2 2 ( , ) , 1 1 A f x y x y x y = − + − + + + ， 试求：（1）常数 A 的值 （2）分别求（X，Y）关于 X 和 Y 的边缘概率密度； （3）问：X 与 Y 是否相互独立，为什么？
6,(中等)设二推随机变量(X,的概率密度为 a,0<x<1,0<y<1 fx,y）= 10 其他， (1)求常数c:2)求(X,门分别美于XY的边缘概率密度：(3试月X与Y是否相互独立，为什么？ 7、(中等)设二隆随机变量X,)的概率密度为 (x)= cry. 0<x<1,0<y<l 10 其他 求：(1)求常数c:(2)求K,门分别关于XY的边峰概率密度：(3试问X与Y是否相互粒立，为什么？
7 6、（中等）设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ,0 1,0 1, ( , ) 0, cx x y f x y = 其他， (1)求常数 c；(2)求(X，Y)分别关于 X,Y 的边缘概率密度；(3)试问 X 与 Y 是否相互独立，为什么？ 7、（中等）设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ( ) 2 , 0 1,0 1, , 0 , cx y x y f x y = 其他. 求：(1)求常数 c；(2)求(X，Y)分别关于 X,Y 的边缘概率密度；(3)试问 X 与 Y 是否相互独立，为什么？