第三章多维随机变量及其分布 一、选择愿 1、(哥)设随机变量X与Y相互独立，它们的概率密度分别为f(x)厂(y),则X,)的概率密度为 A. B f(x)+(y) ciff D.f(x)(y) 2,(易》设任意二维随机变量(X,)的联合概率密度函数和两个边修概率密度函数分别为x功，（利 和小，则以下结论正确的是() AJ红TfMr Bf(xy)-fixHfi() c.d D临1 3,(中等)设二推连线型随机变量(X了)的联合分布函数和概率密度分别为F(x)和∫(xy,则以下 结论中错误的是《 ) AF )-(x) BF)-上f C.F(-o-)0 D.F(+o,+∞》=l 4、(悬)设二维随机变量(X-N(4,马，a2,P).则X() A N() B.N() C.N() D.4) 5,(悬)设二推随机变量化，门服从区域D上的均匀分布，其中D是一个以原点为圆心，以R为半径的 圈域，则X,门的概率密度为(》 A红，=R B.f(x.y)- R (X,Y)ED 0 其他 1 C,驴 D.f(x.y)- R (X,Y)ED R 0 其他 6,(中等)设随机变量X门服从区城D上的均匀分布，其中D为方轴、y轴和直线y≤1所围成的三角 形区域，则(XY门的概事密度直xy尸()
1 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率密度分别为 ( ), ( ) X Y f x f y ，则(X，Y)的概率密度为( ) A． 1 ( ) ( ) 2 X Y f x f y + B. ( ) ( ) X Y f x f y + C. 1 ( ) ( ) 2 X Y f x f y D. ( ) ( ) X Y f x f y 2、（易）设任意二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数和两个边缘概率密度函数分别为 f (x,y) ， fX(x) 和 fY(y)，则以下结论正确的是（ ） A.f (x,y)=fX(x)fY(y) B.f (x,y)=fX(x)+fY(y) C. + − f X(x)dx=1 D. ( , ) =1 + − f x y dx 3、（中等）设二维连续型随机变量（X,Y）的联合分布函数和概率密度分别为 F（x,y）和 f （x,y），则以下 结论中错误．．的是（ ） A.F（x,y）= + − + − dx f （x,y）dy B.F（x,y）= − − x y dx f （x,y）dy C.F（-∞,-∞）=0 D.F（+∞,+∞）=1 4、（易）设二维随机变量 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , , , , ) X Y N ,则 X~（ ） A. 2 1 1 N( , ) B. 2 2 1 N( , ) C. 2 1 2 N( , ) D. 2 2 2 N( , ) 5、（易）设二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 是一个以原点为圆心，以 R 为半径的 圆域，则(X，Y)的概率密度为（ ） A. f(x，y)=R B. ( ) 2 1 , ( , ) 0 X Y D f x y R = C. f(x，y)= 2 1 R D. ( ) 2 1 , ( , ) 0 X Y D f x y R = 6、（中等）设随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 为 x 轴、y 轴和直线 x+y≤1 所围成的三角 形区域，则(X,Y)的概率密度 f(x,y)=（ ） 其他 其他
2(x.y)eD A.f.y)=2 B.f(x,y)= 0.其它 c D.f(x.y)= 5川eD 0,其它 7、(较难)设随机变量X。Y相互独立，其联合分布为 1 0 15 P 1 5 3 5 则有() 1 1 1 A.p= 09= 15 B.p= 1 11 CP=i59=5 D.P=i59=6 8、(中等)设二维随机变量(X门的联合分布函数为可黑y)其联合概率分布律为 0 0.1 0.3 02 0 0.2 0 3 0.1 0.1 0 则F(1.0)=() A.0.6 B.0.2 C.03 D.0.1 9、(中等)设二维随机变量(X)的联合概率分布律为 2 2
2 A. f(x，y)=2 B. 2,( , ) ( , ) 0, x y D f x y = 其它 C. f(x，y)= 1 2 D. 1 ,( , ) ( , ) 2 0, x y D f x y = 7、（较难）设随机变量 X，Y 相互独立，其联合分布为 Y X -1 1 0 1 15 p 1 q 1 5 2 1 5 3 10 则有（ ） A． 15 2 , 10 1 p = q = B． 5 1 , 30 1 p = q = C． 5 1 , 15 1 p = q = D． 6 1 , 15 1 p = q = 8、（中等）设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F( x y, ). 其联合概率分布律为 Y X -1 0 1 -1 0.1 0.3 0.2 1 0 0.2 0 3 0.1 0.1 0 则 F（1,0）=（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.1 9、（中等）设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布律为 Y X 0 1 2 其它
0 02 0.1 02 01 02 0 3 0.1 0.1 0 则P{Y=0}=() A.0.7 B.0.4 C.02 D.0.1 10、(中等)设二维面机变量(X,)的分布函数为Fx,y功，则下式错误的是(》 A.F(-,-)=0 B.Fx,+o)=1 C.F(x,-)=0 D.F(+,y)=F(y) 11,(较难)设二维随机变量(X,门的概率密度为x,功：则PY<2=气) A Ldofr.y B.Lasff.y c.[rs.y D.f. 12、(中等)设随机变量X和Y相互鞋立，它们的分布律分别为， 0208 p04 06 则概率P化2y}() A0 B0.4 C.05 D088 二、填空题 1,(中等)设二推随机变量(。功服从区域D=xyD≤x≤2,0≤x≤2}上的均匀分布。则 Pf0<X<1,0K<2- 2、(中等)设二随机变量(X,的概率密度∫(x)- 6 0<x<2,0<y< 3,则PX<门= 其他 3、(难)设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为
3 0 0.2 0.1 0.2 1 0.1 0.2 0 3 0.1 0.1 0 则 P XY = = 0 （ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 10、（中等）设二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数为 F(x, y) ，则下式错误的是（ ） A． F( , ) 0 − − = B． F x( , ) 1 + = C． F x( , ) 0 − = D． F y ( , ) + = F ( y) Y 11、(较难) 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为 f (x，y)，则 P{Y<2}=( ) A. ( ) + − − 2 dy f x, y dx B. ( ) + − − 2 dx f x, y dy C. f (x y)dx − 2 , D. f (x y)dy − 2 , 12、（中等）设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们的分布律分别为， X 0 1 Y 0 1 P 0.2 0.8 P 0.4 0.6 则概率 PX Y=（ ） A.0 B.0.4 C.0.5 D.0.88 二、填空题 1、（中等）设二维随机变量(X，Y)服从区域 D = (x, y)0 x 2,0 x 2 上的均匀分布，则 P{0<X<1，0<Y<2}=________________ 2、（中等）设二维随机变量(X，Y)的概率密度 ( ) 1 , 0 2,0 3 6 0 x y f x = ，则 P{X<Y}=____. 3、（难）设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们的分布律分别为 其他
出女米 ,其中Z-Ky则PZ<一 208 4、(悬)己知二推随机变量(X门的分布律为 0 01 0.2 0.3 0.15 0 025 则X≤0，-2)=PK✉I)=K2)=AY2)=t-2F 三、计算题 1,(中等)10个产品中有2个一等品，5个二等品，3个三等品，从中任取3个产品，用X表示数到的一 等品的个数，用Y表示取到的二等品的个数 (1)求(X,Y)的联合概率分布1 (2)求关于X与美于Y的边锋分布律： (3)X与Y是香相互独立？并说明理由。 4
4 ， ，其中 Z=X-Y 则 P{Z<1}=________. 4、（易）已知二维随机变量(X,Y)的分布律为 1 2 5 0 0.1 0.2 0.3 1 0.15 0 0.25 则 P(X≤0,Y=2)＝______P(X<1)＝______P(X<2)＝______P(Y≤2)＝______P(X+Y=2)=______ 三、计算题 1、（中等）10 个产品中有 2 个一等品，5 个二等品，3 个三等品，从中任取 3 个产品，用 X 表示取到的一 等品的个数，用 Y 表示取到的二等品的个数 （1） 求 ( X Y, ) 的联合概率分布； （2） 求关于 X 与关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由。 X -1 0 1 P 0.2 0.3 0.5 Y -1 0 P 0.2 0.8 Y X X X Y
2、(中等)一口袋中装有三个球，上面标有数字1,2,2.从中任取一球后不放日，再取一球，设每次数球时 袋中各球被取到的可能性相同。以X和Y表示第一次和第二次取出的球上面有的数字，求 (1)果(X,Y)的联合概率分布： (2》求关于X与关于Y的边峰分布律： (3)X与Y是否相互独立？并说明理由 3,(中等)两封信随机地投入到偏号为10101的两个信箱中，用X和Y分别表示第一，二封信投入的 信箱号码 (1)求(X,Y)的联合概率分布1 (2)求美于X与美于Y的边缘分布律： (3)X与Y是香相互独立？并说明理由， 5
5 2、（中等）一口袋中装有三个球，上面标有数字 1,2,2.从中任取一球后不放回，再取一球，设每次取球时 袋中各球被取到的可能性相同，以 X 和 Y 表示第一次和第二次取出的球上面有的数字，求 （1）求 ( X Y, ) 的联合概率分布； （2） 求关于 X 与关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由 3、（中等）两封信随机地投入到编号为 100，101 的两个信箱中，用 X 和 Y 分别表示第一、二封信投入的 信箱号码 （1） 求 ( X Y, ) 的联合概率分布； （2） 求关于 X 与关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由
4、(较难)设随机变量(X,)的分海函数为F(x,y)= 0-e"1-e).x>0y>0 0.其它 试求，(1)求边缘分布函数F,(xF,(y) (2)试间X与了是否鞋立，并说明理由1 (3)求X与Y的眠合概率密度函数。 5、(较难)设随机变量(X,)的概率密度函数为 fx.》 A (1+x1+y) (-0<x<+0,-0<y<+o): 试求：(1)常数A的值 (2)分别求(X,Y)关于X和Y的边锋概率密度： (3)问：X与Y是否相互独立，为什么7
6 4、（较难）设随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 (1 )(1 ), 0, 0 ( , ) 0, x y e e x y F x y − − − − = 其它 ， 试求：（1）求边缘分布函数 ( ), ( ) F x F y X Y （2）试问 X 与 Y 是否独立，并说明理由？ （3）求 X 与 Y 的联合概率密度函数。 5、（较难）设随机变量 ( , ) X Y 的概率密度函数为 ( )( ) ( ) 2 2 ( , ) , 1 1 A f x y x y x y = − + − + + + ， 试求：（1）常数 A 的值 （2）分别求（X，Y）关于 X 和 Y 的边缘概率密度； （3）问：X 与 Y 是否相互独立，为什么？
6、(难)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) [Aethn0y0 10. 其他 (1)常数A的值 (2)分别求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度： (3)问：X与Y是否相互验立，为什么1 (4)P(XsI,Ys2) 7、(较难)设二推随机变量(X)的概率密度为 8 (X.Y)ED 其他 其中D是由抛物线y=x和直线y=x所围成的区域 求：(1)(XY)关于XY的边缘概率密度，(x.y): (2)问X与了是否相互独立。并说明理由
7 6、（难）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 -(3 5 ) Ae , 0, 0; ( , ) 0, x y x y f x y + = （1）常数 A 的值 （2）分别求（X，Y）关于 X 和 Y 的边缘概率密度； （3）问：X 与 Y 是否相互独立，为什么？ （4） P X Y 1, 2 7、（较难）设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 ( ) 6, , ( ) , 0 X Y D f x y = 其中 D 是由抛物线 2 y x = 和直线 y x = 所围成的区域 求： （1） ( , ) X Y 关于 X,Y 的边缘概率密度 ( ), ( ) X Y f x f y ； （2）问 X 与 Y 是否相互独立，并说明理由. 其他 其他
8,(难)设二推随机变量(X,Y)的概率密度为x,y)= ey,(.y)eG 0.其他 其中 区域G={(xy:0<x<20<y<} (1)常数C的值 (2)分别求(X,Y)关于X和Y的边缘概半密度： (3)间：X与Y是否相互独立，为什么
8 8、（难）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ( ) 2 , , ( , ) 0, cy x y G f x y = 其中， 区域 G x y x y y = ( , :0 2 ,0 1 ) （1）常数 C 的值 （2）分别求（X，Y）关于 X 和 Y 的边缘概率密度； （3）问：X 与 Y 是否相互独立，为什么？ 其他