第三章 解线性方程组 一、选择题 1.下列矩阵不是初等矩库的是()（导】 100 001 (1 0 0 100 001 0-10 0 D. 01-4 010 10 0 0 0 1 001 andn a ay a 2.设A= 4 a牡 a B=a+as an+ae a+ass dd 4 an 4 001 100 =010 =011 则必有：（较难） (100 (001 A.B=PPA B.B=PPA C.B=ARP D.B=A3月 3.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是( )(中等) A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(D=2 B若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2 C,若秩(AD=2,则A中所有3阶子式都为0 0.若秩(AD=2,则A中所有2阶子式都不为0 4.设A为■×n矩库，≠，则齐次线性方程组A0只有零解的充分必要条件是A的供 ()(中等) A小于■ B.等子■ C.小于 D.等于 5。设A是n阶方阵，若对任意的n维向量r均调足A户0则( 》(中等) A,司 B,卡E C,秩(0=m D.0K秩(D<n 6。设A为Xn矩阵，且<，则齐次方程A0必()（较难） L,无解 R。有唯一零解 C,有无穷多解 D.不能确定 2马-为+高=0 7。设齐次线性方程组 名-一南=0有非零解，则2为〔 )(中等) +为+x=0 A-1 B,0 C.1 D.2 8,设A为刀阶实矩阵，A为A的转置矩阵。则对于线性方程组(I)1K=0和(II) AX=0必有()（中等） A(I)的解是(II)的解。(I1)的解也是(I)的解
第三章 解线性方程组 一、选择题 1.下列矩阵不是初等矩阵的是（）(易) A. 0 1 0 0 0 1 1 0 0 B. 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 C. 0 0 1 0 2 1 0 - 1 0 0 D. 0 0 1 0 1 - 4 1 0 0 2.设 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = , 31 32 33 21 31 22 32 23 33 11 12 13 a a a B a a a a a a a a a = + + + , 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 P = , 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P = ，则必有:（较难） A. B PP A = 1 2 B. B P P A = 2 1 C. B APP = 1 2 D. B AP P = 2 1 3.已知 A 是一个 3×4 矩阵，下列命题中正确的是（ ）(中等) A.若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩（A）=2 B.若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0 D.若秩（A）=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 0 4．设 A 为 m×n 矩阵，m≠n，则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩 （ ）（中等） A．小于 m B．等于 m C．小于 n D．等于 n 5．设 A 是 n 阶方阵，若对任意的 n 维向量 X 均满足 AX=0，则( )（中等） A．A=0 B．A=E C．秩(A)=n D．0<秩(A)<n 6．设 A 为 m×n 矩阵，且 m＜n，则齐次方程 AX=0 必( )（较难） A．无解 B．有唯一零解 C．有无穷多解 D．不能确定 7．设齐次线性方程组 + + = − − = − + = 0 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有非零解，则 为（ ）（中等） A.-1 B．0 C．1 D．2 8.设 A 为 n 阶实矩阵， T A 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组（I）： AX = 0 和（II）： 0 T A AX = 必有（）（中等） A.（I）的解是（II）的解，（II）的解也是（I）的解
R(11)的解是(I)的解，但(1)的解不是(11)的解 C.(1)的解不是(11)的解，(11)的解也不是(1)的解 0(1)的解是(11)的解，但(11)的解不是是(1)的解 9,设A为丽xn矩阵，线性方程组A红=b对位的齐次线性方程组为红=0，则下列结论正 确的是()（较难） A若A红■0仅有零解，则A红■b有坐一解 B若A红=0有非零解，则红=b有无穷多解 C.若A红=b有无穷多解，则r=0有非零解 D.若x=b有无穷多解，则x=0仅有零解 写+不+高■4 10.已知线性方程组 名+此+，=3无解，则数a=()(中等) 2x+2匹3=4 B.0 2 D.1 属+馬+马=- 2无-与=1-2 11.若方程组 有唯一解，则2( )(较难) 书=1-3 (a-10x1=-(2-31-10 A.1或2 B.-1或3 C.1或3 D.-1或-3 +253-x=2-1 12.若方程组 3%3-x=A-2 有无穷多解，则A=()(较难) 元x-书=(1-32-4)+(2-2) A.1 B2 C.3 h.4 二、空恩 ，（中等） 204 14.投A= -11a,A)=2,求a- 。(中等) 126 3102 15.设A=1-2-1求(A)=,并求一个最高阶零子式 .(易》 13-44 16.。设A为·阶矩阵，B为阶非零矩库，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组0 的解，则川利= (中等)
B.（II）的解是（I）的解，但（I）的解不是（II）的解 C.（I）的解不是（II）的解，（II）的解也不是（I）的解 D.（I）的解是（II）的解，但（II）的解不是是（I）的解 9.设 A 为 m n 矩阵，线性方程组 Ax b = 对应的齐次线性方程组为 Ax = 0 ，则下列结论正 确的是（）（较难） A.若 Ax = 0 仅有零解，则 Ax b = 有唯一解 B.若 Ax = 0 有非零解，则 Ax b = 有无穷多解 C.若 Ax b = 有无穷多解，则 Ax = 0 有非零解 D.若 Ax b = 有无穷多解，则 Ax = 0 仅有零解 10.已知线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 4 3 2 2 4 x x x x ax x x ax + + = + + = + = 无解，则数 a = ( )（中等） A. 1 2 − B. 0 C. 1 2 D. 1 11.若方程组 − = − − − = − − = − + + = − ( 1) ( 3)( 1) 3 2 2 1 3 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 有唯一解，则 =( )（较难） A.1 或 2 B．-1 或 3 C．1 或 3 D．-1 或-3 12.若方程组 1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 ( 3)( 4) ( 2) x x x x x x x + − = − − = − − = − − + − 有无穷多解，则λ=( )（较难） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 13．矩阵方程 0 1 1 1 X= 1 −1 2 1 的解 X=_________.（中等） 14.设 = − 1 2 6 1 1 2 0 4 A a ， R(A) = 2 ，求 a =__________________.（中等） 15.设 3 1 0 2 1 1 2 1 1 3 4 4 A = − − − 求 R A( ) = ___，并求一个最高阶非零子式__________.(易) 16．设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|=_________.（中等）
17.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的铁为一1，则齐次线性方程组A缸-0的解为 (难》 属+馬+离3=0 18.设方程组{x,+x+x=0有非零解，且数入<0.则2= (较难) x+名+怎=0 19,设a1,a2是齐次线性方程组款■0的两个解。则3a+7a)三 一（易》 20.设线性方程组 19 有无穷多个解。则a= ,(较难) 11a八x 21.三元方程无+名■1的解是一（中等） 三、计算题 2,用初等行麦换把下列矩阵亿为行阶梯形，行最简形矩阵（中等） 102-1 (1)2031 3043 1-13-43 3-35 1 (2) 2-23-2 0 3-34-2-1 033 23.设A=110, 且AX=A+2X,求X.(利用初等行变换求解)（难） -123 24.求下列齐次线性方程组的解（较重） 名-名+4x3-2x=0 玉1-名2-x+2x=0 (1) 3x+馬+7x-2x=0 黑-3%-12x3+6黑，=0 x+写-无3■0 (2) 2第+4无2-高=0 3x+2%+2x=0 25.求该齐次线性方程组的解（较难）
17.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组 Ax=0 的解为 ___________.（难） 18.设方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 x x x x x x x x x + + = + + = + + = 有非零解，且数 0, 则 =__________（较难） 19.设 1 2 , 是齐次线性方程组 Ax = 0 的两个解，则 1 2 （A 3 + 7 ） =_________.（易） 20.设线性方程组 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a x a x a x = − 有无穷多个解，则 a =_________.（较难） 21.三元方程 1 3 x x + =1 的解是______（中等） 三、计算题 22.用初等行变换把下列矩阵化为行阶梯形、行最简形矩阵（中等） （1） 1 0 2 1 2 0 3 1 3 0 4 3 − （2） 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 2 2 3 2 0 3 3 4 2 1 − − − − − − − − − 23.设 0 3 3 1 1 0 1 2 3 A = − ，且 AX A X = + 2 ,求 X .（利用初等行变换求解）（难） 24.求下列齐次线性方程组的解（较难） （1） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 0 2 0 3 7 2 0 3 12 6 0 x x x x x x x x x x x x x x x x − + − = − − + = + + − = − − + = （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 2 4 0 3 2 2 0 x x x x x x x x x + − = + − = + + = 25.求该齐次线性方程组的解（较难）
x+2x2+2无+=0 2x+x2-2x,-2x,=0 x-无-4x1-3x4=0 25。求该非齐次线性方程组的解《较难) 考-+为+2x,=1 -2x1+2x2-3x3+3x=2 -+2x3+5x4=-1 -馬+马3-3，+2x=4 27.求该非齐次线性方程组的解（较） 马+高--x4=1 2馬+高2++影=4 41+33-3-=6 +2x3-4x-4x,=- 28.求该非齐次线性方程组的解（较难） 2x+馬3-2%=10 3x+232+2%=1 5+4x+3粥=4 29,确定的值使下列线性方程组有解，并求其解（较难》 2x1-x2+x3+,=1 x1+22-x+4x=2 x+7x3-4x,+1l3=@ 30.确定a的值使下列线性方程组有解，并求其解（难） +3+x=1 书+匹：+=@ +x3+a,=a2 高+2x2+3红1=4 31.月：为何值时，线性方程组 2x2+1=2有惟一解？有无穷多解？井在有无 2%+232+3x=6 穷多解时求出其通解.（较难》 名+X3-X,=L 32,设非齐次线性方程组 2x1+3x2+x1=3 1+x3+3红1=2 ()确定当飞取何值时，方程组有难一解、无解、有无穷多解？ (2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解.《难》
− − − = + − − = + + + = 4 3 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 26. 求该非齐次线性方程组的解（较难） − + − + = − + + = − − + − + = − + + = 3 2 4 2 5 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 27. 求该非齐次线性方程组的解（较难） + − − = − + − − = + + + = + − − = 2 4 4 1 4 3 6 2 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 28. 求该非齐次线性方程组的解（较难） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 10 3 2 2 1 5 4 3 4 x x x x x x x x x + − = + + = + + = 29.确定 a 的值使下列线性方程组有解，并求其解（较难） + − + = + − + = − + + = x x x x a x x x x x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 7 4 11 2 4 2 2 1 30. 确定 a 的值使下列线性方程组有解，并求其解（难） + + = + + = + + = 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1, x x ax a x ax x a ax x x 31．问 a 为何值时，线性方程组 + + = + = + + = 2 2 3 6 2 2 2 3 4 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x ax x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有无 穷多解时求出其通解.（较难） 32. 设非齐次线性方程组 + + = + + = + − = 3 2, 2 3 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (1) 确定当 λ 取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解. （难）