第四章随机变量的数字特征 一、选释愿 1、(中等)己知随机变量X,Y的方差D(X)、D(Y)均存在在，则下列各式中不一定成立的是《) A.D(X-Y)=D(X)-D(Y) B.D(X-Y)=E(X-Y)-[E(X-Y) C.D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2CoM(X,Y) D.Dx-Y)-x-Ex》--E明 2、(易)设随机变量的方差D(X)存在，则DaX+b)=()(a。b为常数). A.aD(X)+b B.a'D(X)+b C.aD(X) D.aD(X) 玉（中等）议随机变量x的别塑E(X)为一负值，且司号小2侣-小-宁·则0)《) A,0 B.1 C.-2 D.8 [0xc2 4、(难)设随机变量X的分布函数为F -L2sx<4则E(X)=() x24 D.3 5、(中等)设随机变量X与X2的期里都存在，则一定有( A.E(X)E(x) B.E(x)[E(X) C.E(X)sE(X) D.E(x)s[E(X) 6、(中等)设随机变量X的期望E(X),方差DX)及EX2)存在，则一定有《) A.E(X)20 B.D(X)20
1 第四章 随机变量的数字特征 一、选择题 1、（中等）已知随机变量 X，Y 的方差 D（X）、D（Y）均存在，则下列各式中不一定成立的是（ ） A． D(X −Y) = D(X )− D(Y) B． ( ) ( ) ( ) 2 2 D X −Y = E X −Y − E X −Y C． D(X −Y) = D(X)+ D(Y)−2Cov(X,Y) D． ( ) ( ( )) ( ( )) 2 D X −Y = E X − E X − Y − E Y 2、（易）设随机变量 X 的方差 D（X）存在，则 D(aX +b) = （ ）（a、b 为常数）。 A． aD(X )+b B． a D(X )+b 2 C． a D(X ) 2 D． aD(X ) 3、（中等）设随机变量 X 的期望 E（X）为一负值，且 2 1 1 2 1 2, 2 2 = = − − X D X E ，则 E(X ) = （ ） A．0 B．1 C．-2 D． 8 4、（难）设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= − 1, 4; 1 2 4; 2 0, 2; x ， x x x 则 E（X）=（ ） A． 3 1 B． 2 1 C． 2 3 D．3 5、（中等）设随机变量 X 与 2 X 的期望都存在，则一定有（ ） A． E(X ) E(X ) 2 B． ( ) ( ) 2 2 E X E X C． E(X ) E(X ) 2 D． ( ) ( ) 2 2 E X E X 6、（中等）设随机变量 X 的期望 E(X ) ，方差 D(X) 及 ( ) 2 E X 都存在，则一定有（ ） A． E(X ) 0 B． D(X ) 0
C.E(x)s[E(x) D.E(X)2 E(X) 7、(中等)设随机变量X的期望E(X)存在，则可E(X川=() A.0 B.X C.E(X) D.[E(X) 8,(中等)对任意两个随机变量X和了，由D(X十Y)=D门+D门可以控断() AX和了不相关 BX和Y相互独立 CX和y的相关系数等于.1 D.D (XY)=DXO(Y) 9,(中等)随机变量X和Y的协方差Cm(XY)0是X和Y() A不相关的充分条件，但非必要条件 B.不相关的充分和必要条件 C鞋立的充分条件，但非必要条件 D独立的充分和必要条件 10、(中等)己知随机变量X的数学期望)存在，则下列等式中不恒成立的是() A.E-0 B.X+E0-2E0 C.EIX-E-0 D.ELX)-E 11、(中等)已知X-N(-2,04).则EX+3打=(） A4 B.9 c.0 D.1.16 12、(中等)设随机变量X与Y不相关，则以下结论中错误的是) A.E(X+Y)-E(X)+EY) BDYX+Y)-DCX0+DYY) C.E(XY)-E(E) DX与Y相互魏立 13.(中等)如果随机变量X与Y的方差D),DY尚存在，且D(X)≠0，DY)≠0，(XY) =E(X)E).,则) A.X,Y一定鞋立 BX,了一定不相关 C.D(XY)-DODOY) D.D(X-Y)-D(X)-DYY 14、(中等)设随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y一B(4,05),且X,Y相互数立， 则D(X-2y+5)() A.3 B.2 2
2 C． ( ) ( ) 2 2 E X E X D． E(X ) E(X ) 2 7、（中等）设随机变量 X 的期望 E(X ) 存在，则 EEE(X )= （ ） A． 0 B． X C． E(X ) D． ( ) 3 E X 8、（中等）对任意两个随机变量 X 和 Y，由 D（X＋Y）＝D(X)＋D(Y)可以推断（ ） A.X 和 Y 不相关 B.X 和 Y 相互独立 C.X 和 Y 的相关系数等于-1 D.D（XY）＝D(X)D(Y) 9、（中等）随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov（X,Y）=0 是 X 和 Y（ ） A.不相关的充分条件，但非必要条件 B.不相关的充分和必要条件 C.独立的充分条件，但非必要条件 D.独立的充分和必要条件 10、（中等）已知随机变量 X 的数学期望 E(X)存在，则下列等式中不恒成立 ．．．．的是（ ） A．E[E(X)]=E(X) B．E[X+E(X)]=2E(X) C．E[X-E(X)]=0 D．E(X 2 )=[E(X)]2 11、（中等）已知 ~ ( 2,0.4 ) 2 X N − ，则 2 E X( 3) + ＝( ) A.4 B.9 C.0 D.1.16 12、（中等）设随机变量 X 与 Y 不相关，则以下结论中错误．．的是( ) A．E(X+Y)=E(X)+E(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C. E(XY)=E(X)E(Y) D.X 与 Y 相互独立 13、（中等）如果随机变量 X 与 Y 的方差 D(X)，D(Y)均存在，且 D(X ) 0,D(Y) 0, E(XY) = E(X )E(Y) ，则( ) A．X，Y 一定独立 B.X，Y 一定不相关 C. D(XY)=D(X)D(Y) D.D(X-Y)=D(X)-D(Y) 14、（中等）设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， Y B ~ 4,0.5 ( ) ，且 X，Y 相互独立， 则 D(X −2Y +5)=（ ） A．3 B．2
C.0 D.6 15、(中等)设随机变量X服从参数为05的指数分布，Y~N34),且X,Y相互粒这， 则EX+YF=() A.33 B.21 C.12 D.25 16,(中等)如果随帆变量X服从( )上的均匀分布，则E(0)-3DW)- A[0,6 B.[1,5] c.[2,4 D.【-3 1 登 17、(中等)设X的概率密度为f(x)= ,则Y=(）-N(0.) 32x A-2 8.X+2 3 3 c.Y+2 D. X-2 18.(中等)设随机变量X-N(0,),则Y-(）~N(a,a)】 AX-巴 B.Xo-H C.a+μ D.X+u) 19.(中等)已知DXr4,DY-25,Px=02,则DXY+7) A.26 B.30 C.25 D.46 20、(易)设二雉随机变量(X门一N(4,4,:ao:P列，且X与Y相互验立。则p=(） A.1 B.0 C.I D2 21、(中等)设随机变量X,Y相互鞋立，且X-N(-1,2),YN(1,3),则X+2y~() A N(18) B.N(114) 3
3 C．0 D．6 15、（中等）设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布， Y ~ N(3,4) ，且 X，Y 相互独立， 则 ( + ) = 2 E X Y （ ） A．33 B．21 C．12 D．25 16、（中等）如果随机变量 X 服从（ ）上的均匀分布，则 ( ) ( ) 3 4 E X = 3, D X = A.0,6 B．1,5 C．2,4 D．−3,3 17、（中等）设 X 的概率密度为 ( ) 2 2 18 1 ( ) 3 2 x f x e + − = , 则 Y N = ( ) ~ 0,1 ( ) A 2 3 X − B． 2 3 X + C． 2 3 X + D． 2 3 X − 18、（中等）设随机变量 X N~ 0,1 ( ) ，则 ( ) ( ) 2 Y N = ~ , A. X − B． X − C．X + D．(X + ) 19、（中等）已知 D(X)=4，D(Y)=25， 0.2 XY = ，则 D(X-Y+7)=( ) A．26 B．30 C．25 D．46 20、（易）设二维随机变量(X,Y)～N 2 2 1 2 1 2 ( , ; , ; ) ，且 X 与 Y 相互独立，则 ＝( ) A．-1 B.0 C. 1 D.2 21、（中等）设随机变量 X，Y 相互独立，且 X~N（-1，2），Y~N（1，3），则 X + 2Y ~ （ ） A. N(1,8) B. N(1,14)
c.Nt,22) D.N(L40) 二、填空题 1、(中等)设随机变量X~L,p以且D(X)=名，则X的分布律为 2,(中等)设随机变量X服从一区间上的均匀分布，且E(X)=3DX)=;则X的概率密度函 数为—Px=2}=,P1<X<3}= 3,(中够)设随机变量X-B:P小，且E(X)=24,D)=1.44,则n=·P= P(Xs1)= 4,(中等)设随机变量X服从参数为2的指数分布，Y~N4),则E北X2+3Y)- 5(中等)设随机变量X~B电，p以y~电，p)且PK≥-哥则P收≥= 6,(中等)设随机变量X~N.0.5),则2X的假率密度函数fx)=】 7、(中等)设随机变康X-Nu.)则Y=X二-3服从参数为 的正态分布。 2 8、(中等)设随机变量X服从参数为3的泊松分布。则E 9、(易)设随机变量X与Y线性不相关，则C0m2X-34)= 10、(易)设随机变量X与y的协方差CoMX.Y-1则Com-3,2X) 11、(中等)设XY为随机变量，且E--1,D-D5,Px=0.8,则r 12、(中等)设随机变量X和Y的相关系数为07，若Z-X+1,则Pz= 13.(中等)设二维随机变量XYN0,l4,9,0.5,则CoX,Y)= 14、(中等)设随帆变量X的期望E(X门=2，方差DX)=4,随机变量Y的期望(Y门=4，方差 DY)=9又Y=10.·则X.Y的相关系数p=
4 C. N(1,22) D. N(1,40) 二、填空题 1、（中等）设随机变量 X ~ B(1, p), 且 ( ) 9 2 D X = ，则 X 的分布律为____________. 2、（中等）设随机变量 X 服从一区间上的均匀分布, 且 ( ) ( ) 3 1 E X = 3, D X = 则 X 的概率密度函 数为 ______ PX = 2=_________， P1 X 3= ________ 3、（中等）设随机变量 X ~ B(n, p) ，且 E(X) = 2.4,D(X) =1.44, 则 n =______， P = ________， PX 1= ____________。 4、（中等）设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布， Y ~ N(1,4) ，则 E(2X +3Y)= 2 ________ 5、（中等）设随机变量 X ~ B(2, p),Y ~ B(4, p) 且 , 9 5 P X 1 = 则 PY 1= ________ 6、（中等）设随机变量 ( ) 2 X ~ N 1,0.5 ，则 2X 的概率密度函数 f (x) = ________ 7、（中等）设随机变量 ( ) 2 X ~ N , ，则 2 − 3 = X Y 服从参数为________的正态分布。 8、（中等）设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布，则 E(X 2 )=_____ 9、（易）设随机变量 X 与 Y 线性不相关，则 Cov X Y (2 3,4 ) − =___________. 10、（易）设随机变量 X 与 Y 的协方差 Cov( )= 1 X,Y − ,则 Cov(-3 ,2 ) Y X =_______. 11、（中等）设 X,Y 为随机变量，且 E(X)=E(Y)=1，D(X)=D(Y)=5， 0.8 XY = ，则 E(XY)=______． 12、（中等） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.7，若 Z=X+1，则 YZ = ________. 13、（中等）设二维随机变量(X,Y)~N(0,1;4,9;0.5)，则 Cov X Y ( , ) = ________. 14、（中等）设随机变量 X 的期望 E(X) = 2 ，方差 D(X) = 4 ，随机变量 Y 的期望 E(Y) = 4 ，方差 D(Y) = 9,又E(XY) =10, ，则 X，Y 的相关系数 =______
三、计算愿 1、(中等)设随机变量X的概率密度为 画+点0心x《1 f八x)= 0其他. 且是求来常数a点Q00 2、(难)设二维连续型随机变量化门的联合密度函数为 1+x.-1≤x<0 f八x)={1-x,0sxc1 0, 其他 (X).E().D(X).D(2X-1)
5 三、计算题 1、（中等）设随机变量 X 的概率密度为 + = ， ax b x f x 0, 其他 , 0 1, ( ) 且 E(X)= 12 7 .求：(1)常数 a,b；(2)D(X). 2、（难）设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为 − + − = 0, 1 , 0 1 1 , 1 0 ( ) x x x x f x 求 E X E X D X D X ( ), , , 2 1 ( ) ( ) ( − ) 其他
3,(较难)设离数随肌变量X的份布律为： 0 P 04 03 0.3 求EX.EX2).E(3X2+5.D(X).D(2X+3) 4,(中等)设二推随机变量(K,)的分布律为 0 1 1 0 3 0 6 2 0 0 求：E(X),E(Y),E(),DX,DY),Cow(X,Y)Pa
6 3、（较难）设离散型随机变量X的分布律为： 求 ( ) ( ) ( ) 2 2 E X E X E X D X D X ( ), ( ), 3 5 , , 2 3 + + 4、（中等）设二维随机变量（X，Y）的分布律为 , 求： E X E Y E XY D X D Y Cov X Y ( ), , , ( ), ( ), , , ( ) ( ) ( ) XY X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 X Y X 0 3 1 1 -1 0 4 1 3 1 0 6 1 0 0 2 4 1 0 0
5、(较难)设二推随机变量(X。Y)的分和律为 -1 0 1-8 8 0 1-8 1 18 (1)E(X).E(Y).E(XY)D(X)D(X)Cov(X.Y).Pa 《2)验证X和Y是不相关的，但是X和Y不是相互独立的. 6、(难)设二雄连续型随机变量（化门的联合密度函数为 日k+）0<x<2.0<y<2 0 其他 E(),E(Y),E(XY),Cov(X,Y)
7 5、（较难）设二维随机变量（X，Y）的分布律为 , 求（1） E X E Y E XY D X D X Cov X Y ( ), , , ( ), ( ), , , ( ) ( ) ( ) XY （2）验证 X 和 Y 是不相关的，但是 X 和 Y 不是相互独立的。 6、（难）设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为 ( ) + = 0 0 2,0 2 8 1 ( , ) x y x y f x y 求 E X E Y E XY Cov X Y ( ), , , , ( ) ( ) ( ) X Y X -1 0 1 -1 8 1 8 1 8 1 0 8 1 0 8 1 1 8 1 8 1 8 1 其他
了、（难）设二推连续型随机变量化门的联合密度函数为 f八x= -20 0<x<1,0<y<2 其他 求E(X),E().DX).D(Y)
8 7、（难）设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为 = 0 0 1,0 2 2 1 ( , ) x y f x y 求 E X E Y D X D Y ( ), , , ( ) ( ) ( ) 其他