第四章向量组的线性相关性 一、选择题 1.投向量组a“(1,2),a2-(0,2),B-(4,2,则()〔中等) A.a,a3。B线性无关 B.B不能由a,a线性表示 C.B可由红，色：线性表示，但表示法不惟一 D。B可由a1,a线性表示，且表示法性一 2。设乌，马2L,位。为n维向量，下列结论正确的是()较难) A.若k么+k色+L+k位=0，则么，，L,位线性相关 B.若任意一组不全为零的数人六，k,有%+k乌+儿+k口≠0，则%乌L,a 线性无关 C。若%，乌L,C。线性相美，则对任何一组不全为零的数人，kL,k。有 ka+ka+L +ka=0 D.若0a+0a+L+0a=0，则4，a,L,a.线性相关 3。下列命题中错误的是()（号） A.具含有一个零向量的向量组线性相关 B。由3个2隆向量组成的向量组线性相美 C。由一个非零向量组成的向量组线性相关 D,两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4.设a1,a2,a,a4是三维实向量，则( )(易) A.a1,C2,区，C,一定线性无关 且.C1一定可由a,a.a,线性表出 C.,a,a,a,一定线性相关 D.区，a,a,一定线性无关 5.已知向量组区，a.C风找性无关，a,a,a,B线性相关。则《)（易） A.4,必能由1，任，B线性表出 B.a:必能由码，C,B线性表出 C.a3必能由%1，C,B线性表出 D.B必能由么1，位：，a,线性表出
第四章 向量组的线性相关性 一、选择题 1．设向量组 1 =（1，2）， 2 =（0，2）， =（4，2），则（ ）（中等） A． 1 2 , ， 线性无关 B． 不能由 1 2 , 线性表示 C． 可由 1 2 , 线性表示，但表示法不惟一 D． 可由 1 2 , 线性表示，且表示法惟一 2. 设 1 2 , , , L m 为 n 维向量，下列结论正确的是 ( ) (较难) A．若 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = L ，则 1 2 , , , L m 线性相关 B．若任意一组不全为零的数 1 2 , , , m k k k ，有 1 1 2 2 0 m m k k k + + + L ，则 1 2 , , , L m 线性无关 C ． 若 1 2 , , , L m 线 性 相 关 ， 则 对 任 何 一 组 不 全 为 零 的 数 1 2 , , , m k k k L 有 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = L D．若 1 2 0 0 0 0 + + + = L m ，则 1 2 , , , L m 线性相关 3．下列命题中错误的是（ ）（易） A．只含有一个零向量的向量组线性相关 B．由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关 C．由一个非零向量组成的向量组线性相关 D．两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4.设 1 2 3 4 , , , 是三维实向量，则（ ）（易） A. 1 2 3 4 , , , 一定线性无关 B. 1一定可由 2 3 4 , , 线性表出 C. 1 2 3 4 , , , 一定线性相关 D. 1 2 3 , , 一定线性无关 5．已知向量组 1 2 3 , , 线性无关， 1 2 3 , , , 线性相关，则（ ）（易） A．1 必能由 2 3 , , 线性表出 B． 2 必能由 1 3 , 线性表出 C． 3 必能由 1 2 , , 线性表出 D． 必能由 1 2 3 , , 线性表出
6.设向量组(1)a,a,L,以可由向量组《)A,月，L,B线性表示，则()（中等） A.若向量组(1)找性无关。则rs3: B.若向量组(1)线性相关，则F>s C.若向量组（Ⅱ）线性无关，则r≤3： D。若向量组（Ⅱ）线性相关，则F>s, 7.设n维列向量组g,区L,C(m<n)线性无关，则n雀列向量组民，耳L,阝线性无关 的充分必要条件是()（难） A向量组么，么L,a可由向量组A,月L,B线性表示 B.向量组具，月L,阝可由向量组，风L,.线性表示 C.向量组a,4,L,a与向量组民，民，L,B等价 D.矩阵A=(%,L,a)与矩阵B=(月，月，L,B)等价 8,设刚×I矩阵A的秩R()=1,且，员是齐次方程AX=O的两个不同的解，则AX=O 的通解为()（中等） A.k.kER B..kER C.乐+5.keR D.M所-5：).keR 9.己知C是非齐次线性方程组AX■b的解，B是X■O的解，则下列结论正确的是() (易) A.a+B是AX=O的解 B.在+B是X=b的解 C.B-a是AX=b的解 D.a-B是X=O的解 10。已知月，月是A红=b的两个不同的解，色1，风是相应齐次方程组红=0的基解 系，，，高是任意常数，则红r=b的通解是()（承》 A%+6a+a,+且-区 2 Ba+k(a-a,)+8+区 2 Ca+(g-g)+B-色 2 D.a+(A-风)+月+B 2 二、填空恩 11.设a=(1:1,-1),B=(-2,1,0).y=(-1,-2,1).则3g-B+5y=
6．设向量组（Ⅰ） 1 2 , , , L r 可由向量组（Ⅱ） 1 2 , , , L s 线性表示，则 ( ) （中等） A．若向量组（Ⅰ）线性无关，则 r s ； B．若向量组（Ⅰ）线性相关，则 r s ； C．若向量组（Ⅱ）线性无关，则 r s ； D．若向量组（Ⅱ）线性相关，则 r s 。 7.设 n 维列向量组 1 2 , , , L m (m n ) 线性无关，则 n 维列向量组 1 2 , , , L m 线性无关 的充分必要条件是 ( ) （难） A．向量组 1 2 , , , L m 可由向量组 1 2 , , , L m 线性表示 B．向量组 1 2 , , , L m 可由向量组 1 2 , , , L m 线性表示 C．向量组 1 2 , , , L m 与向量组 1 2 , , , L m 等价 D．矩阵 1 2 ( , , , ) A = L m 与矩阵 1 2 ( , , , ) B = L m 等价 8.设 m n 矩阵 A 的秩 R(A)=n-1，且 1 2 , 是齐次方程 AX O= 的两个不同的解，则 AX O= 的通解为（ ）（中等） A． 1 k k R , B． 2 k k R , C． 1 2 k k R ( ), + D． 1 2 k k R ( ), − 9．已知 是非齐次线性方程组 AX b = 的解， 是 AX O= 的解，则下列结论正确的是（ ） （易） A． + 是 AX O= 的解 B． + 是 AX b = 的解 C． − 是 AX b = 的解 D． − 是 AX O= 的解 10．已知 1， 2 是 Ax b = 的两个不同的解， 1 ，2 是相应齐次方程组 Ax = 0 的基础解 系， 1 k ， 2 k 是任意常数，则 Ax b = 的通解是（ ）（难） A． 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k − + + + B． 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k + + − + C． 1 2 1 1 2 2 1 ( ) 2 k k − + − + D． 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k + + − + 二、填空题 11.设 =（1，1，-1）， =（-2，1，0）， =（-1，-2，1），则 3 − + 5 =_________
(易) 12.设向量a=6,-2,0,4)。B=(-3,1,57),向量y满足2@+y=3B,则y= (易) 13.已知向量组位，=(1,2,3)，位2=(3，-1,2》，位3=(2,3，k)线性相关，则数 (中等) 14.已知向量组g,"(1,2,3),a2"(3,-1,2),41(2,3,)线性无关，则数 (中等) 15.设向量组乌，乌2，色线性无关，则向量组色一名，4一乌，名一乌线性无关的 充分必要条件是常数1，两满足条件一·（难》 16.设找性无关的向量组乌，乌，“，么，可由向量组民，月，“，尼线性表示，则r与s的关系 为 ,(中等) 17.已知向量组g=(2,-1)43=(2,0,以43=(04,5)的秩为2，则数t (中等) 18.向量组g1=(1,2,0),2=(2,4,0),a1=(3,6,0,C,=(4,9.0)的肤为 (中等) 19,齐次线性方程组 写+马3+无■0 的基础解系所含解向量的个数为—个，（中等） 2-高3+3=0 20.设Xú=L,2,L,)是AX=B的解，如果kX,+kX2+L+kX,是AX=B的解，则 ++L+= 。(较难) 三、解答题 21.己知向量a1,42满足%+g1=(L114),2g-3g3=(2.-82,-17), 试求向量a,a:(易) 0 -1 22.设41= 2 a4= 3 %= 4 3 5 a+8 5 (1)口为何值时，B不能由g,2,%,区，线性表示：
（易） 12．设向量 =(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量 满足 2 + =3 ,则 =____________. （易） 13.已知向量组 1 =（1，2，3）， 2 =（3，-1，2）， 3 =（2，3，k）线性相关，则数 k_________. （中等） 14.已知向量组 1 =（1，2，3）， 2 =（3，-1，2）， 3 =（2，3，k）线性无关，则数 k_________. （中等） 15.设向量组 1 ，2 ， 3 线性无关，则向量组 2 1 l − ，m 3 2 − ， 1 3 − 线性无关的 充分必要条件是常数 l m, 满足条件 _____。（难） 16.设线性无关的向量组 1 2 , ,…， r 可由向量组 1 2 , , …, s 线性表示，则 r 与 s 的关系 为____________.（中等） 17.已知向量组 1 2 3 = − = = − (1,2, 1), (2,0, ), (0, 4,5) t 的秩为 2，则数 t=____________. （中等） 18.向量组 1 =（1，2，0）， 2 =（2，4，0）， 3 =（3，6，0）， 4 =（4，9，0）的秩为_______. （中等） 19.齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 x x x x x x + + = − + = 的基础解系所含解向量的个数为_____个.（中等） 20. 设 ( 1,2, , ) X i t i = L 是 AX B = 的解，如果 1 1 2 2 t t k X k X k X + + + L 是 AX B = 的解，则 1 2 t k k k + + + L =_________.（较难） 三、解答题 21.已知向量 1 2 , 满足 1 2 1 2 + = − = − − (1,1,1,4),2 3 (2, 8,2, 17) , 试求向量 1 2 , .（易） 22.设 1 2 3 4 1 1 1 1 0 1 1 2 , , , 2 3 2 4 3 5 1 8 a a − = = = = + + ， 1 1 4 5 = （1） a 为何值时， 不能由 1 2 3 4 , , , 线性表示；
(2)口为何值时，B能由偏，乌，%，色，唯一的线性表示，并写出线性表示式.（较难） 23.求向量组 a,=-1,402'.a=6,1.30',41=(3,-24,-10,a,=(-2,9,640, 的株，并讨论其线性相关性和求一个极大线性无关组.（中等） 24,求向量组 a1-1,2,1.2',g:=(1,7.-l,6)',a,-(1,-1,2,00°，a.=(4,25,60 的供及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.（中等） 名-8x2+10x3+2x=0 25.求齐次线性方程组 2%+4粥+5x-x=0的基础解系与通解.（中等） 3x+8x2+6x-2x=0 26.已知4元非齐次线性方程组红=B的系数阵A的秩为3，仍，乃，乃是该方程组的3个 解向量。求该方程组的通解这里从+见2=(2,4，一4,6)，乃+乃=(30.6,9)。《难》 四、证明题 27,正明向量B=(8-2,5,9)'能由向量组 a(a,1,1,1',a3-(-l.1,-l,3,a-0,3-l.70 线性表示，且写出它的一种表示方式，（中等） 28.己知向量组%，在，4线性无关，证明向量组乌：%+2马，%+3g也线性无关.（较 易) 29,己知向量组C1,口1.a,线性无关，正明：向量组%+3%12a+3gy2%1+%,线性无关 (较易) 30.设n推向量组(D1a,.L,C,·向量组(0：月■a-a2,月■a-区，L· B=a-a,·B=a,+4,证明：R()=R(),(较难】
（2） a 为何值时， 能由 1 2 3 4 , , , 唯一的线性表示，并写出线性表示式.（较难） 23．求向量组 1 =(-1,4,0,2)T， 2 =(5,1,3,0)T， 3 =(3,-2,4,-1)T， 4 =(-2,9,-5,4)T， 的秩，并讨论其线性相关性和求一个极大线性无关组.（中等） 24.求向量组 1 =(1,2,1,2)T， 2 =(1,7,-1,6)T， 3 =(1,-1,2,0)T， 4 =(4,2,5,6)T 的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.（中等） 25.求齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 8 10 2 0 2 4 5 0 3 8 6 2 0 x x x x x x x x x x x x − + + = + + − = + + − = 的基础解系与通解.（中等） 26.已知 4 元非齐次线性方程组 Ax = 的系数矩阵 A 的秩为 3， 1 2 3 , , 是该方程组的 3 个 解向量，求该方程组的通解.这里 1 2 (2,4, 4,6)T + = − ， 2 3 (3,0, 6,9)T + = − .（难） 四、证明题 27.证明向量 =(8,-2,5,-9)T 能由向量组 1 =(3,1,1,1)T， 2 =(-1,1,-1,3)T， 3 =(1,3,-1,7)T 线性表示，且写出它的一种表示方式.（中等） 28. 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关，证明向量组 1 1 2 1 3 ， + + 2 3 ， 也线性无关.（较 易） 29. 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关，证明：向量组 1 2 2 3 3 1 +3 ，2 3 + + ，2 线性无关. （较易） 30. 设 n 维向量组(I)： 1 2 , , , L r ；向量组(II)： 1 1 2 2 2 3 = − = − , ,L ， r r r − − 1 1 = − ， r r = + 1 ，证明：R(I)=R(II)。（较难）
