第四章向量组的线性相关性 一、选择题 1.投向量组a“(1,2),a2-(0,2),B-(4,2,则()〔中等) A.a,a3。B线性无关 B.B不能由a,a线性表示 C.B可由红,色:线性表示,但表示法不惟一 D。B可由a1,a线性表示,且表示法性一 2。设乌,马2L,位。为n维向量,下列结论正确的是()较难) A.若k么+k色+L+k位=0,则么,,L,位线性相关 B.若任意一组不全为零的数人六,k,有%+k乌+儿+k口≠0,则%乌L,a 线性无关 C。若%,乌L,C。线性相美,则对任何一组不全为零的数人,kL,k。有 ka+ka+L +ka=0 D.若0a+0a+L+0a=0,则4,a,L,a.线性相关 3。下列命题中错误的是()(号) A.具含有一个零向量的向量组线性相关 B。由3个2隆向量组成的向量组线性相美 C。由一个非零向量组成的向量组线性相关 D,两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4.设a1,a2,a,a4是三维实向量,则( )(易) A.a1,C2,区,C,一定线性无关 且.C1一定可由a,a.a,线性表出 C.,a,a,a,一定线性相关 D.区,a,a,一定线性无关 5.已知向量组区,a.C风找性无关,a,a,a,B线性相关。则《)(易) A.4,必能由1,任,B线性表出 B.a:必能由码,C,B线性表出 C.a3必能由%1,C,B线性表出 D.B必能由么1,位:,a,线性表出
第四章 向量组的线性相关性 一、选择题 1.设向量组 1 =(1,2), 2 =(0,2), =(4,2),则( )(中等) A. 1 2 , , 线性无关 B. 不能由 1 2 , 线性表示 C. 可由 1 2 , 线性表示,但表示法不惟一 D. 可由 1 2 , 线性表示,且表示法惟一 2. 设 1 2 , , , L m 为 n 维向量,下列结论正确的是 ( ) (较难) A.若 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = L ,则 1 2 , , , L m 线性相关 B.若任意一组不全为零的数 1 2 , , , m k k k ,有 1 1 2 2 0 m m k k k + + + L ,则 1 2 , , , L m 线性无关 C . 若 1 2 , , , L m 线 性 相 关 , 则 对 任 何 一 组 不 全 为 零 的 数 1 2 , , , m k k k L 有 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = L D.若 1 2 0 0 0 0 + + + = L m ,则 1 2 , , , L m 线性相关 3.下列命题中错误的是( )(易) A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4.设 1 2 3 4 , , , 是三维实向量,则( )(易) A. 1 2 3 4 , , , 一定线性无关 B. 1一定可由 2 3 4 , , 线性表出 C. 1 2 3 4 , , , 一定线性相关 D. 1 2 3 , , 一定线性无关 5.已知向量组 1 2 3 , , 线性无关, 1 2 3 , , , 线性相关,则( )(易) A.1 必能由 2 3 , , 线性表出 B. 2 必能由 1 3 , 线性表出 C. 3 必能由 1 2 , , 线性表出 D. 必能由 1 2 3 , , 线性表出
6.设向量组(1)a,a,L,以可由向量组《)A,月,L,B线性表示,则()(中等) A.若向量组(1)找性无关。则rs3: B.若向量组(1)线性相关,则F>s C.若向量组(Ⅱ)线性无关,则r≤3: D。若向量组(Ⅱ)线性相关,则F>s, 7.设n维列向量组g,区L,C(m<n)线性无关,则n雀列向量组民,耳L,阝线性无关 的充分必要条件是()(难) A向量组么,么L,a可由向量组A,月L,B线性表示 B.向量组具,月L,阝可由向量组,风L,.线性表示 C.向量组a,4,L,a与向量组民,民,L,B等价 D.矩阵A=(%,L,a)与矩阵B=(月,月,L,B)等价 8,设刚×I矩阵A的秩R()=1,且,员是齐次方程AX=O的两个不同的解,则AX=O 的通解为()(中等) A.k.kER B..kER C.乐+5.keR D.M所-5:).keR 9.己知C是非齐次线性方程组AX■b的解,B是X■O的解,则下列结论正确的是() (易) A.a+B是AX=O的解 B.在+B是X=b的解 C.B-a是AX=b的解 D.a-B是X=O的解 10。已知月,月是A红=b的两个不同的解,色1,风是相应齐次方程组红=0的基解 系,,,高是任意常数,则红r=b的通解是()(承》 A%+6a+a,+且-区 2 Ba+k(a-a,)+8+区 2 Ca+(g-g)+B-色 2 D.a+(A-风)+月+B 2 二、填空恩 11.设a=(1:1,-1),B=(-2,1,0).y=(-1,-2,1).则3g-B+5y=
6.设向量组(Ⅰ) 1 2 , , , L r 可由向量组(Ⅱ) 1 2 , , , L s 线性表示,则 ( ) (中等) A.若向量组(Ⅰ)线性无关,则 r s ; B.若向量组(Ⅰ)线性相关,则 r s ; C.若向量组(Ⅱ)线性无关,则 r s ; D.若向量组(Ⅱ)线性相关,则 r s 。 7.设 n 维列向量组 1 2 , , , L m (m n ) 线性无关,则 n 维列向量组 1 2 , , , L m 线性无关 的充分必要条件是 ( ) (难) A.向量组 1 2 , , , L m 可由向量组 1 2 , , , L m 线性表示 B.向量组 1 2 , , , L m 可由向量组 1 2 , , , L m 线性表示 C.向量组 1 2 , , , L m 与向量组 1 2 , , , L m 等价 D.矩阵 1 2 ( , , , ) A = L m 与矩阵 1 2 ( , , , ) B = L m 等价 8.设 m n 矩阵 A 的秩 R(A)=n-1,且 1 2 , 是齐次方程 AX O= 的两个不同的解,则 AX O= 的通解为( )(中等) A. 1 k k R , B. 2 k k R , C. 1 2 k k R ( ), + D. 1 2 k k R ( ), − 9.已知 是非齐次线性方程组 AX b = 的解, 是 AX O= 的解,则下列结论正确的是( ) (易) A. + 是 AX O= 的解 B. + 是 AX b = 的解 C. − 是 AX b = 的解 D. − 是 AX O= 的解 10.已知 1, 2 是 Ax b = 的两个不同的解, 1 ,2 是相应齐次方程组 Ax = 0 的基础解 系, 1 k , 2 k 是任意常数,则 Ax b = 的通解是( )(难) A. 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k − + + + B. 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k + + − + C. 1 2 1 1 2 2 1 ( ) 2 k k − + − + D. 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k + + − + 二、填空题 11.设 =(1,1,-1), =(-2,1,0), =(-1,-2,1),则 3 − + 5 =_________
(易) 12.设向量a=6,-2,0,4)。B=(-3,1,57),向量y满足2@+y=3B,则y= (易) 13.已知向量组位,=(1,2,3),位2=(3,-1,2》,位3=(2,3,k)线性相关,则数 (中等) 14.已知向量组g,"(1,2,3),a2"(3,-1,2),41(2,3,)线性无关,则数 (中等) 15.设向量组乌,乌2,色线性无关,则向量组色一名,4一乌,名一乌线性无关的 充分必要条件是常数1,两满足条件一·(难》 16.设找性无关的向量组乌,乌,“,么,可由向量组民,月,“,尼线性表示,则r与s的关系 为 ,(中等) 17.已知向量组g=(2,-1)43=(2,0,以43=(04,5)的秩为2,则数t (中等) 18.向量组g1=(1,2,0),2=(2,4,0),a1=(3,6,0,C,=(4,9.0)的肤为 (中等) 19,齐次线性方程组 写+马3+无■0 的基础解系所含解向量的个数为—个,(中等) 2-高3+3=0 20.设Xú=L,2,L,)是AX=B的解,如果kX,+kX2+L+kX,是AX=B的解,则 ++L+= 。(较难) 三、解答题 21.己知向量a1,42满足%+g1=(L114),2g-3g3=(2.-82,-17), 试求向量a,a:(易) 0 -1 22.设41= 2 a4= 3 %= 4 3 5 a+8 5 (1)口为何值时,B不能由g,2,%,区,线性表示:
(易) 12.设向量 =(6, -2, 0, 4), =(-3,1,5,7),向量 满足 2 + =3 ,则 =____________. (易) 13.已知向量组 1 =(1,2,3), 2 =(3,-1,2), 3 =(2,3,k)线性相关,则数 k_________. (中等) 14.已知向量组 1 =(1,2,3), 2 =(3,-1,2), 3 =(2,3,k)线性无关,则数 k_________. (中等) 15.设向量组 1 ,2 , 3 线性无关,则向量组 2 1 l − ,m 3 2 − , 1 3 − 线性无关的 充分必要条件是常数 l m, 满足条件 _____。(难) 16.设线性无关的向量组 1 2 , ,…, r 可由向量组 1 2 , , …, s 线性表示,则 r 与 s 的关系 为____________.(中等) 17.已知向量组 1 2 3 = − = = − (1,2, 1), (2,0, ), (0, 4,5) t 的秩为 2,则数 t=____________. (中等) 18.向量组 1 =(1,2,0), 2 =(2,4,0), 3 =(3,6,0), 4 =(4,9,0)的秩为_______. (中等) 19.齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 x x x x x x + + = − + = 的基础解系所含解向量的个数为_____个.(中等) 20. 设 ( 1,2, , ) X i t i = L 是 AX B = 的解,如果 1 1 2 2 t t k X k X k X + + + L 是 AX B = 的解,则 1 2 t k k k + + + L =_________.(较难) 三、解答题 21.已知向量 1 2 , 满足 1 2 1 2 + = − = − − (1,1,1,4),2 3 (2, 8,2, 17) , 试求向量 1 2 , .(易) 22.设 1 2 3 4 1 1 1 1 0 1 1 2 , , , 2 3 2 4 3 5 1 8 a a − = = = = + + , 1 1 4 5 = (1) a 为何值时, 不能由 1 2 3 4 , , , 线性表示;
(2)口为何值时,B能由偏,乌,%,色,唯一的线性表示,并写出线性表示式.(较难) 23.求向量组 a,=-1,402'.a=6,1.30',41=(3,-24,-10,a,=(-2,9,640, 的株,并讨论其线性相关性和求一个极大线性无关组.(中等) 24,求向量组 a1-1,2,1.2',g:=(1,7.-l,6)',a,-(1,-1,2,00°,a.=(4,25,60 的供及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.(中等) 名-8x2+10x3+2x=0 25.求齐次线性方程组 2%+4粥+5x-x=0的基础解系与通解.(中等) 3x+8x2+6x-2x=0 26.已知4元非齐次线性方程组红=B的系数阵A的秩为3,仍,乃,乃是该方程组的3个 解向量。求该方程组的通解这里从+见2=(2,4,一4,6),乃+乃=(30.6,9)。《难》 四、证明题 27,正明向量B=(8-2,5,9)'能由向量组 a(a,1,1,1',a3-(-l.1,-l,3,a-0,3-l.70 线性表示,且写出它的一种表示方式,(中等) 28.己知向量组%,在,4线性无关,证明向量组乌:%+2马,%+3g也线性无关.(较 易) 29,己知向量组C1,口1.a,线性无关,正明:向量组%+3%12a+3gy2%1+%,线性无关 (较易) 30.设n推向量组(D1a,.L,C,·向量组(0:月■a-a2,月■a-区,L· B=a-a,·B=a,+4,证明:R()=R(),(较难】
(2) a 为何值时, 能由 1 2 3 4 , , , 唯一的线性表示,并写出线性表示式.(较难) 23.求向量组 1 =(-1,4,0,2)T, 2 =(5,1,3,0)T, 3 =(3,-2,4,-1)T, 4 =(-2,9,-5,4)T, 的秩,并讨论其线性相关性和求一个极大线性无关组.(中等) 24.求向量组 1 =(1,2,1,2)T, 2 =(1,7,-1,6)T, 3 =(1,-1,2,0)T, 4 =(4,2,5,6)T 的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.(中等) 25.求齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 8 10 2 0 2 4 5 0 3 8 6 2 0 x x x x x x x x x x x x − + + = + + − = + + − = 的基础解系与通解.(中等) 26.已知 4 元非齐次线性方程组 Ax = 的系数矩阵 A 的秩为 3, 1 2 3 , , 是该方程组的 3 个 解向量,求该方程组的通解.这里 1 2 (2,4, 4,6)T + = − , 2 3 (3,0, 6,9)T + = − .(难) 四、证明题 27.证明向量 =(8,-2,5,-9)T 能由向量组 1 =(3,1,1,1)T, 2 =(-1,1,-1,3)T, 3 =(1,3,-1,7)T 线性表示,且写出它的一种表示方式.(中等) 28. 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关,证明向量组 1 1 2 1 3 , + + 2 3 , 也线性无关.(较 易) 29. 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关,证明:向量组 1 2 2 3 3 1 +3 ,2 3 + + ,2 线性无关. (较易) 30. 设 n 维向量组(I): 1 2 , , , L r ;向量组(II): 1 1 2 2 2 3 = − = − , ,L , r r r − − 1 1 = − , r r = + 1 ,证明:R(I)=R(II)。(较难)