试卷代号：0877 座位号 国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试 数学分析专题研究试题（半开卷） 2016年7月 题 三 四 总。分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共20分）】 1.a是集合A中的元素，则表示为( A.a∈A B.{a}∈A C.aCA D.aEA 2.设1impx)=6,b>0,则存在8>0，当0b B.o(x)<b c.pa) Dp(e)<号 3.已知p(x)=】 -10,则gx)=( A.sin x B.cos x C.e D.In(1+z) 4.p(x)=sin xcosx是以( )为最小正周期的周期函数. A.2π B.元 c D 24
试卷代号 :0877 座位号 24 国家开放大学(中央广播电视大学)2016 年春季学期"开放本科"期末考试 数学分析专题研究试题(半开卷) 一|四|总分| | 一、单项选择题(每小题 分，共 20 分} l. 是集合 中的元素，则表示为( ). A. a A B. {a} εA C. acA D. aEA 2016 2. limrp(x) =b b>O 则存在 ð>O ob B. rp(x); 忡)<二 3. 己知￠ (z)= 〉:(-orliz" ，则 cp(x) =( ). n-l n A. sin x B. cos x C. eZ D. ln (1 + x ) 4. (x) =sin xcosx 是以( )为最小正周期的周期函数. A.2πB.π c-fD-f
5.f(x)=xlnx在(0，+o)内是(). A.上凸函数 B.下凸函数 C.周期函数 D.有界函数 得 分 评卷人 二、填空题（每小题4分，共20分） 6-∫d 7.y=√x+I在点x=1的微分d山 &已知z>0,则fx)=了+是的最小值是 9.设ECR(R为实数集)，称是E的聚点当且仅当E的任一邻域U(E,8)内 无穷多个点. 10.已知A={a,b,c},则A的幂集24= 得 分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分） 11. 已知2f(x)+f()=x,求f(x). 求椭球十+≤1的体积V.(a>0,b>0,c 得 分 评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.设f:X→Y,则HACX有A=f1(f(A)曰f是单射. 14.证明f(x)=x2sinx不是周期函数. 25
5. f(x) =xlnx (0 ，+∞)内是( A. 上凸函数 C. 周期函数 B. 下凸函数 D. 有界画数 |得分 评卷人| | 二、填空题{每小题 分，共 20 分) ιLinzzcob 由= 7. y ='1/ττT 在点 =1 的微分 dy = 8. 已知 > ，则 fω 3 ~X3 -- . 主的最小值是 x' 9. C R(R 为实数集) ，称 的聚点当且仅当 的任一邻域 句，的内 无穷多个点. 10. 已知 = {a ，c}， 的事集 |得分|评卷人| | 三、计算题(每小题 15 分，共 30 分} 1.巳知 2f(x) + f( 工) =x f(x) • z "Z Z2 12. 求椭球丁+云 +τζ1 的体积 V. (a > 0 ,b > O,C > 0) 一。 |得分|评卷人| | 四、证明题{每小题 15 分，共 30 分} 13. f:X VACX 有 A= (j (A)) 是单射. 14. 证明 f(x) =xZsin 不是周期函数. 25
试卷代号：0877 国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试 数学分析专题研究 试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2016年7月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.0 71 x 8.2 9.含有E中 10.{,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}》 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.解：已知2f(x)+f(2)=x ① 用上代替x得 252+fx)=是 ② 由①得 f)-z-2f() ③ 10分 由②及③得 -3f(x)= r-2x ·于是 f(x)-2,1 3x-3元 15分 26
试卷代号 :0877 国家开放大学{中央广播电视大学 )2016 年春季学期"开放本科"期末考试 数学分析专题研究 试题答案及评分标准(半开卷〉 (供参考〉 2016 一、单项选择题{每小题 分，共 20 分} 1. A 2.C 3.D 4. B 5. B 二、填空题(每小题 分，共 20 分} 6.0 13 8.2 9. 含有 10. {'" ' {a } , {b } , {c} , {a ,b } , {a ,c } , {b ,c} , {a ,b ,c } } 三、计算题{每小题 15 分，共 30 分} 1.解 已知 2fb +f(i =z Z ① 代替 2f +fU =i ② x x x 由①得 fφ =x 一仰〉 ③ 10 由②及③得 -3f(x) -2x 于是 2 1 f(x)= 3 ~x- 一一3x 15 26
12.解：由于椭球关于xOy平面对称，故该椭球体积V是该椭球在xOy平面上部体积的 2倍，任取一点之∈(0，c),过点(0,0，z)作垂直于之轴的平面，其截口为一椭圆面，椭圆方程为 x2 y2 -=1 a2 c2-z) 62 c2(c2- 其椭圆面积为 s)=2e:-2 10分 故 v()(de 15分 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.证明：←)已知f：X→Y,且ACX. Ha∈A,则f(a)∈f(A).即a∈f-1(f(A)).故ACf1(f(A)). 另一方面，设a∈f-1(f(A)).即f(a)∈f(A). 由于f是单射，故a∈A,即f1(f(A))CA,从而有f-1(f(A))=A. 9分 →)假设f不是单射，故存在a1,a2∈X,a1≠a2,f(a1)=f(az).选取A={a1},则 f-1(f(A)一{a1,az}≠A.故f是单射. 15分 l4.证明：假设f(x)=x2sinx是周期函数，则存在T>0是f(x)的周期.由于f(x) 是（一∞，+∞）上的连续函数，即是[0，T]上的连续函数.从而存在M>0,Hx∈[0，T], 有|f(x)|≤M.由假设，f(x)是周期函数，从而Hx∈（一∞，+∞），有|f(x)≤M.10分 另一方面，选取x.=2x十7，则 fx,)=(2m+受)2sin(2m+)=(2mx+)2 limf(x.)=+∞这与|f(x)|≤M矛盾，故f(x)不是周期函数· 15分 27
12. 由于椭球关于 xOy 平面对称，故该椭球体积 是该椭球在 xOy 平面上部体积的 倍，任取一点 (O c) 过点 (O z) 作垂直于 轴的平面，其截口为一椭圆面，椭圆方程为 其椭圆面积为 x2 y2 .- 2 I L2 ‘ (c - Z2) =-'(C2 - Z2) S(z) (c - Z2) c- V=2f: (z)dz f: (C 2 - z2)dz z2??Epzz-tt]|;• 1Cabc 四、证明题(每小题 15 分，共 30 分} 13. 证明:)假设 不是单射，故存在 al a2 εX ,al =F a2 ,f(al) = f(a2). 选取 = {ad f-l(f(A)) ::J {al a2} A. 是单射. 15 14. 证明 假设 f(x) = x 2 sin 是周期函数，则存在 T>O f(x) 的周期.由于 f(x) 是〈一∞，+∞)上的连续函数，即是 [O T] 上的连续函数.从而存在 > 0, V x E [0 , T] , f(x) IζM. 由假设 f(x) 是周期函数，从而 Vxε(一∞，+∞) ，有 f(x) IζM. 10 另一方面，选取 =2nπ+ 号，则 fω = (2n1C + ~ )2 sin(2n1C +号)=α 1C )2 limf(x n ) =+∞这与 f(x) IζM 矛盾，故 f(x) 不是周期函数. 15 27