第一次课(2课时) 教学课时分配： 1.人文模块(1课时)： 2基础模块：数列的极限〔1课时)。 敏学具体内容： ★人文棋块 【设计意图】引发学生的学习兴趣。 极限思朝的发展经历了思想前芽、弹论发展和理论完普时期，在薄珠阶段： 人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际同题。比 如古希暗数学家款多克新创立丁确定面积和体积的一教方法“穷竭法”，这种 方法是很定量的无限可分性，并且以下面命题为基醋：“如果从任何量中减去 一个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于也的一半的另一部分，等 等，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量，”应用穷湖法，微多克斯 正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直轻的立方 成正比例等结论”。歌多克斯的穷法，已体现出了授限论思想。同时期的古 希膝数学家镶慎克利特把哲学上的原子论引入了数学，创位了数学原子论。数 学原子认为，战段、面积、立体多是由一些不可分的原子构成的，而计算面积、 体积就是将这些“原子“无限累加米，。虽然思想比较粗糙。但却带有了古朴 的积分思想，而后古希醋最学家阿基米第巧妙麻把歌多克新等人的方竭法与薄 慎克利特的原子论我点结合起来，采用无限通近的思想，通过严德的计算，解 决了求几何图形的图积、体积、曲线长等大量的计算问题。而提到极限思想， 就不得不提到著名的阿基里斯樟论。阿蒸里斯脖论是由古希醋哲学家芝诺提出 的。是这么礼的：“阿基里渐不能遮上一只选胞的乌龟，因为在他到达乌龟所 在的地方所花的郑段时间里，乌龟能够走开，然调即使它等着他，阿基型斯也 您须首先到达他们之间一半路程的日标，并且，为了他能到达这个中点，他色 须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限雕线下去。从餐老上，面 性这样一个圆遇，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的.”这样一个从直 凳与现实两个角度都不可能的月愿困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着 徽积分的发展，极限的顺念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯停论造成 的困移才得以解除。无独有偶。我国春秋战国时期的图学名著《庄子.天下篇)
第一次课（2 课时） 教学课时分配: 1.人文模块（1 课时）； 2.基础模块：数列的极限（1 课时）。 教学具体内容： ★ 人文模块 【设计意图】引发学生的学习兴趣。 极限思想的发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期。在萌芽阶段， 人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题。比 如古希腊数学家欧多克斯创立了确定面积和体积的一般方法“穷竭法"，这种 方法是假定量的无限可分性，并且以下面命题为基础：“如果从任何量中减去 一个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于他的一半的另一部分，等 等，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量。”应用穷竭法，欧多克斯 正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方 成正比例等结论”。欧多克斯的穷竭法，已体现出了极限论思想。同时期的古 希腊数学家德谟克利特把哲学上的原子论引入了数学，创立了数学原子论。数 学原子认为，线段、面积、立体多是由一些不可分的原子构成的，而计算面积、 体积就是将这些“原子"无限累加起来。虽然思想比较粗糙，但却带有了古朴 的积分思想。而后古希腊数学家阿基米德巧妙地把欧多克斯等人的穷竭法与德 谟克利特的原子论观点结合起来，采用无限逼近的思想，通过严密的计算，解 决了求几何图形的面积、体积、曲线长等大量的计算问题。而提到极限思想， 就不得不提到著名的阿基里斯悖论。阿基里斯悖论是由古希腊哲学家芝诺提出 的，是这么说的：“阿基里斯不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所 在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。然而即使它等着他，阿基里斯也 必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必 须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。从概念上，面 临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。”这样一个从直 觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着 微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成 的困惑才得以解除。无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子.天下篇》
记载着一句名言“一尺之能，日取其率，万事不竭，”也就是说，从一尺长的 竿，每天载取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来裙短，长度抛来 越趋近于零，但又水远不会等于零，这更是从直观上体现了极限思想。我国古 代的刘量和相冲之计算西周率时所采用的“制圆术则是极限思想的一种基本 应用。所调“制圆术”，就是用米轻为成的西的内接正多边形的边数一倍一倍 地增多，多边形的面积就越来培接近于圆的面积舞R,在有限次的过程中， 用正多边形的面积来藻近医的面积，只能达到近似的程度。但可以想象，如果 把这个过程无限次地继续下去，就能海到精确的圆面积。正是以“制圆术”为 弹论基础，刘徽得出量率，他一直算到192边形时，得到耳157/50%3.14， 之后又算到3072边形时得到x3927/12503.1416,而后粗冲之月样运用 “制圆术一算到24576边形得到：3.1415926m<3.1415927,这是领先国外 上千年的惊人成果。 【设计意图】通过这些体现了极限思想的生动事例，让学生对“穷竭法”或是 “无限通近”有直观的认识。 在这一阶授人们并没有明确提出极限这一概念。而16世纪以后由于生产 和科学技术中发生了大量的变量间恩，知画线切线间恩、最值同恩、力学中速 度问愿、变力微功问愿等，初等数学方法对此就来糖无能为力，需要的是新的 数学思想、新的数学方法，这板大地促进了极限思想的发展以及相应的成果。 随着数学家门对极限思想的亮善，直至19世纪，旋尔斯特拉斯提出了极限的 严格定文。那么极限思都在生活中到成有什么应用呢？比如解释经济现象中的 某种规律、研究福言传播问愿和处理城市的垃极问愿，又比如在建筑学和化学 中的应用等等。 【设计意图】让学生初步了解极限在生活中的应用。 ★基础棋块 一、数列的瘦限 1,数列的概念：如果按照某一法则。使得对任何一个正整数？有一个确定的 数无，则得到一列有次序的数 后，后，·，无，·· 这一列有次序的数就叫做数列，记为[x1,其中第项玉叫做数列的一般项. 数列的例子行 ①
记载着一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的 竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来 越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。我国古 代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本 应用。所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍 地增多，多边形的面积An就越来越接近于圆的面积πR。在有限次的过程中， 用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。但可以想象，如果 把这个过程无限次地继续下去，就能得到精确的圆面积。正是以“割圆术”为 理论基础，刘徽得出徽率，他一直算到 192 边形时，得到π≈157／50≈3．14， 之后又算到 3072 边形时得到π≈3927／1250≈3．1416。而后祖冲之同样运用 “割圆术一算到 24576 边形得到：3．1415926<π<3．1415927，这是领先国外 上千年的惊人成果。 【设计意图】通过这些体现了极限思想的生动事例，让学生对“穷竭法”或是 “无限逼近”有直观的认识。 在这一阶段人们并没有明确提出极限这一概念。而 16 世纪以后由于生产 和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速 度问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的 数学思想、新的数学方法，这极大地促进了极限思想的发展以及相应的成果。 随着数学家们对极限思想的完善，直至 19 世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的 严格定义。那么极限思想在生活中到底有什么应用呢？比如解释经济现象中的 某种规律、研究谣言传播问题和处理城市的垃圾问题，又比如在建筑学和化学 中的应用等等。 【设计意图】让学生初步了解极限在生活中的应用。 ★ 基础模块 一、数列的极限 1.数列的概念 如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的 数 xn 则得到一列有次序的数 x1 x2 x3 xn 这一列有次序的数就叫做数列 记为{xn} 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 { n+1 n } 2 1 3 2 4 3 n+1 n ①
2多.…⑦ 京… 国 -:1-11…,,.© 2:248,··,2,”· 5 它们的一般项依次为片，，六，(”，？ 【设计意图】学生会发现有些会趋向于一个有限的常数，有些会趋于多个不 同的有限的常数，还有些会趋于无穷 当n→0时，它们的变化趋势依次是趋干1，趋于1，趋于0，趋于1或是-1， 趋于无穷。所以数列⊙、数列②和数③是收致数列，数列④和数列©是发 散数列 2数列的极限的通俗定义：对于数列(x山，如果当。无限增大时，数列的 般项x,无限地接近于某一确定的数值品则移常数a是数列x小的极限，或称 数列{收敛：。记为m,=口，如果数列没有极限，就说数列是发收的。 例如 巴品=，巴女=0，中：P:（世学生叙述这几个最列的展限) 而{2，【(-1)1是发散的显然收敛数列才有极， 【设计意图】通过学生自己的叙述，让能们更好地理解数列极限的通俗定义 3.数列极限的性质 定理1（极裂的唯一性）数列{x不能收效于两个不同的极限 连：根据以上一些极限存在的例子，显然收敛数列的极限只有一个，那么把这 个定理作为一个原命题，。它的逆否命题是“如果数列[x小在H→0时，趋于不 同的常最。则{x发散”.例如，(-) 就是发收的
{ n n n 1 ( 1) + − − } 2 2 1 3 4 n n n 1 ( 1) + − − ② { n 2 1 } 2 1 4 1 8 1 n 2 1 ③ { ( ) 1 1 n+ − 1 −1 1 ( ) 1 1 n+ − ④ {2n 2 4 8 2 n ⑤ 它们的一般项依次为 n+1 n n n n 1 ( 1) + − − ， n 2 1 ， ( ) 1 1 n+ − 2 n 【设计意图】 学生会发现有些会趋向于一个有限的常数，有些会趋于多个不 同的有限的常数，还有些会趋于无穷. 当 n → 时，它们的变化趋势依次是趋于 1，趋于 1，趋于 0，趋于 1 或是-1， 趋于无穷。所以数列①、数列②和数列③是收敛数列，数列④和数列⑤是发 散数列. 2.数列的极限的通俗定义：对于数列{xn} 如果当 n 无限增大时 数列的一 般项 xn无限地接近于某一确定的数值 a 则称常数 a 是数列{xn}的极限 或称 数列{xn}收敛 a 记为 xn a n = → lim 如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 1 1 lim = → n+ n n 0 2 1 lim = → n n 1 ( 1) lim 1 = + − − → n n n n （让学生叙述这几个数列的极限） 而{2n } { ( ) 1 1 n+ − }是发散的显然收敛数列才有极限. 【设计意图】通过学生自己的叙述，让他们更好地理解数列极限的通俗定义. 3.数列极限的性质 定理 1(极限的唯一性) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限 注：根据以上一些极限存在的例子，显然收敛数列的极限只有一个.那么把这 个定理作为一个原命题，它的逆否命题是“如果数列{xn}在 n → 时，趋于不 同的常数，则{xn}发散”.例如，{ ( ) 1 1 n+ − 就是发散的
定理2（收敏数列的有界性）如果数列{山收效，那么数列(x小一定有界 注：例如，(”}收敛，且0<”<1，即(”)确实有界.反之，如果数 n+1 对+1 n+l 列d有界，d就一定收微吗？例如，+少有界但不收效那么把这个 2 定理作为一个原命思，它的道否命题是“如果数列{无无界。则{x}发散”，例 如。2无界，因面是发散的 子数张：在数列[x小中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后 次序，这样得到的一个数列称为原数列【的子数列. 例如，数列{：1，-1.1，-1，··，1)叫·的一子数列为：-1，-L -l.··,-10·. 定理3（收效最列与其子数列间的关系）如果数列{x小收效于4郑么它 的任一子数列也收就且极限也是4， 连：此定理说明若一爱列收数，其任一子数列都收敛，反之，若某一子数列牧 效，不能断定解数列收敛例知如。数列+少，它有两个子数列0,0一 2 ,0,{1,1,·,1},分别收敛于0和1，放原数列发胜.那么靶这个定理作为 个原命愿，它的逆否命题是“若数列的某一子数列发散，或数列的两个子数列 收敛于不同的极限，则数列本身是发散的.” 4,数列收做的准则 单调数列：设{x小为一数到，如果工，≤x1(n-1,2,…),则称数列 是单调增数列：如果无≥x(=1,2,·,则称数列是单调诚数列单 调增数列与单调减数列统称为单调数列 数列与函数数列[x小可以看作自变量为正整数后的函数。表示为 x.=f(n). 其定义域是全体正整数，故数列也称为整标两数 这说明数列是转味的函数，也会相应地具有一些性质，比如单调性、有界性， 对于单调数列，有下列收敛准测 定理4（单调有界准则）单调增加（成减少）且有上界（成下界）的数列
定理 2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 注：例如，{ n +1 n }收敛，且 0 1 1 n n + ，即{ n +1 n }确实有界.反之，如果数 列{xn}有界，{xn}就一定收敛吗？例如，{ 1 ( 1) 2 n + − }有界但不收敛.那么把这个 定理作为一个原命题，它的逆否命题是“如果数列{xn}无界，则{xn}发散”.例 如，{2n }无界，因而是发散的. 子数列 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后 次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列 例如 数列{xn} 1 −1 1 −1 (−1)n+1 的一子数列为{x2n} −1 −1 −1 (−1)2n+1 . 定理 3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于 a 那么它 的任一子数列也收敛 且极限也是 a 注：此定理说明若一数列收敛，其任一子数列都收敛.反之，若某一子数列收 敛，不能断定原数列收敛.例如，数列{ 1 ( 1) 2 n + − }，它有两个子数列{0,0, ,0}，{1,1, ,1},分别收敛于 0 和 1，故原数列发散.那么把这个定理作为一 个原命题，它的逆否命题是“若数列的某一子数列发散，或数列的两个子数列 收敛于不同的极限，则数列本身是发散的.” 4.数列收敛的准则 单调数列：设{xn}为一数列，如果 n n 1 x x + （n=1,2， ），则称数列{xn} 是单调增数列；如果 n n 1 x x + （n=1,2， ），则称数列{xn}是单调减数列.单 调增数列与单调减数列统称为单调数列. 数列与函数 数列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数 ，表示为 ( ), n x f n = 其定义域是全体正整数，故数列也称为整标函数 这说明数列是特殊的函数，也会相应地具有一些性质，比如单调性、有界性. 对于单调数列，有下列收敛准则. 定理 4（单调有界准则） 单调增加（或减少）且有上界（或下界）的数列
必收效。 例如，《刀」单调增加、以1为上界，且收敛于1. M+1 创1.设=1+，证明：数列，存在极限 证：《1)先证引光，}单调增.可证到儿。<》，，}是单调增加的 (2)证{儿.》有上界，可证到。←3. 根据单调有界准则知：数列，}收敛 生：讲这个例圈主要是说明如何利用单调有界准则做题。 由这个例恩，我们得到一个常用的重要极限 定理5（夹遥准测）设数列{x、山d、z小满足条件 (1)x≤y.≤5。(1,2，·-) (2)limx.=A,lim==A 则最列d极限存在，且lim光。=A, 例2.证明： 证：因为n是正整数，故有 故由夹通准则，有
必收敛. 例如，{ n +1 n }单调增加、以 1 为上界，且收敛于 1. 例 1. 设 1 (1 )n n y n = + ，证明：数列{ n y }存在极限. 证：（1）先证{ n y }单调增加.可证到 n n 1 y y + ，{ n y }是单调增加的. （2）证{ n y }有上界.可证到 3 n y . 根据单调有界准则知：数列{ n y }收敛. 注：讲这个例题主要是说明如何利用单调有界准则做题. 由这个例题，我们得到一个常用的重要极限 1 lim 1 n n e → n + = . 定理 5（夹逼准则） 设数列{xn}、{yn}、{zn}满足条件： （1） n n n x y z （n=1,2， ） （2） lim n n x A → = ， lim n n z A → = 则数列{yn}极限存在，且 lim n n y A → = . 例 2. 证明： 1 lim 1 1 n n→ n + = . 证：因为 n 是正整数，故有 1 1 1 1 1 n n n + + 而 1 lim 1 1 n→ n + = ，故由夹逼准则，有
例3.求极限im州 解：因为 0<=-na-l<1 又m。=0,所以由夹遥准则。有1n星 1 =0 导用 包括上述的重要极限在内，列出一些常用的数列的极限： -7-00.m0-0(4<1).mg-0(aeR) B+8分 m6-1(a0.m所-l,mg=0 【设计意图】为后面的课酸好铺经. ★课堂旅习 ★教学小结 本次课重点： 理解数列极限的通俗定文，数列极限的性质。 本次课难点： 理解数列的收敛准则。 ★教学后记
1 lim 1 1 n n→ n + = . 例 3. 求极限 ! lim n n n → n . 解：因为 ! (n 1) 1 1 0 n n n n n n n n − = 又 1 lim 0 n→ n = ，所以由夹逼准则，有 ! lim 0 n n n → n = . 包括上述的重要极限在内，列出一些常用的数列的极限： 1 lim 0 k n→ n = （k>0）， lim 0 n n a → = （ a 1 ）， lim 0 ! n n a → n = （ a R ） lim 1 n n a → = （a>0）， lim 1 n n n → = ， lim 0 ! n n a → n = 【设计意图】为后面的课做好铺垫. ★ 课堂练习 ★ 教学小结 本次课重点： 理解数列极限的通俗定义、数列极限的性质。 本次课难点: 理解数列的收敛准则。 ★ 教学后记
★作业布置 第二次课(2课时) 教学课时分配： 1.基础颅块：函数的极限(1课时)： 2计算能力模块：求极限(1课时). 教学具体内容： ★旧课复习 复习目的：帮助学生们对上节课内容加深印象 复习方式：提月法
★ 作业布置 第二次课（2 课时） 教学课时分配: 1.基础模块：函数的极限（1 课时）； 2.计算能力模块：求极限（1 课时）。 教学具体内容： ★ 旧课复习 复习目的:帮助学生们对上节课内容加深印象 复习方式：提问法
复习内容：数列的极限 ★新课教授 ★基础棋块 二、函数的极限 1,函数极限的定文 由于数列是特殊的函数，所以可将数列极限的内容推广到一元函数 两者的不同之处在干自变量取值的方式不同，前者是具取正整数且无限增 大，后者是在区间上取着所有的点 函数极限的一般概之：定义在区间上的两数∫(x),如果当自变量x在区间上 连续地变化时，函数∫(x)无限接近某一常数A,则称当自变量x在区间上违 续地变化时，f(x)以A为极限。 【设计意图】让学生理解数列极限和函数极限之间的联系，从第一次课靓 自然地过渡到第二次课. 根据自变量取值方式的不同，函数极限主要讨论两类间题：一是自变 量x趋于无穷大时函数的极限，二是白变量x趋于有限值时函数的授限， 1.1白变量趋于无穷大时函数的极限 自变量x趋于无穷大，包括三种情况： x取正值且其值无限增大：→+0， x取负值且绝对值无限增大→ x既可取正值也可取负值且绝对值|x无限增大：现 ()x→+0时，函数极限的定义 遵俗定义：设y=fx)是区间[a,+四)上的函数。A是一常数，如果当自变量 x→+o时，函数f（x)无限接近A,则称当白变量x→0时，八以A为 极限.记作 m国)=A或代d+M(当x→+o)
复习内容：数列的极限 ★ 新课教授 ★ 基础模块 二、函数的极限 1.函数极限的定义 由于数列是特殊的函数，所以可将数列极限的内容推广到一元函数. 两者的不同之处在于自变量取值的方式不同，前者是只取正整数且无限增 大，后者是在区间上取遍所有的点. 函数极限的一般概念：定义在区间上的函数 f x( ) ，如果当自变量 x 在区间上 连续地变化时，函数 f x( ) 无限接近某一常数 A，则称当自变量 x 在区间上连 续地变化时 f x( ) 以 A 为极限 【设计意图】让学生理解数列极限和函数极限之间的联系，从第一次课很 自然地过渡到第二次课. 根据自变量取值方式的不同，函数极限主要讨论两类问题：一是自变 量 x 趋于无穷大时函数的极限，二是自变量 x 趋于有限值时函数的极限. 1.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量 x 趋于无穷大，包括三种情况： x 取正值且其值无限增大 x→+， x 取负值且绝对值|x|无限增大 x→− x 既可取正值也可取负值且绝对值|x|无限增大 x→. ⑴ x → + 时，函数极限的定义 通俗定义：设 y f = (x) 是区间 a,+) 上的函数，A 是一常数.如果当自变量 x → + 时，函数 f x( ) 无限接近 A，则称当自变量 x → + 时，f(x)以 A 为 极限 记作 lim (x) x f A →+ = 或 f(x)→A(当 x → + )
例如，m上-0ime-0 大 +金 (☒X→0时，函数极限的定义 通俗定义：设y=f(x)是区间（一0，@可上的函数。A是一常数，知果当自变量 x→0时，函量f(x)无限接近A,则称当白变量x0时，八以A为 极限，记作 limf(x)=A或fd→◆（当x→-o), 1 例如，1im二=0ime'=0 但是当X→-四时，趋于无穷，极限不存在. (窗x0时，函数极限的定义 通俗定义：设y=fx)是区间(-功，d小Ub∞)(a之0，b>0)上的函数。A 是一常数，如果当自变量x→0时。函数f(x无限按近A,则称当白变量 x→0时，八)以A为极限.记作 limf(x)=A暖八0+4当x→o). 实际上，X→心时函数的极限可理解为是将X→十心和X→力时函数的极 限结合在一起 例如，lim二=0lime'=0 但是对于e,当x→-0时，e趋于无穷，极限不存在，而lim=0, 对于，当x→o时，心趋于无穷，极限不存在，而，m心=0 所以当X→四时，e'和极限都不存在 根帮上述分析，不难得出：imf)=A一imfx)=A且imf(x)=A
例如， 1 lim 0 x→+ x = ， lim 0 x x e − →+ = . ⑵ x → − 时，函数极限的定义 通俗定义：设 y f = (x) 是区间 (−,a 上的函数，A 是一常数.如果当自变量 x → − 时，函数 f x( ) 无限接近 A，则称当自变量 x → − 时，f(x)以 A 为 极限 记作 lim (x) x f A →− = 或 f(x)→A(当 x → − ) 例如， 1 lim 0 x→− x = ， lim 0 x x e →− = . 但是当 x → − 时， x e − 趋于无穷，极限不存在. ⑶ x → 时，函数极限的定义 通俗定义：设 y f = (x) 是区间 (− + , , a b ) （ a b 0, 0 ）上的函数，A 是一常数.如果当自变量 x → 时，函数 f x( ) 无限接近 A，则称当自变量 x → 时，f(x)以 A 为极限 记作 lim (x) x f A → = 或 f(x)→A(当 x → ) 实际上， x → 时函数的极限可理解为是将 x → + 和 x → − 时函数的极 限结合在一起. 例如， 1 lim 0 x→ x = ， lim 0 x x e →− = . 但是对于 x e − ，当 x → − 时， x e − 趋于无穷，极限不存在，而 lim 0 x x e − →+ = . 对于 x e ，当 x → + 时， x e 趋于无穷，极限不存在，而 lim 0 x x e →− = . 所以当 x → 时， x e − 和 x e 极限都不存在. 根据上述分析，不难得出： lim (x) lim (x) x x f A f A → →+ = = 且 lim (x) x f A →− =
【设计意图】这个结论后面会用得到，正反例的对比能让学生印象更深 1.2白变量热于有限值时函数的极限 1)通俗定义： 设函数y=(x)在点a的某去心领城内有定义，A是常数，知果当x无限 接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A则称当→。时，(x)以A 为极限.记作 mù4或f)→4（当1. 前面白变量x趋于无穷大封函数的极限就白变量x的变化趋势分为x→+@时 函数的极限和x)一©时函数的极限，从坐标系看就是自变量x向右和向左违 续、无限地变化而现在的自变量x同样有两种变化趋势：向右和向左.不同之 处在于：趋干无穷大时，x是发散的：趋于有限值时，x是收敛、集中的， 从坐标系看前者是x向左右两边扩张，后者是x从左右两边向4点靠近， 【设计意图】通过解释这两者的联系，自燃过渡到左、右极限，让学生容易接 受和理解 份单侧极限： 自变量x的变化趋势，包括两种情况： x从五的左侧（即小于）无限接近卷：→ x从五的右侧（即大于）无限接近局：+ 左极限的通俗定义：若当→时，八功无限接近于某常数A则常数A叫做函 数风动当x→时的左极限，记为mfx)-A或风x,）4. 右极限的通俗定义：若当→%时，》无限接近于某常数A则常数A叫做函 数当x◆时的右极限，记为mx=A或f具x). 左极限与右极限统称为函数的单侧极限，它与函数极限的美系如下：
【设计意图】这个结论后面会用得到，正反例的对比能让学生印象更深. 1.2 自变量趋于有限值时函数的极限 ⑴通俗定义 设函数 y f = (x) 在点 a 的某去心领域内有定义，A 是常数.如果当 x 无限 接近于 x0 时 函数 f x( ) 的值无限接近于常数 A 则称当 x→ 0 x 时 f x( ) 以 A 为极限 记作 0 lim x→x f(x) A 或 f x( ) →A(当 x→ 0 x ) 前面自变量 x 趋于无穷大时函数的极限就自变量 x 的变化趋势分为 x → + 时 函数的极限和 x →− 时函数的极限，从坐标系看就是自变量 x 向右和向左连 续、无限地变化.而现在的自变量 x 同样有两种变化趋势：向右和向左.不同之 处在于：趋于无穷大时，x 是发散的；趋于有限值 a 时，x 是收敛、集中的， 从坐标系看前者是 x 向左右两边扩张，后者是 x 从左右两边向 a 点靠近. 【设计意图】通过解释这两者的联系，自然过渡到左、右极限，让学生容易接 受和理解. ⑵单侧极限 自变量 x 的变化趋势，包括两种情况： x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0 x→x0 − x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0 x→x0 + 左极限的通俗定义：若当 x→x0 − 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函 数 f(x)当 x→x0 时的左极限 记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 或 f( 0 x −)→A . 右极限的通俗定义：若当 x→x0 + 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函 数 f(x)当 x→x0 时的右极限 记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 或 f( 0 x +)→A 左极限与右极限统称为函数的单侧极限，它与函数极限的关系如下：
