第三章多维随机变量及其分布 一、地择题 1、(悬)授随机变量X与Y相互独立，它们的概率密度分别为厂x(x),(y),X,门的概 率密度为判 A+0咧 B f(x)+f(y) c) D.f(x(y) 2、(易)设二推随机变量(X)-N4,G,a2p列，则(） AN4,可) B.N(马，G) C.N() D.N() 3、(易)设二推随机变量化，门服从区域D:x2+ys1上的均匀分布。则(K)的概率密度 为() B.f(x,y)= 1 (x.y)ED. A.在， 其他 c. (x.y)ED. D.f(x,y)= 0 其他 4、(中等)设二崔面机变量(K》的概率密度为(x,功= 0cx<2,0cy<2 其他 则P0X<1,0<<1=() B. D.I 5、(较难)设随机变量X。Y相互独立，其联合分布为 则有()
1 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率密度分别为 ( ), ( ) X Y f x f y ，则(X，Y)的概 率密度为( ) A． 1 ( ) ( ) 2 X Y f x f y + B. ( ) ( ) X Y f x f y + C. 1 ( ) ( ) 2 X Y f x f y D. ( ) ( ) X Y f x f y 2、（易）设二维随机变量 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , , , , ) X Y N ,则 X~（ ） A. 2 1 1 N( , ) B. 2 2 1 N( , ) C. 2 1 2 N( , ) D. 2 2 2 N( , ) 3、（易）设二维随机变量(X，Y)服从区域 D：x 2+y2≤1 上的均匀分布，则(X，Y)的概率密度 为（ ） A. f(x，y)=1 B. 1 ( , ) 0, x y D f x y = ，（ , ） , 其他 C. f(x，y)= 1 D. 1 ( , ) 0, x y D f x y = ，（ , ） , 其他 4、（中等）设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f (x，y)= 0, , , 0 2,0 2; 4 1 其他 x y 则 P{0<X<1，0<Y<1}=（ ） A． 4 1 B． 2 1 C． 4 3 D．1 5、（较难）设随机变量 X，Y 相互独立，其联合分布为 则有（ ）
A.a=gB= ca时- 6、(中等)设二维随机变量(X门的联合分布函数为F(工y其联合概率分布律为 0 2 X 02 0.1 0.1 0 0 03 2 0.1 0 02 则F(0,1)=() A.0.2 B.0.6 C.0.7 D.0.8 7.(中等)设二维随机变量X了的分布律为 2 1/0 2/10 2/10 310 1/10 1/10 则PXY=2=( 10 c 暗 8、(易)设二雄随机变量(X,)的分布函数为Fx,列，则F气x,+)。() A.0 B.Fx(x) C.F(y) D.1 9、较难)设二推随机变量(X,Y)的概率密度为八，功，测P:X>1可) A「Cfx,y B广"fxy c.∫fxt D广f达 二、填空题
2 A． 9 2 , 9 1 = = B． 9 1 , 9 2 = = C． 3 2 , 3 1 = = D． 3 1 , 3 2 = = 6、（中等）设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F( x y, ). 其联合概率分布律为 Y X 0 1 2 -1 0.2 0.1 0.1 0 0 0.3 0 2 0.1 0 0.2 则 F（0,1）=（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 7．（中等）设二维随机变量 X,Y 的分布律为 X Y 1 2 3 1 2 1/10 3/10 2/10 1/10 2/10 1/10 则 P{XY=2}=( ) A． 1 5 B. 3 10 C. 1 2 D. 3 5 8、（易）设二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数为 F(x, y) ，则 F(x , + ) = （ ） A．0 B． F (x) X C． F ( y) Y D．1 9、(较难) 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为 f (x，y)，则 P{X>1}=( ) A. + − − dx f (x, y)dy 1 B. + − + dx f (x, y)dy 1 C. − 1 f (x, y)dx D. + 1 f (x, y)dx 二、填空题
10、(离)设随机变量X相独立，且P4宁，VS-子则P1EI一 1、(哥)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F化，则F(-,-D)= 12.(中等)设二排随机变量X门的分布函数为F黑)= 0-e0-e>0y>0则 0 其他 当0时，X的边撞分布函数Fx户 13、(布)设随机变量(X)服从区城D上的均匀分布，其中区域D是直线)-x,x-】和x 轴所圆成的三角形区线，则(XY)的概率密度fxy厂 14、(中等)设二推随机变量(X,Y)的分布律为 0 02 0.1 0.15 则Px<LYs2}= 03 0.150.1 15、,(中等)设二维随机变量(X。门的概率密度了：户 L0sxsL0≤y1,则 0.其他. PX+1= 16、(中等)设随机变量X和Y相互数立，它们的分布律分别为 出出 0 ,则P+Y- 17,(易)若二推随机变量C优Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区城[1x2,3y<4 内的概率为 18、(中等)设二推随机变量面XY的分布律为 5 1 0 ,则PXY-0- 4 6 2 3 19、(中等》设二雄随机变量(X,Y)的概率密度为 3
3 10、（易）设随机变量 X，Y 相互独立，且 P{X≤1}= 2 1 ，P{Y≤1}= 3 1 ，则 P{X≤1,Y≤1}=___. 11、（易）设二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数为 F(x, y) ，则 F( , ) − − = ______. 12、（中等）设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 − − = − − 0, , (1 e )(1 e ), 0, 0, ( , ) 其他 x y F x y x y ， 则 当 x>0 时, X 的边缘分布函数 FX(x)=__________. 13、（难）设随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中区域 D 是直线 y=x，x=1 和 x 轴所围成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度 f(x,y)= ________________． 14、（中等）设二维随机变量（X，Y）的分布律为 则 PX 1,Y 2= ______. 15、（ 中等） 设二维随机变量(X ，Y) 的概率密度 f (x,y)= ， ， x y 0, 其他 1 0 1, 0 1, ， 则 P{X+Y≤1}=____. 16、（中等）设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们的分布律分别为 ， ，则 PX + Y =1= ________. 17、（易）若二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)则随机点落在矩形区域[1《<x<2,3<y<4] 内的概率为________________________________________ . 18、（中等）设二维随机变量(X,Y)的分布律为 ，则 P{XY=0}=__________. 19、（中等）.设二维随机变量(X,Y）的概率密度为 Y X 1 2 3 0 0.2 0.1 0.15 1 0.3 0.15 0.1 Y X 0 5 0 4 1 6 1 2 3 1 4 1 X -1 0 1 P 3 1 12 3 12 5 Y -1 0 P 4 1 4 3
8xy,0≤x≤y≤1 /(x,y)= 0 其他 随机变量Y的边缘概率密度，)在y=号处的值等于 三、计算题 20、(中等)袋中有五个号码1,2,3,4,5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码 为X,最大的号码为Y (1)求X与Y的联合概率分布1 (2)求美于X和关于Y的边峰分布： (3)X与Y是否相互独立？并说明理由。 21、(较难)段随机变量X与了相互粒立，且X,Y的分布律分别为 试求：(1)二推随机变量(X,了)的分布律：(2)随机变量Z一了的分布律 22、(难)设二雄随机变量(X,Y)的概率密度为 ery,0sxs20sys2 f八x,y)= 0 其他 求：(1)常数G (2)求(K,Y)分别关于X,Y的边峰密度fx(,贴 (3)判定X与了的黎立性。并说明理由 (4)求PX+Y<2 23、(较难)设随机变量（化，）的分布函数为Fx,)-AB+arctanXC+arctan台)， 试求：(1)常数A,B.C (2)试问X与Y是否鞋立，并说明理由： (3)求X与Y的联合概率密度函数。 4
4 随机变量 Y 的边缘概率密度 ( ) y f y 在 1 2 y = 处的值等于__________。 三、计算题 20、（中等）袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码 为 X，最大的号码为 Y. （1） 求 X 与 Y 的联合概率分布； （2） 求关于 X 和关于 Y 的边缘分布； （3） X 与 Y 是否相互独立？并说明理由 。 21、（较难）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X，Y 的分布律分别为 X 0 1 Y 1 2 P 4 1 4 3 P 5 2 5 3 试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量 Z=XY 的分布律. 22、（难）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 求：（1）常数 c; （2）求（X，Y）分别关于 X，Y 的边缘密度 f (x), f ( y); X Y （3）判定 X 与 Y 的独立性，并说明理由； （4）求 P X +Y 2. 23、（较难）设随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 ( , ) ( arctan )( arctan ) 2 3 x y F x y A B C = + + ， 试求：（1）常数 A、B、C （2）试问 X 与 Y 是否独立，并说明理由？ （3）求 X 与 Y 的联合概率密度函数。 = 0, . , 0 2,0 2; ( , ) 其他 cxy x y f x y
24、(难)设二推随机变量(X,)的概率密度为 = k(6-x-y) 00,y>0 其他 求：(1)(X.)关于X,了的边缘概半密度f,x.): (2)判断随机变量X与Y是香鞋立？ 26、(较难)设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在心习上服从均匀分布，Y的概率密 度为厂)= 5e",y>0 0,y≤0. 求(1)X和Y的联合概率密度f(x,y） P>Y)
5 24、（难）设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 ( ) (6 0 2,2 4 ) , 0 k x y x y f x y − − = 求： （1）常数 k； （2） ( , ) X Y 关于 X,Y 的边缘概率密度 ( ), ( ) X Y f x f y ； 25、(较难）设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 ( ) (2 3 ) 6 0, 0 , 0 x y e x y f x y − + = 求： （1） ( , ) X Y 关于 X,Y 的边缘概率密度 ( ), ( ) X Y f x f y ； （2）判断随机变量 X 与 Y 是否独立？ 26、（较难）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在[0，5]上服从均匀分布，Y 的概率密 度为 5 5 , 0; ( ) 0, 0. y Y e y f y y − = ， 求(1)X 和 Y 的联合概率密度 f x y ( , ) . (2) P X Y 其他 其他