附件1： 在高等数学教学中融入数学建模的方法举例 一、建模思想在概念讲授中的渗透 从广义上说，高等数学课本中的函数、极限、导数、积分、级数等概念都是 从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。我们在教学中应 从它们的实际“原型”和学生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出来，使学 生感到课本里的概念不是硬性规定的，而是与实际生活有密切联系的，因此，在 讲授有关概念时，应尽量结合实际，设置适宜的问题情境，提供观察、实验、操 作、猜想、归钠、验证等方面的丰富直观的背景材料，引导学生参与教学活动， 例如，在引入导数的概念时，需要让同学们领会导数的本质就是相对变化率的极 限，就可以多结合实际问题，建立数学模型，使学生加深了对概念本质的理解， 教学中除了引用经典的例子，如平面曲线的切线斜率、变速直线运动的屏时速度 外，还可以引入经济模型中的成本变化率、需求量对价格的弹性，人口模型中的 出生率，死亡率等常见的实际问题。通过对画这些实际原型并从中蹄选有用的信 息和数据，建立数学模型，进而解决问题。根据课前顶留作业，对学生进行提问。 在实际生活中找到娜些关于变化事的实例。 学生(A1):股票在一天当中某个时间段内的涨跌，可看做是关于时间的变 化率。 学生(2)：近几年房价“暴灌”是不是变化率问题呢？ 学生(3)：二氧化碳的排放引起的温室效应，气温的升高是不是符合时间 的变化率呢？ + 此时，教师就沿着这一发现来学习导数的概念，从具体的实例抽象出导数的 定义。 通过房价“暴涨”，股指“跳水”、气温“陡升”、儿时的游戏和物理学典故 等贴近学生、贴近生活、贴近教材的实例。让学生感知客观世界中存在着变化快 慢不同的现象，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自
附件 1： 在高等数学教学中融入数学建模的方法举例 一、建模思想在概念讲授中的渗透 从广义上说，高等数学课本中的函数、极限、导数、积分、级数等概念都是 从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。我们在教学中应 从它们的实际“原型”和学生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出来，使学 生感到课本里的概念不是硬性规定的，而是与实际生活有密切联系的。因此，在 讲授有关概念时，应尽量结合实际，设置适宜的问题情境，提供观察、实验、操 作、猜想、归纳、验证等方面的丰富直观的背景材料，引导学生参与教学活动。 例如，在引入导数的概念时，需要让同学们领会导数的本质就是相对变化率的极 限，就可以多结合实际问题，建立数学模型，使学生加深了对概念本质的理解。 教学中除了引用经典的例子，如平面曲线的切线斜率、变速直线运动的瞬时速度 外，还可以引入经济模型中的成本变化率、需求量对价格的弹性，人口模型中的 出生率、死亡率等常见的实际问题。通过对照这些实际原型并从中筛选有用的信 息和数据，建立数学模型，进而解决问题。根据课前预留作业，对学生进行提问， 在实际生活中找到哪些关于变化率的实例。 学生（A1）：股票在一天当中某个时间段内的涨跌，可看做是关于时间的变 化率。 学生（A2）：近几年房价“暴涨”是不是变化率问题呢？ 学生（A3）：二氧化碳的排放引起的温室效应，气温的升高是不是符合时间 的变化率呢？ …… 此时，教师就沿着这一发现来学习导数的概念，从具体的实例抽象出导数的 定义。 通过房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”、儿时的游戏和物理学典故 等贴近学生、贴近生活、贴近教材的实例，让学生感知客观世界中存在着变化快 慢不同的现象，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自
然形成，这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处 处蕴含着数学化的知识，从而探究得到用平均变化率来刻画这种快慢程度。 引例1 模型：自由落体变速直线运动的瞬时速度 提出问题：设有一物体在作变速运动，如何求它在任一时刻的髯时速度？ 建立模型： 引入导数概念 除此之外，还有边际成本、边际利润等实际问圈的例子。 又如：定积分定义的教学 问题的引入 学生当中有许多来白农村，家里都承包了土地，这就遇到一个很现实的问题， 土地的划分问题。在实际操作当中，主要是采取近似划分的原则，对不规则土地 (曲边梯形)采用一边中点近似法或者将土地先划分为规则区域进行面积计算， 然后再告算不规则区域面积，最后累加算出总面积。由第二种方法引出如何求曲 边梯形的面积问题。 又如：在讲授二重积分定义时以“飞机机翼的质量间题”为实例提出。 与此类似的还有曲线积分和曲面积分概念的引入都可以找到具体的实例提 出 另外，在讲微分方程时我们可先讲述一个具体实例：人口增长模型，我们通 过建立模型将其归纳到数学的微分方程上，并用已学的知识求解，让学生既看到 微分方程的作用，又能增强迎味性 二、建棋思想在定理教学中的津透 高等数学中定理的证明是教学过程的一大难点，学生初学起来较为图难。因 此，在教学中让学生能在一定程度上了解所学知识的来龙去脉及历史渊源，把定 理的结论看作是一个特定的模型，需要我们去建立它。于是，当把定理的条件看 作是模型的假设时，即可根据预先设置的问题情景引导学生一步一步地发现定理 的结论
然形成，这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处 处蕴含着数学化的知识，从而探究得到用平均变化率来刻画这种快慢程度。 引例 1 模型： 自由落体变速直线运动的瞬时速度 提出问题：设有一物体在作变速运动，如何求它在任一时刻的瞬时速度？ 建立模型： 引入导数概念 除此之外，还有边际成本、边际利润等实际问题的例子。 又如：定积分定义的教学 问题的引入 学生当中有许多来自农村，家里都承包了土地，这就遇到一个很现实的问题， 土地的划分问题。在实际操作当中，主要是采取近似划分的原则，对不规则土地 （曲边梯形）采用一边中点近似法或者将土地先划分为规则区域进行面积计算， 然后再估算不规则区域面积，最后累加算出总面积。由第二种方法引出如何求曲 边梯形的面积问题。 又如：在讲授二重积分定义时以“飞机机翼的质量问题”为实例提出。 与此类似的还有曲线积分和曲面积分概念的引入都可以找到具体的实例提 出。 另外，在讲微分方程时我们可先讲述一个具体实例：人口增长模型，我们通 过建立模型将其归纳到数学的微分方程上，并用已学的知识求解，让学生既看到 微分方程的作用，又能增强趣味性。 二、建模思想在定理教学中的渗透 高等数学中定理的证明是教学过程的一大难点，学生初学起来较为困难。因 此，在教学中让学生能在一定程度上了解所学知识的来龙去脉及历史渊源，把定 理的结论看作是一个特定的模型，需要我们去建立它。于是，当把定理的条件看 作是模型的假设时，即可根据预先设置的问题情景引导学生一步一步地发现定理 的结论
比如：零点定理 案例1、椅子能在不平的地面上放稳？ 案例2、登山问题。 问题提出：张三某天上午九点由泰山的山脚出发，沿一条路上山，下午六点到 达山顶，第二天他在上午九点由素山的山顶出发，沿原路行走，下午六点返回山 脚。此时，李四说“：张三一定在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点”， 试解释理由。 三、建模思想在习题课中的漆透 习题课是培养学生应用能力的重受环节，传统的习题课教学，一般只讲授数 材设置的习题，涉及应用方面的问题较少，即使有，也是一些条件充分，答案确 定的问题，这对培养学生的创新能力不利。为此，应适当选编一些好的实际问题 作为示例，给学生自已发现问题、并用所学数学知识来解决它。 可以把课本中的例题或习题政编成应用问题利用课本中已有的纯数学问题， 结合日常生活中的一些实际问题进行改编，然后在教学中应用相应的数学知识和 数学方法进行建模。 比如：学完函数的极限运算法则后，提出分针时针的重合句题，然后引导学 生按照数学建模的方式来解决这个问圈。 大家都知道，一天之中零点和12点分针和时针是重合的，除此之外，分针 时针还有几次重合？具体在什么时间呢？关于这个问题，每个同学在生活中都遇 到过，答案是什么，如何说明呢？ 四、结合专业特色，引入建模案例 在高等数学教学中融入数学建模案例。需要考虑到学校专业背景特点，可以 使学生在学习数学过程中更有针对性，有助于激发学生学习数学的话力。 案例1：两辆汽车的间距问题。 问题提出：高速公路上行驶的汽车，要保持一定车距，以防止追尾撞车等事故 发生：但又要保持一定高速度，以提高车流量，使道路畅通。试确定能使车流量为 最大的车速，又问此时在某个定点处每小时能通过多少车辆？
比如：零点定理 案例 1、椅子能在不平的地面上放稳？ 案例 2、登山问题。 问题提出:张三某天上午九点由泰山的山脚出发,沿一条路上山,下午六点到 达山顶,第二天他在上午九点由泰山的山顶出发,沿原路行走,下午六点返回山 脚。此时,李四说“: 张三一定在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点”, 试解释理由。 三、建模思想在习题课中的渗透 习题课是培养学生应用能力的重要环节。传统的习题课教学，一般只讲授教 材设置的习题，涉及应用方面的问题较少，即使有，也是一些条件充分，答案确 定的问题，这对培养学生的创新能力不利。为此，应适当选编一些好的实际问题 作为示例，给学生自已发现问题、并用所学数学知识来解决它。 可以把课本中的例题或习题改编成应用问题利用课本中已有的纯数学问题， 结合日常生活中的一些实际问题进行改编，然后在教学中应用相应的数学知识和 数学方法进行建模。 比如：学完函数的极限运算法则后，提出分针时针的重合问题，然后引导学 生按照数学建模的方式来解决这个问题。 大家都知道，一天之中零点和 12 点分针和时针是重合的，除此之外，分针 时针还有几次重合?具体在什么时间呢? 关于这个问题，每个同学在生活中都遇 到过，答案是什么，如何说明呢? 四、结合专业特色, 引入建模案例 在高等数学教学中融入数学建模案例,需要考虑到学校专业背景特点,可以 使学生在学习数学过程中更有针对性,有助于激发学生学习数学的活力。 案例 1:两辆汽车的间距问题。 问题提出:高速公路上行驶的汽车,要保持一定车距,以防止追尾撞车等事故 发生;但又要保持一定高速度,以提高车流量,使道路畅通。试确定能使车流量为 最大的车速,又问此时在某个定点处每小时能通过多少车辆？
五、数学建模思想融入高等数学过程中应注意的问题及建议 1),坚持方向，树立信心，努力将数学建模的思想融入到高等数学课堂教学 中去。 2).明确是将数学建模的思想融入数学课程，而不是用“数学模型”或“数 学实验”课的内容抢占各个数学课程的阵地 3)。数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的数学内容有机地 结合，充分体现数学建模思想的引领作用。 4)。为了避免占用过多的学时，加重同学负担，对每一门数学课程爱精选融 入的数学建模内容。 六、几点建议 教师在速样一些经典的或新创的模型作为高等数学课堂教学补充材料时，应 要做到浅显化、生活化、趣味化、应用化 浅显化：高等数学课堂上所引用的数学模型不能太难太复杂，否则无异于雪 上加霜，学生更加难消化知识。只有浅显的模型（或案例），才有利于辅助教学， 达到催化、助推的作用。 生活化：引用生活中的一些模型，可增加亲近感，诱发学生学习的原动力。 如电影票定价问题， 趣味化：当学生认为高等数学知识很枯燥时，可引入有趣味的模型来进行调 剂。如学习导数应用时，以包饺子模型为例，学生兴趣倾生，课堂气氛焕然一新 应用化：尽量结合生产生活实际，把高等数学知识通过建模与实际应用紧密 联系起来，让学生切身感受数学的应用性，如讲导数应用时引入易拉罐的优化设 计模型。 对精微复杂一点的案例问题可以作为大作业留给学生课外完成，如： 1)、贷款买房方案的选择 如今，买房问愿是每个家庭都要考虑的问题，但是对于大多数人来说，房款 数额较大，需要贷款买房。但是贷款买房合适不合适？贷多少款？贷多长时间为 好？这是我们必须考虑的问圈。请大家通过建立数学模型来回答这个问题
五、数学建模思想融入高等数学过程中应注意的问题及建议 1)．坚持方向，树立信心，努力将数学建模的思想融入到高等数学课堂教学 中去。 2)．明确是将数学建模的思想融入数学课程，而不是用“数学模型” 或“数 学实验”课的内容抢占各个数学课程的阵地。 3). 数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的教学内容有机地 结合，充分体现数学建模思想的引领作用。 4). 为了避免占用过多的学时，加重同学负担，对每一门数学课程要精选融 入的数学建模内容。 六、几点建议 教师在选择一些经典的或新创的模型作为高等数学课堂教学补充材料时，应 要做到浅显化、生活化、趣味化、应用化。 浅显化：高等数学课堂上所引用的数学模型不能太难太复杂，否则无异于雪 上加霜，学生更 加难消化知识。只有浅显的模型（或案例），才有利于辅助教学， 达到催化、助推的作用。 生活化：引用生活中的一些模型，可增加亲近感，诱发学生学习的原动力。 如电影票定价问题。 趣味化：当学生认为高等数学知识很枯燥时，可引入有趣味的模型来进行调 剂。如学习导数应用时，以包饺子模型为例，学生兴趣顿生，课堂气氛焕然一新。 应用化：尽量结合生产生活实际，把高等数学知识通过建模与实际应用紧密 联系起来，让学生切身感受数学的应用性。如讲导数应用时引入易拉罐的优化设 计模型。 对稍微复杂一点的案例问题可以作为大作业留给学生课外完成，如： 1)、贷款买房方案的选择 如今，买房问题是每个家庭都要考虑的问题，但是对于大多数人来说，房款 数额较大，需要贷款买房。但是贷款买房合适不合适？贷多少款？贷多长时间为 好？这是我们必须考虑的问题。请大家通过建立数学模型来回答这个问题
2)、存贮费用优化问题 请你到我市或你家乡所在地区调查一下仓储费用与存储量之间的数据关系。 仓储原料或货物，对于金业、商业流通部门都是不可少的。存贮量过多导致占用 资金过多、仓储费用过高等问题。而存贮量太少可导致存贮批次增多而增加订货 费用等，可能造成的缺货，还会造成经营的损失。只考虑订货费与存贮费的情况 下如何使总费用最少？其中订货费用指每订一批货需付出的费用，与订货的多少 无关。而存贮费用与货物量及存贮时间成正比。 3)、新产品促销的问题 一种新产品面此，厂家和商家总是采取各种措随促进销售，他们希望对这 种新产品的推销速度做到心中有数，以便组织生产或安排进货。现设电饭煲刚出 现时消费者对其不甚了解，慢慢有一部分人使用过后觉得很方便，向周围的人宜 传，从而吸引尚未购买的顺客，怎样对电饭煲的销量进行预测。 高等数学A课程组 2014年7月7日
2)、存贮费用优化问题 请你到我市或你家乡所在地区调查一下仓储费用与存储量之间的数据关系。 仓储原料或货物，对于企业、商业流通部门都是不可少的。存贮量过多导致占用 资金过多、仓储费用过高等问题。而存贮量太少可导致存贮批次增多而增加订货 费用等，可能造成的缺货，还会造成经营的损失。只考虑订货费与存贮费的情况 下如何使总费用最少？其中订货费用指每订一批货需付出的费用，与订货的多少 无关。而存贮费用与货物量及存贮时间成正比。 3)、新产品促销的问题 一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，他们希望对这 种新产品的推销速度做到心中有数，以便组织生产或安排进货。现设电饭煲刚出 现时消费者对其不甚了解，慢慢有一部分人使用过后觉得很方便，向周围的人宣 传，从而吸引尚未购买的顾客，怎样对电饭煲的销量进行预测。 高等数学 A 课程组 2014 年 7 月 7 日