试卷代号：2437 座位号■■ 国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放专科”期末考试 微积分基础 试题 2016年1月 题 号 二 三 四 总 分 分数 附表 导数基本公式： 积分基本公式： (c)'=0 Odx=c (x")'=ax1 ∫rd=+ca≠1D (a)'=a2lna(a>0且a≠1) ∫a*dk=品a+ca>0且a≠1) (er)'=e' edx =e*+c (logx)'=1(a>0且a≠1) rIna (lnx)'= x ∫=alz+c (sinr)'=cosx sinxdx=-cosx十c (cosx)'=-sinx cosxdx sinx+c (tanz)'=-1 1 J cos2x -dz tanx+c cos2x (cotx)'=-,1 sin2x 1dz=-cota +c 1050
试卷代号 :2437 座位号仁口 国家开放大学(中央广播电视大学)2015 年秋季学期"开放专科"期末考试 附表 1050 微积分基础试题 E 导数基本公式: (C)' =0 (x')' x' (a Z )' lna(a > 手1) (eZ )' = eI (1 0ω'=J (a> 手1) xlna (1nx)' =.1 Z (sinx)' =cosx (cosx)' = - sinx (tanx)' = _1_.__ cos- x (coωι sln- x 2016 积分基本公式: j a+1 x'dx 王-一 +c( 手-1) Jazdx= 严二十 c( α>0 #- 1) lna f ! dx =ln I x f sir吵一cosx +c f cosxdx = sinx + c J dz=tanz+C cos j ;;izzdz=-cotz
得分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.函数f(x)=n(z十D十4-x的定义域是()： A.(-1,4) B.(-1,0)U(0,4] C.(-1,4] D.(-1,0)U(0,4) 2.若函数f(x)在点xo处可导，则( )是错误的· A.函数f(x)在点x,处有定义 B.函数f(x)在点x。处连续 C.limf(x)=A,但A≠f(xo) D.函数f(x)在点xo处可微 3.下列函数在指定区间（一o,+0)内单调增加的是(）. A.sinx B.3-x C.x2 D.e 4.下列等式成立的是( A.df(z)=f(x) B.df(z)dz=f(x) C.f(x)dr=f(x) D.&∫fx)dk=fe) 5.微分方程y=0的通解为(). A.y=c B.y=cx C.y=x十c D.y=0 得 分 评卷人 二、填空题（每小题4分，本题共20分） 6.函数f(x+1)=x2+2x-2,则f(x)= 8.曲线y=x音在点(1,1)处的切线方程是 9.若fx)dx=F(x)+c,则xf(1-x2)dz= l0.微分方程xys)十(y)sinx=e+y的阶数为 1051
|得分|评卷人| | 一、单项选择题{每小题 分，本题共 20 分} 1.函数 fω= +';4 言的定义域是( ). ln(x + 1) A. (-1 ，的 C. (-1 ,4J 2. 若画数 f(x) 在点 Xo 处可导，则( A. 函数 f(x) 在点 Xo 处有定义 C. limf(x) =A #- f(xo) %-.%0 B. (一 0) U (0 ,4J D. (- 1 , 0) U (0 ，的 〉是错误的. B. 函数 f( 。在点 Xo 处连续 D. 函数 f(x) 在点 Xo 处可微 3. 下列函数在指定区间 (-00 +∞)内单调增加的是( ). A. sinx B. 3 - x C. x 2 D. e 4. 下列等式成立的是( ). A. c. f )d由臼x=f(xυ) D. fxf f ω dx=f ω 5. 微分方程 y'=0 的通解为( A. y=c B. y= α C. y=x+c D. y=O |得分|评卷人| | 二、填空题{每小题 分，本题共 20 分) 6. 函数 f(x + 1) =x2 + 2x - ，则 f(x) = 7.limzsin i= x-o X 8. 曲线 y=x一专在点 ，1)处的切线方程是 ff(x)dx =F(x) +c fO- X2 )dx = 10. 微分方程 xy(S) (y' )4 sinx = X+ 的阶数为 1051
得分 评卷人 三、计算题（本题共44分，每小题11分） x2-4 1.计算极限imx二6x十8 12.设y=3x+cose,求dy. 13.计算不定积分 sindx. √E 14.计算定积分 xlnxdz. 得 分 评卷人 四、应用题（本题16分） 15.用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 1052
|得分|评卷人| | 三、计算题{本题共 44 分，每小题 11 分} 11. 计算极限lim. -4 :;'~-i x' - 6x + 8 12. y=3 se dy. 13 计时积分 dx 14 计算定积分J: xlnxdι 四、应用题{本题 16 分} 15. 用铜板焊接一个容积为 旷的底为正方形的元盖水箱，已知铜板每平方米 10 元，焊接 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低?最低总费是多少? 1052
试卷代号：2437 国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放专科”期末考试 微积分基础 试题答案及评分标准 (供参考) 2016年1月 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.B 2.C 3.D 4.D 5.A 二、填空题（每小题4分，本题共20分） 6.x2-3 7.0 8y=-合红+含 9.-F1-)+c 10.5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） 1.解：原式=四二2+号-四+当导=-2 +2(x-4)(x-2) 2x一4 11分 12.解：y=3rln3一sine2·e 9分 dy=(31n3-e*sine)dx 11分 1a解0dr=2到in=-2 2co/+: 11分 4.解：小xlnzdr-22lx-2dr-e-e+子-e2+ 11分 1053
试卷代号 :2437 国家开放大学(中央广播电视大学 )2015 年秋季学期"开放专科"期末考试 微积分基础 试题答案及评分标准 (供参考) 一、单项选择题{每小题 分，本题共 20 分} 1. B 2. C 3.D 二、填空题{每小题 分，本题共 20 分} 6. x 2 - 3 7. 0 1 , 3 8. y= 一 2 :x+-- . 2 一卡(1 -x +c 10. 5 三、计算题(本题共 44 分，每小题 11 分} 4. D (x - 2) (x + 2) ,.... x + 2 1.解:原式 =lim'''''''' 44/'"'" I L.I /=lim 一一一 =-2 :;'-~-i (x - 4) (x - 2) • i x-4 12. :y' = 3x ln3 - sine • e dy = (3I ln3 - eXsineX)dx 13 :jEjf =2fs川在) =-2cos-vlx +c 2016 5.A r e _.1-_..1__ 1 _2 1- __le 1 r e x 2 ..1___ 1.2 1_2 I 1 _ 1.2 I 1 14. 解: I xlnxdx 一~ x 2 J 1 - ---- -- 2 - 1nx ---- 11 一一2 J 1 ~dx X = 2 ~ - 一--=-4 - 十一. 4 4 =-e 十一 11 11 11 11 1053
四、应用题（本题16分）】 15.解：设水箱的底边长为x(m),高为(m),表面积为S(m),且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+16, S'(x)=2x-19 ? 令S(x)=0,得x=2, 10分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x=2(m),h=1(m)时水箱的表面积最 小. 此时的费用为S(2)×10+40=160(元) 16分 1054
四、应用题{本题 16 分} 15. 设水箱的底边长为 x(m). 离为 h(m) 表面积为 S(m勺，且有 h=JLx- 16 所以 S(x) =X 4xh =X 十一，Z 16 5' (x) =2x 一一z S' (x) =0. =2 , 10 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 = 2(m).h = 1( m) 时水箱的表面积最 此时的费用为 S(2) X 10 + 40 = 160( 元) 16 1054
