试卷代号：1087 座位☐ 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试 数学分析专题研究试题（半开卷）】 2014年7月 题 号 三 四 总分 分数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共计20分） 1.卫知)-会x,则e)=( ) A.sinx B.cosx C.e D.Inz 2,∫sin2 od=( A.1 B.-1 C.0 D.oo 3.设lima=a,则存在自然数N,当n>N时，有() A.aa C.a=a D.a-1<a,<a+l 4.已知fx)在点a可导，limn[f(a-+)-fa-}]=( ) A.2f(a) B.f(a) C.0 D.jf(a) 5.已知函数f(x)是(a,b)上可导函数，且|f(x)川≤1，则f(x)在(a,b)上() A.连续 B.间断 C.有界 D.可能无界 447
得分 评卷人 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.R是集合X上的关系，称R是反身的是指 7.lima.≠a当且仅当存在e>0, 8.函数f(x)=x2在点（一1,1）的切线方程是 9.(cos晋+isin晋)'= 10.y=f(x)在点x。可导，则其微分dy= 得分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分） 1山.求顶点在坐标原点的能面号+兰-系=0与平面：=b所围成的维体的体积V 2 12.已知x,y满足：x-2y+7≥0,4x-3y-12≤0，x+2y-3≥0.求f(x,y)=x2+y2的 最大值。 得分 评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分】 13.若>0，则-言女<siu<x 14.设A,B,C是三角形三内角，则 sinA+sinB+sinC≤E 448
试卷代号：1087 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试 数学分析专题研究 试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2014年7月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 二、填空题（每小题4分，共20分】 6.Vx∈X,有xRx 7.对于任意的N,3no>N使|a,-a≥eo 8.y+2x+1=0 9.-1 10.f(x。)dx 三、计算题（每小题15分，共30分】 11.解：任取之∈(0，b),过点(0,0，z)作垂直于x轴的平面截面为圆，其方程为 +y-景 (7分) 该圆的面积S(x)=x 62, (10分) (15分) 12.解：解方程组 x-2y+7=0x+2y-3=04x-3y-12=0 4x-3y-12=0x-2y+7=0x+2y-3=0, 得其解为A(9,8),B(-2,号，C3,0.(5分)约束条件构成(x,》的区镀为以A,B,C为 顶点的三角形闭域S. (8分) f(x,y)=x2+y2为下凸函数 (10分) 449
故maxf(x,y)=max{f(A),f(B),f(C)》 =f(A)=92+82=145. (15分) 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.证明：先证：若x>0,有sinx0,有f(x)>f(0)=0,即sinx0,有x一日x30,从而有p'(x)>p'(0)=0. 故p(x)>p(0)=0即x-日x<sinz. (15分) 14.证明：设f(x)=sinx,则f(x)是(0，r)的上凸函数.(3分)由上凸函数的定义，对任意 的a1a2,a3∈(0,1)，a1+a2十a3=1,x1,x2,x∈(0，x),有 f(a1x1十a2x2十a3xa)≥a1f(x1)+a2f(x2)+a3f(x,). (7分) 取a1=a:=a,=分x1=Ax1=B,1=C,f0x）=sin, (10分) 则有 号sinA+号sinB+inC≤sinA+8+C 3 =in音-， 2 即sinA+sinB+sinC≤3y5 (15分) 2 450
