试卷代号：1087 座位号■ 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试 数学分析专题研究试题（半开卷） 2015年1月 题 号 二 三 四 总 分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.已知f(x)=】 (-1r2,则x)=( A.sinr B.cosx C.e D.Inz .f con'rdr ) Λ.1 B.-1 C.0 D.o 3.设lima,=a,limb.=b,且an>bn,则( A.a>b B.a≥h C.a<b D.a≤b 4.设fx)在点a可导，则imn[f八a+2分）-/八a)门=（ ) A.f(a) B.2f'(a) C.f(a) D.f(÷) 5.若函数y=f(x)在（一0，十o)上严格单调减少，则f(x)在(-o,十0）上() A.有上界 B.无下界 C,连续 D.有反函数 445
试卷代号 :1087 座位号口 国家开放大学(中央广播电视大学)2014 年秋季学期"开放本科"期末考试 数学分析专题研究 试题(半开卷) 阵去14千二四[叫 一、单项选择题{每小题 分，共 20 分) 1.已知 fCx) 只( I)n-Lt" ，则 fCr) = ( ) f(2n)! . sinx B. cosx C. e" D.lnx 2. f: coωx = ( ) .1 B. -1 C.O D. ∞ 3. lima =α limb" =b a" 队，则( ) A. a > b B. 二三 C.a < b D.αζb 1. I(x) 在点 可导，则 limn [f Cα 十二!_) - ωJ = ( A. I' α) c. i J' ω) 争。 L. fl B. 2F Ca) D. f'C 专) 2015 5. 若函数 = fCx) 在(一∞，十∞)上严格单调减少，则 f(x) 在(一∞，+∞)上( ) A. 有上界 B. 无下界 C. 连续 D. 有反函数 4<1 5
得分 评卷人 二、填空题（每小题4分，共20分）》 6,若关系R是反身的，对称的且传递的，则称R是 7.limf(x)=f(x。)当且仅当He>0,38>0 8.函数f(x)=x2在点P(1,1)的法线方程是 9.e0= +isin0. 10.已知)连续，则是 f(s)ds= 得 分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）》 1求精球后+芳+0,有 2生当)=lh平2求f. x 得 分 评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.若0≤x1sinx-sin2 x2一x1 14.映射f:X→Y是单射当且仅当对于任意的A,BCX,有 f(A∩B)=f(A)∩f(B). 446
二、填空题(每小题 分，共 20 分} 6. 若关系 是反身的，对称的且传递的，则称 7. limfCx) =fCxo) 当且仅当 Vε >0 0' >0 一·万。 8. 函数 f(x) =x 在点 PO ，l) 的法线方程是 9. e{} = isin6l. 10. B 9iQ fCt) 连续，吨 I>Cs)ds =一一一 三、计算题{每小题 15 分，共 30 分) 11 求椭球兰十二十 a- 0- 4ζ1 C 的体积 12. 已知:对于 x>O f( 一一一 )=ln~王一，求 fCx). 1+2x 四、证明题(每小题 15 分，共 30 分) 13. O~Xl ~1nx3 -Sln生. X2-XJ X3 -X2 14. 映射 f:X 是单射当且仅当对于任意的 BCX fCA n B) = fCA) /(B). 4. 41'ì
试卷代号：1087 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试 数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2015年1月 一、单项选择题（每小题4分，共20分）】 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.等价关系 7.当|x-x01). (6分) 447
试卷代号 :1087 国家开放大学(中央广播电视大学 )2014 年秋季学期"开放本科"期末考试 数学分析专题研究 试题答案及评分标准(半开卷) (供参考) 2015 一、单项选择题(每小题 分，共 20 分) 1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 二、填空题(每小题 分，共 20 分} 6. 等价关系 7. Ix-xo 1S Cz)dz= f: (c 一川 rL 4-3 z 174 fiw z 1-f (1 分) &.1 --l 12. 解:守一一王 =t x= ~(t > ]). t- 1 (6 分) 417
21 于是f()=lnt-1 =In 2 t+1 (12分) 1+2 即f(x)=lnx+T 2 (15分) 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.证明：(x)=si.x在闭区间[0，x]上连续，在开区间(0，r)内可导(5分)，由拉格朗日 中值定理，存在x1cos2,即 sinca sinc sinza-sinca (15分) xg一x1 T3 -T2 14.证明：先证，已知f:X→Y是单射，有f(A∩B)=f(A)门f(B). ①A∩BcA,故f(A∩B)Cf(A),同理f(A∩B)Cf(B), 所以f(A∩B)Cf(A)∩f(B). (4分) ②Hy∈f(A)∩f(B),则y∈(A)且y∈f(B).存在x1∈ACX,使(x:)=y.同 理，存在x2∈BCX,使f(x:)=y.由于∫是单射，故x:=x2 即存在x(x=x1=x?)∈A∩B,使y=f(x),y∈f(A∩B), 从而有f(A)∩f(B)C(A∩B). (8分) 结合①与②，有f(A)∩f(B)=f(A∩B) (10分) 再证，已知f(A)∩f(B)=f(A∩B),有∫：X→Y是单射. 事实上，Hx1x2∈X,x1≠x2,设A={x1},B={x2},则A∩B=☑ f({x:})∩({x))=f({x1〉∩{x2})=f(☑)=☑， 故∫(x,)≠f(x2),f是单射. (15分) 448
2 _l_ 于是 {(t) = 111 二」一 =1口一旦… . 1+2 一一丁 (1 分) /Cx) = 111 一旦+1 COSÇ2 ，即 引导旦二三哩ffl\SIIIZ3-51nx2 X2 X) .T:; _. X2 (1 分) 14. 证明:先证，已知 /:X 是单射，有}(/1. n R) = /(!l) n /(3). J\ 13CA /(A 门13) C f( 八) ，同理 f(/\ r-) B) C f( 刑， 所以/(八门13) C /(11) [(13). (1 分) ( V y E j(A) f(B) E j< 八〉且 E j(B). 存在 Xj E AcX f(Xj) = y. 理，存在川 nC ，使 [(.'2) = y. 由于 是单射，故工 =X2' 即存在 X(x =Xj ='X2) n B. y=I(:-c) /CA n B), 从而有 /u\.) n f(13) C /(!l 门13). 结合①与①，有 fUIJ n /(13) = I(/l nβ) 再证，已知 fCA) I( B) = f(A 门B)，有 I:X 是单射. (8 分〉 (1 分) 事实上， V .1'] ,.7:: 2 E .:r) 歹~ .T 2 设八~ {.T) ) , 13 = {X 2} , ý1lJ /\.门 B=Ø. I( {X]} )门 IC {X1 } ) = f( {X) 门{工z} ) = /(0) =臼， I(x] )手 /(:1' 2) 是单射. (1 分) H8
