人文棋块： 由前面我们了解过的极限思想可以知道，在古代由几何问题引起极限，微积分等观念思 把的萌芽就己经出现了，但其所用方法本质上是静态的，只有牛侧1642-1727，Nw10m) 莱布尼丝(1646-1716，Leibni立G,W)在他们的先者所做工作的基础上，发展成动态分析的 方法， 徽积分创立前夕歌洲的思知和社会胃景 1516世纪的文艺复兴运动使欧洲的精神文化面製发生了深刻的变化，对白然界的研究 篷物开展，数学也活跃起来了。这一时期，人们的独立思考和自由探讨的精神得到了发扬， 对于过去的文化速产，人们都投以审祝的目光，然面，数学的逐辑严密性面赢得人们特殊的 重视和信载，都认为数学知识确定无疑，艺术三杰达芬奇、米开朗基罗、拉菲尔之一达芬 (1452-1519,Da©)指出“除丰通过数学上的说明和论证，人们的探讨不能称为科学的。“ 达·芬奇为艺术大师，也精通数学，西面所采用的透程法线基于数学源理，据说达·芬奇的名 作《最后的晚餐》，郑个犹大就位于画面长度的0618：0.32的分点处。当时人们都崇尚黄 金分制。认为0.618植含着和蓝之美。 I7世纪是从布鲁诺(154移-1600)厚卫哥白1473-1543，Copernicus,N)的太财中心说为真 理献1600年2月17日，罗马鲜花广场)揭开序幕的，1632年，如刊略15641642，Ga1mG) 宣传爵白尼学说，出版《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》，1633年受罗马教庭 迫害，他坚定的科学信念为后世所景钟。1979年，罗马教皇的翰保罗二世提出为们利略~平 反”一桩冤案，历经三个多世纪，令人感微不已 教会势力对科学的迫害，阻挡不了人们对自然深入研究的热情，对数学感兴是的，不仅 有取业数学家和数师，还有业余爱好者。但由于历史的局限，当时的科学家不可能成为无神 论者，古希精的毕达哥拉斯前572497，Pythagras)称“万物皆数”，伽利略认为：数学是上 帝用米书写学宙的文学，他们相信上帝按数学方式设计了大自然，进行研究就是为了发现上 帝赋予的次序与和谐。从混沧中发现有序是爱学的伟大使金。 在社会变革和生产力发展方面。1640年英国资产阶缓革命厘发，1649年英王查理一世 被处死，革达到了高潮。欧洲一些国家处于货本主义上升时期，生产力得到空输发展，航 海、工商业、工程建筑设计都发达起米，研究物体的运动和变化成了日盐迫切的课题，力学 在各门学科中首先兴盛，但它的进步必须依靠数学，各种实际问题（包括古老的天文学问题 以及历史悠久的面积，体积测算)都要求数学引入新的概名，提出更有效的算法
人文模块: 由前面我们了解过的极限思想可以知道，在古代由几何问题引起极限，微积分等观念思 想的萌芽就已经出现了，但其所用方法本质上是静态的，只有牛顿(1642-1727，Newton,I)、 莱布尼兹(1646-1716，Leibniz,G,W)在他们的先驱者所做工作的基础上，发展成动态分析的 方法。 微积分创立前夕欧洲的思想和社会背景 15-16 世纪的文艺复兴运动使欧洲的精神文化面貌发生了深刻的变化，对自然界的研究 蓬勃开展，数学也活跃起来了。这一时期，人们的独立思考和自由探讨的精神得到了发扬， 对于过去的文化遗产，人们都投以审视的目光，然而，数学的逻辑严密性而赢得人们特殊的 重视和信赖，都认为数学知识确定无疑，艺术三杰(达·芬奇、米开朗基罗、拉菲尔)之一达·芬 奇(1452-1519，Da Vinci)指出“除非通过数学上的说明和论证，人们的探讨不能称为科学的。” 达·芬奇为艺术大师，也精通数学，西画所采用的透视法就基于数学原理，据说达·芬奇的名 作《最后的晚餐》，那个犹大就位于画面长度的 0.618：0.382 的分点处。当时人们都崇尚黄 金分割，认为 0.618 蕴含着和谐之美。 17 世纪是从布鲁诺(1548-1600)捍卫哥白尼(1473-1543，Copernicus,N)的太阳中心说为真 理献身(1600 年 2 月 17 日，罗马鲜花广场)揭开序幕的，1632 年，伽利略(1564-1642，Galileo.G) 宣传哥白尼学说，出版《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》，1633 年受罗马教庭 迫害，他坚定的科学信念为后世所景仰。1979 年，罗马教皇约翰·保罗二世提出为伽利略“平 反”一桩冤案，历经三个多世纪，令人感概不已。 教会势力对科学的迫害，阻挡不了人们对自然深入研究的热情，对数学感兴趣的，不仅 有职业数学家和教师，还有业余爱好者。但由于历史的局限，当时的科学家不可能成为无神 论者，古希腊的毕达哥拉斯(前 572-497，Pythagras)称“万物皆数”，伽利略认为：数学是上 帝用来书写宇宙的文学。他们相信上帝按数学方式设计了大自然，进行研究就是为了发现上 帝赋予的次序与和谐，从混沌中发现有序是数学的伟大使命。 在社会变革和生产力发展方面，1640 年英国资产阶级革命爆发。1649 年英王查理一世 被处死，革命达到了高潮。欧洲一些国家处于资本主义上升时期，生产力得到空前发展，航 海、工商业、工程建筑设计都发达起来，研究物体的运动和变化成了日益迫切的课题，力学 在各门学科中首先兴盛，但它的进步必须依靠数学，各种实际问题(包括古老的天文学问题 以及历史悠久的面积、体积测算)都要求数学引入新的概念，提出更有效的算法
就科学本身而言，十七世纪时开始了它的革命化-数学化的进程。笛卡几山15961650， Dk©ts)说，科学的本质是数学，们利略认为，任何科学分支都应在数学核型上取图案 伽利略、惠更斯(1629-1695，H色C、牛顿都相信，科学中滴锋数学所起的作用比实验 作用还要大。他们是科学数学化的推动者[5]，这种进程现在还在延线，并有加速的趋势。 数学已渗透到生命科学，社会科学等过去从来涉足的领域。当时，以力学方面的需要为中心： 至少有四类门题直接导致微积分的诞生。 】已知物体移动的距离表示为时同的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和如速度 (还有反问题的求解) 2曲线切线月思，透镜设计要考虑由线的法线。实际上就是求切线，运动物体在任一 点处的运动方向即该点的切线方向。 3炮弹射程月题：求获得最大射程的发射角，求行星离太阳最远最近距离近日点、远 日点)讨论函数的最大最小值。 4曲线的弧长、曲线围成的平面图形的而积，曲面圆成的立体体积，物体重心，引力 等等。思想的解放、生产力的发展、料学的革命化促使人们去思索，解决这些追切需要解决 的问题。经过长时间的研究，时论，酝酿。有关的知识渐渐积黑起米了，一些最话跃的人物 理当称为微积分学的先驱。 撤积分学先驱者的重要贡献 正是由于这些问题的出现，使得一大数科学家积极地投入到微积分的翼基工作中去，其 中比较著名的有笛卡尔、费马、但利略、巴罗等。 1、笛卡几、费马和解析几何学的凝生 箭卡儿年轻时在军队服役，那时他就孜孜不倦地研究数学，触说：“我决心战年那仅 仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅用来练习思想的问题（指Ed几何问题 一笔者注，我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然的几何。“笛卡儿经过 多个日日夜夜的苦思某忽，在连续梦境的第二天，“开始懂得这惊人发现的道理。“这个惊人 的发现即坐标几柯即今称为解析几何.笛卡儿创立的解析几何就要与传统的古希精的几何决 裂，1637年他出版了名著《更好地指导推理和科学真理的方法论》（简称《方法论》）有三个 附录，其一为《几何)，表达了仙将代数用于几何)用方程表示曲线的思塑。选定一条直线 为基线。取一点A为原点，X为基线上的点到A的线段长度，过基线上的该点作一线段， 与基线成固定角度（现取0度），Y值即此线段的长，这样就月入了笛卡儿的坐标系，线段 的另一瑞点就描出一条曲线。给定含X、Y的一个方程(X。Y2O)都可以求出它的曲线，他
就科学本身而言，十七世纪时开始了它的革命化-数学化的进程，笛卡儿(1596-1650， Descartes,R)说，科学的本质是数学；伽利略认为，任何科学分支都应在数学模型上取图案。 伽利略、惠更斯(1629-1695，Huygens.C)、牛顿都相信，科学中演绎数学所起的作用比实验 作用还要大。他们是科学数学化的推动者［5］。这种进程现在还在延续，并有加速的趋势。 数学已渗透到生命科学，社会科学等过去从未涉足的领域。当时，以力学方面的需要为中心， 至少有四类问题直接导致微积分的诞生。 1 已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度 (还有反问题的求解) 2 曲线切线问题，透镜设计要考虑曲线的法线，实际上就是求切线，运动物体在任一 点处的运动方向即该点的切线方向。 3 炮弹射程问题：求获得最大射程的发射角，求行星离太阳最远最近距离(近日点、远 日点)讨论函数的最大最小值。 4 曲线的弧长、曲线围成的平面图形的面积，曲面围成的立体体积，物体重心，引力 等等。思想的解放、生产力的发展、科学的革命化促使人们去思索，解决这些迫切需要解决 的问题，经过长时间的研究，讨论、酝酿，有关的知识渐渐积累起来了，一些最活跃的人物 理当称为微积分学的先驱。 微积分学先驱者的重要贡献 正是由于这些问题的出现，使得一大批科学家积极地投入到微积分的奠基工作中去，其 中比较著名的有笛卡尔、费马、伽利略、巴罗等。 1、笛卡儿、费马和解析几何学的诞生 笛卡儿年轻时在军队服役，那时他就孜孜不倦地研究数学，他说：“…我决心放弃那仅 仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅用来练习思想的问题(指 Euclid 几何问题 --笔者注)，我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然的几何。”笛卡儿经过 多个日日夜夜的苦思冥想，在连续梦境的第二天，“开始懂得这惊人发现的道理。”这个惊人 的发现即坐标几何即今称为解析几何。笛卡儿创立的解析几何就要与传统的古希腊的几何决 裂，1637 年他出版了名著《更好地指导推理和科学真理的方法论》(简称《方法论》)有三个 附录，其一为《几何》，表达了他(将代数用于几何)用方程表示曲线的思想。选定一条直线 为基线，取一点 A 为原点，X 为基线上的点到 A 的线段长度，过基线上的该点作一线段， 与基线成固定角度(现取 90 度)，Y 值即此线段的长。这样就引入了笛卡儿的坐标系，线段 的另一端点就描出一条曲线。给定含 X、Y 的一个方程(X，Y≥0)都可以求出它的曲线，他
着重于方程的轨迹（图形），在曲线领域内迈了一大步。此外，他还引入了变刷变数)的思想， 称一些量为未知和未定的量”，相当干现在的变量。思格斯指出：数学中的转折点是笛卡 儿的变数，有了变数，运动选入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和 积分戴立刻成为必要的了。“ 另一位创立者费马H160l-16的5，Fermat,Pde)1629年提出解析几何的基本原理，他强调的 是轨迹的方程，这与笛卡几所考虑的恰好是解析几何相辅相成的两个方面，共同点为集中考 黎了含连线变量的不确定方程F(X。Y)=0,而不是达(1540-1603，F.5a)所研究的解为 常数的一元二次方程，费马还研究了切战的作法，他的方法有现代微分学的形式，他是考虑 函数在极值点附近的特性解决极植的第一个人，认为一个数量达到它的最大值或最小值的 时刻，他的变化好像停止了气即变化率为0，(x)=0): 2、如利略与近代科学方法论的莫华 如利略是近代科学法论的葛基人，他的科学研究方式，第一个采用了实验和数学模型相 结合的方法，甚至认为数学推导演绎比实验作用还要大。他用这种方法结合在比萨斜塔做的 著名试验，看出落体的距离与时间的平方成正比，S=。拥示了白由落体的规律，为近 代的第一个数学横型。也具备函数概念的初步形式。事实上，触对门恩作了轴象，简化，先 不考心阻力，然后再考虑有介质的情形。M克莱因Morris K)说数学的抽象方法确实离 开了现实，说也奇怪。当目到现实到，它却比所有因素考虑进去更有力。“牛顿等人也接受 这种思想，认为科学研究不必要做太多的实验，重要的方法是数学的描述，牛顿的万有明力 定律的发现是一个最成功的范例。 3、其他先图者的工作 17世纪求面积、体积、曲线长，始于开鲁物1571-l60,K©pler),他怀疑酒商的酒桶 体积，发表《测量酒桶体积的新科学》，认为旋转体的体积是非常薄的属盘体积之和“无限 多个无限小元素之和门，卡瓦列里(1598-1647，Cavalier1.B)求积提出不可分量法，认为面积 是无数个等距平行线段构成的。线是由点构成的，就象链由珠子穿成一样：面是由直线构成 的，就象布由线织咸一样，立体是由平面构成的，瓷象书由真组成一样，卡瓦列里的理论是 欧多克斯的穷渴法"到牛顿、莱布尼盐过灌。托里拆利1608-1647，TL.E)对他的方法 作了改进，更接近于现代积分。帕斯(1623-1662，Pl,B)将城坐标之和爱展为无限多个 矩形之和，也接近于观代积分：费马克服了卡瓦利黑的方法缺点，几乎采用了现代积分的全 过程，用小矩形面积近似小由边形面积，最后用相当于和式极限的方法得到正确结果，他求
着重于方程的轨迹(图形)，在曲线领域内迈了一大步。此外，他还引入了变量(变数)的思想， 称一些量为“未知和未定的量”，相当于现在的变量。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡 儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和 积分就立刻成为必要的了。” 另一位创立者费马(1601-1665，Fermat,P.de)1629 年提出解析几何的基本原理，他强调的 是轨迹的方程，这与笛卡儿所考虑的恰好是解析几何相辅相成的两个方面，共同点为集中考 察了含连续变量的不确定方程 F(X，Y)＝0，而不是韦达(1540-1603，F.Vieta)所研究的解为 常数的一元二次方程，费马还研究了切线的作法，他的方法有现代微分学的形式，他是考虑 函数在极值点附近的特性解决极植的第一个人，认为“一个数量达到它的最大值或最小值的 时刻，他的变化好像停止了”(即变化率为 0， f x ( ) 0 = )。 2、伽利略与近代科学方法论的奠基 伽利略是近代科学法论的奠基人，他的科学研究方式，第一个采用了实验和数学模型相 结合的方法，甚至认为数学推导演绎比实验作用还要大，他用这种方法结合在比萨斜塔做的 著名试验，指出落体的距离与时间的平方成正比， 2 S kt = ，揭示了自由落体的规律，为近 代的第一个数学模型，也具备函数概念的初步形式。事实上，他对问题作了抽象、简化，先 不考虑阻力，然后再考虑有介质的情形。M.克莱因(Morris Kline)说“数学的抽象方法确实离 开了现实，说也奇怪，当回到现实时，它却比所有因素考虑进去更有力。”牛顿等人也接受 这种思想，认为科学研究不必要做太多的实验，重要的方法是数学的描述，牛顿的万有引力 定律的发现是一个最成功的范例。 3、其他先驱者的工作 17 世纪求面积、体积、曲线长，始于开普勒(1571-1630，Kepler.J)，他怀疑酒商的酒桶 体积，发表《测量酒桶体积的新科学》，认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和(“无限 多个无限小元素之和”)，卡瓦列里(1598-1647，Cavalieri.B)求积提出不可分量法，认为面积 是无数个等距平行线段构成的。线是由点构成的，就象链由珠子穿成一样；面是由直线构成 的，就象布由线织成一样。立体是由平面构成的，就象书由页组成一样。卡瓦列里的理论是 欧多克斯的“穷竭法”到牛顿、莱布尼兹过渡。托里拆利(1608-1647，Torricelli,E)对他的方法 作了改进，更接近于现代积分。帕斯卡(1623-1662，Pascal,B)将纵坐标之和发展为无限多个 矩形之和，也接近于现代积分。费马克服了卡瓦利里的方法缺点，几乎采用了现代积分的全 过程，用小矩形面积近似小曲边形面积，最后用相当于和式极限的方法得到正确结果，他求
了一个幂函数曲线下的曲边形的面积。之后还有华里斯(161617G,Ws,罗贝瓦尔 (1602-1675,Ro比v)的工作。但上述这些人都没有提练出更有价值和普遍意义的东西，尽 管费马已站在积分发明的大门口. 微分的研究源于对切线，极值和运动速度等月题的处理。对于切线，早期有简卡儿、罗 贝瓦尔，托里拆利的工作。开普局用列表法确定最大体积，注意到体积接近最大值时，由尺 寸的变化引起体积的变化越米越小，这正是厂(x)一0的原始形式。费马的切线作法载于他 1637年发的手稿《求最大值和最小植的方法》中.巴罗16301677，BOw)的求切线方法， 考虑了-微分三角形气一边为dk,一边为y,一边为d),认机到y△x的重要性.。恩格斯称 赞说：“当直线和由线的数学可以说山穷水尽的时候，一条新的几平无穷无尽的道路，由那 种把由线视为直线（微分三角形）并把直线视为曲线（由率无限小的一次由线）的数学开拓出米 了。“ 最高的一步归功于牛顿、莱布尼兹 在牛顿、莱布尼装作最后冲刺前。微分、积分的知识已积累起来，尚未有人发现更具有 本质，更有普追意义的内涵，更淡不上指出两者之阿的联系。尽管巴罗己认识到微分是积分 之逆，费马的工作也到了微积分创立边锋，（是，他们没有能走出这最后、最高的一步，这 一步自功于牛顿、菜布尼兹。 牛领、莱布尼兹所要做的工作是创立一个具有划时代意义的新学科。应当包括： 】纯洁：多。特别是建立变化率的假念。 2提炼方法。把解决各种具体问愿的方法加以提炼，创这有普追意义的微积分方法， 3改变形式。变概念和方法论述的几何形式为解析形式，使它应用更广， 牛顿继承和总结了先辈的思想和方法作出自己独创的建树，们利略，开普勒、费马、华 里所特别是老师巴罗对他有直接影响。1664年到1666年，牛顿提出流数理论，建立了一套 求静数的方法，也把自己的发现称为流数术”。牛镜是伟大的物理学家，他政力于物体的力 和运动的研究，正知爱因斯粗1878-1955，Es心inA)在1942年12月25日纪念牛领廷生300 周年时所说：“速度和速度变率-在任何被设想为无大小的物质（质点）的运动的情况下，那就 是加速度这两个概么首先必须以数学的准确性来表达，这项任务导致牛领发明了微积分的 基础。” GW,莱布尼整1646年生于德国，微积分的思想最初体现在1675年的于稿中，1673-167形 年之同得到微积分的研究的主要结果。他认识到求曲线的切线依赖于枫坐标，横坐标之差
了一个幂函数曲线下的曲边形的面积。之后还有华里斯(1616-1703，Wallis,J)，罗贝瓦尔 (1602-1675，Roberval)的工作。但上述这些人都没有提练出更有价值和普遍意义的东西，尽 管费马已站在积分发明的大门口。 微分的研究源于对切线，极值和运动速度等问题的处理。对于切线，早期有笛卡儿、罗 贝瓦尔、托里拆利的工作。开普勒用列表法确定最大体积，注意到体积接近最大值时，由尺 寸的变化引起体积的变化越来越小，这正是 f x ( ) 0 = 的原始形式。费马的切线作法载于他 1637 年发的手稿《求最大值和最小值的方法》中.巴罗(1630-1677，Barrow,I)的求切线方法， 考虑了“微分三角形”(一边为 dx,一边为 dy，一边为 ds)，认识到 Δy/Δx 的重要性。恩格斯称 赞说：“当直线和曲线的数学可以说山穷水尽的时候，一条新的几乎无穷无尽的道路，由那 种把曲线视为直线(微分三角形)并把直线视为曲线(曲率无限小的一次曲线)的数学开拓出来 了。” 最高的一步归功于牛顿、莱布尼兹 在牛顿、莱布尼兹作最后冲刺前，微分、积分的知识已积累起来，尚未有人发现更具有 本质，更有普遍意义的内涵，更谈不上指出两者之间的联系，尽管巴罗已认识到微分是积分 之逆，费马的工作也到了微积分创立边缘，但是，他们没有能走出这最后、最高的一步，这 一步归功于牛顿、莱布尼兹。 牛顿、莱布尼兹所要做的工作是创立一个具有划时代意义的新学科，应当包括： 1 纯洁概念。特别是建立变化率的概念。 2 提炼方法。把解决各种具体问题的方法加以提炼，创立有普遍意义的微积分方法。 3 改变形式。变概念和方法论述的几何形式为解析形式，使它应用更广。 牛顿继承和总结了先辈的思想和方法作出自己独创的建树，伽利略，开普勒、费马、华 里斯特别是老师巴罗对他有直接影响。1664 年到 1666 年，牛顿提出流数理论，建立了一套 求导数的方法，他把自己的发现称为“流数术”，牛顿是伟大的物理学家，他致力于物体的力 和运动的研究，正如爱因斯坦(1878-1955，Einstein,A)在 1942 年 12 月 25 日纪念牛顿诞生 300 周年时所说：“速度和速度变率-在任何被设想为无大小的物质(质点)的运动的情况下，那就 是加速度-这两个概念首先必须以数学的准确性来表达，这项任务导致牛顿发明了微积分的 基础。” G.W．莱布尼兹 1646 年生于德国，微积分的思想最初体现在 1675 年的手稿中，1673-1676 年之间得到微积分的研究的主要结果。他认识到求曲线的切线依赖于纵坐标，横坐标之差
求积依赖于无限薄矩形面积之和，求和与求差可逆，1675年，他斯定一个事实，作为求和 的过程的积分是微分的逆（即牛顿·莱布尼被定理）。也给出 d=mds.'ds 一+C(们是整数或分数)，167年给出函数的和差积商微分公式 月+ 1680年给出复微分和能转体体积公式，薰布尼兹发明了许多至今仍在川的符号，如，dy: 等等。他的工作大因且富有塑象力。 牛领首先是物理学家，速度是中心概念，多考虑流数之逆不定积分：莱布尼整是哲学家， 着眼于物质的构成最终是微粒，故注重求和，积分为无穷多个无限窄的矩形之和。多考虑的 是定积分。但他们都清楚积分的两个方面。牛顿、莱布尼兹的最大功绩是将两个赖似不相关 的问愿切线日题和求积问题联系起来，建立了两者的桥梁。 牛顿对微积分是先发明16的5)，后发表1711)：莱布尼装则后发(1679，先发表(1684. 1686年先后发表第一篇微分学，第一篇积分学文章)，于是发生了所滑优先权的争论，英 国数学家捍卫触们的牛顿，指责莱布尼兹剩商，而大陆的数学家支持莱布尼兹。事实上，他 们棱此独立地创立了微积分。莱布尼兹称赞牛顿：“在从世界开始到牛顿生活的全部数学中， 牛机的工作超过了一半
求积依赖于无限薄矩形面积之和，求和与求差可逆，1675 年，他断定一个事实，作为求和 的过程的积分是微分的逆 ( 即 牛 顿 - 莱 布 尼 兹 定 理 ) ，他给出 n n 1 dx nx dx − = , 1 1 n n x x dx C n + = + + (n 是整数或分数)，1677 年给出函数的和差积商微分公式， 1680年给出弧微分和旋转体体积公式。莱布尼兹发明了许多至今仍在用的符号，如dx，dy/dx， ∫等等，他的工作大胆且富有想象力。 牛顿首先是物理学家，速度是中心概念，多考虑流数之逆不定积分；莱布尼兹是哲学家， 着眼于物质的构成最终是微粒，故注重求和，积分为无穷多个无限窄的矩形之和，多考虑的 是定积分。但他们都清楚积分的两个方面。牛顿、莱布尼兹的最大功绩是将两个貌似不相关 的问题-切线问题和求积问题联系起来，建立了两者的桥梁。 牛顿对微积分是先发明(1665)，后发表(1711)；莱布尼兹则后发明(1675)，先发表(1684、 1686 年先后发表第一篇微分学，第一篇积分学文章)，于是发生了所谓“优先权”的争论，英 国数学家捍卫他们的牛顿，指责莱布尼兹剽窃，而大陆的数学家支持莱布尼兹。事实上，他 们彼此独立地创立了微积分。莱布尼兹称赞牛顿：“在从世界开始到牛顿生活的全部数学中， 牛顿的工作超过了一半
徽积分起源纠纷 16的5年夏天，因为英国爆发鼠技，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校 任教的牛顿被迫离校到他醇亲的农场住了一年多。这一年多核称为奇迹年“，。牛顿对三大运 动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这丝问愿过程中，他发现了 他称为流数术"的微积分，他在16场年写下了一篇关于流数术的短文。之后又写了几篇有 关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。 首次发表有关微积分研究论文的是德国皙学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了 微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发观。1684年，菜布尼茨正式 发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人自努利兄弟的大力推 动下，莱布尼茨的方法很快传了欧洲。到169%年时。己有微积分的教科书出版。 起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了 时好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人思忽，折责莱布尼茨的微积分是到窃自牛镜的 流数术，但此人并无威望，道到莱布尼茨的吸斥后，就没了下文。104年，在其光学著作 的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术，当年出现了一篇匠名评论，反过来雷责牛领的 流数术是窗白莱布尼茨的微积分。 于是究竟是森首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。171年，苏格兰料 学家，英国皇家学会会员约障机尔在致皇家学会书记的信中，霜责莱布尼茨测简了牛领的 成果，只不过用不同的符号表示法改头换面，同样身为皇家学会会员的菜布尼茨提出抗议， 要求皇家学会禁止凯尔的博場。泉家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告 中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责菜布尼茨有意隐瑞他如道牛顿的研究工作。此时牛顿 是皇家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛领 本人起草的。触还屠名写了一篇政击莱布尼关的长篇文章。 当然，争论并未因为这个偏向性极为明晶的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论 一直廷续到了现在。没有人，包括菜布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。间题是，莱 布尼茨是否鞋立地发现了微积分？莱每尼茨是否别商了牛顿的发现？ 1673年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曹访例伦教。虽然他没有见过牛顿，们是 与一些英国数学家见而讨论过数学闫题。其中有的数学家的研究与微积分有关，甚至有可能 给莱布尼茨看过牛领的有关手稿。莱布尼茨在峰死前承认他看过牛顿的一些手稿，但是又说 这些下稿对他没有价值， 此外，莱布尼茨长期与英国皇家学会书记，图书馆员通信，从中了解到英国数学研究的 进展。1676年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中概述了牛领对无穷级数的研究， 虽然这些通信后来被牛倾的支持者用来反对莱布尼茨，但是它门并不含有创建微积分所需要 的详细信息。莱布尼茨在创建微积分的过程中究意受到了英国数学家多大的影响，级怕没人 能说得清。 后人在莱布尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿关于流数术的论文的段落，并将其内容改用 他发明的微积分符号表示，这个发现似乎对莱都尼茂不利。但是，我们无法确定的是，莱和 尼茨是什么时候抄录的？如果是在能创建微积分之前，从某位英国数学家那里看到牛镜的手 稿时抄录的，那当然可以做为莱布尼茨剩府的铁证。但是也也可能是在牛顿于1心4年发表
微积分起源纠纷 1665 年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校 任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运 动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中，他发现了 他称为“流数术”的微积分。他在 1666 年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有 关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。 首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在 1675 年已发现了 微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684 年，莱布尼茨正式 发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推 动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到 1696 年时，已有微积分的教科书出版。 起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699 年，移居英国的一名瑞士人一方面为了 讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的 流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。1704 年，在其光学著作 的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的 流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。 于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。1711 年，苏格兰科 学家、英国皇家学会会员约翰·凯尔在致皇家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的 成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。同样身为皇家学会会员的莱布尼茨提出抗议， 要求皇家学会禁止凯尔的诽谤。皇家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告 中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿 是皇家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿 本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。 当然，争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论 一直延续到了现在。没有人，包括莱布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。问题是，莱 布尼茨是否独立地发现了微积分？莱布尼茨是否剽窃了牛顿的发现？ 1673 年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曾访问伦敦。虽然他没有见过牛顿，但是 与一些英国数学家见面讨论过数学问题。其中有的数学家的研究与微积分有关，甚至有可能 给莱布尼茨看过牛顿的有关手稿。莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一些手稿，但是又说 这些手稿对他没有价值。 此外，莱布尼茨长期与英国皇家学会书记、图书馆员通信，从中了解到英国数学研究的 进展。1676 年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中概述了牛顿对无穷级数的研究。 虽然这些通信后来被牛顿的支持者用来反对莱布尼茨，但是它们并不含有创建微积分所需要 的详细信息。莱布尼茨在创建微积分的过程中究竟受到了英国数学家多大的影响，恐怕没人 能说得清。 后人在莱布尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿关于流数术的论文的段落，并将其内容改用 他发明的微积分符号表示。这个发现似乎对莱布尼茨不利。但是，我们无法确定的是，莱布 尼茨是什么时候抄录的？如果是在他创建微积分之前，从某位英国数学家那里看到牛顿的手 稿时抄录的，那当然可以做为莱布尼茨剽窃的铁证。但是他也可能是在牛顿于 1704 年发表
该论文时才抄录的，此时他本人的有关论文早已发表多年了， 后人通过研究莱布尼炭的手稿还发现，菜态尼发和牛领是从不同的思路创建微积分的： 牛顿是为解决运动月题，先有导数概念，后有积分概之：莱布尼茨则反过来，受其霄学思想 的影响。先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当作物理研究的数学工具。而 莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革鱼。这些似乎又表明莱布尼茨像地一再声 称的都样，是白己鞋立地创建微积分的。 即使菜布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。菜布尼茨 对微积分表述得更清楚，采用的符号系饶比牛顿的更直观，合理，被普语采纳沿用至今。因 此现在的教科节一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的侧建者。 实际上，如果这个事件发生在当今，莱布尼茨会毫无争议地梭视为微积分的创建者，因 为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拇有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。 至于两人之间私下的思怨，谁能说得清呢？尤其是在有国家荣耀、民族情绪参与其中之时， 更难以达成共识。牛领与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个款 洲大陆科学界的对抗：英国数学家此后在根长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的研究成 果。他们坚持教授、使用牛顿那套落后的微积分符号和过时的数学观念，使得英国的数学研 究停滑了一个多世纪，直到1820年才愿意承认其他国家的数学成果，重新加入国际主流。牛 领与菜布尼深之争并无损于莱布尼茨的名声，但对莫国的科学事业却是一场灾难，虽然设一科 学没有国界，但科学家有相国”《巴斯德语)，但是如果让民族主义干扰了科学研究，就很 容易将国界加之于科学之上，从而使一国的科学研究敲排斥于国际科学界之外，反而妨碍了 本国的科学发展
该论文时才抄录的，此时他本人的有关论文早已发表多年了。 后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的： 牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想 的影响，先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当作物理研究的数学工具，而 莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表明莱布尼茨像他一再声 称的那样，是自己独立地创建微积分的。 即使莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。莱布尼茨 对微积分表述得更清楚，采用的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因 此现在的教科书一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。 实际上，如果这个事件发生在当今，莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创建者，因 为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拥有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。 至于两人之间私下的恩怨，谁能说得清呢？尤其是在有国家荣耀、民族情绪参与其中之时， 更难以达成共识。牛顿与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧 洲大陆科学界的对抗。英国数学家此后在很长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的研究成 果。他们坚持教授、使用牛顿那套落后的微积分符号和过时的数学观念，使得英国的数学研 究停滞了一个多世纪，直到 1820 年才愿意承认其他国家的数学成果，重新加入国际主流。牛 顿与莱布尼茨之争并无损于莱布尼茨的名声，但对英国的科学事业却是一场灾难。虽然说“科 学没有国界，但科学家有祖国”（巴斯德语），但是如果让民族主义干扰了科学研究，就很 容易将国界加之于科学之上，从而使一国的科学研究被排斥于国际科学界之外，反而妨碍了 本国的科学发展
一元函数导数与微分 基础模块： 导入： 在引入光极限和连续的概念之后，我们可以米学习一下另一个非常重要的概念一一导 数，在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题，接下米我们就从两个方面 的问恶入手，来探以导数的方法。 内容： 一、引例 1,直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻质点的坐标为。。是「的函数 =式0 求动点在时刻的建度 考虑比值 -. -1-6 这个比值可认为是动点在时间间隔一角内的平均速度.如果时间间隔透较短。这个比值在实 践中也可用来说明动点在时刻的速度.但这样做是不精确的，更确地应当这样：令1一→0 取比值型的授限如果这个极限存在，设为，即 I-te =m- 61-4 这时就把这个极限值￥称为动点在时刻的速度 2.切线月题 设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点X.作副线AN当点N沿曲线C 趋于点M时，如果割战MN绕点M较转面趋于极限位置MT,直线MT就称为由线C有点M 处的切线， 设由线C就是函数)的图形，现在要确定曲线在点填电，=（知川处的切线，只 要定出切线的斜率：行了.为此，在点M外另取C上一点x,功，于是别线MN的解率为 ne=二边-) 其中为刺线W的倾角.当点N沿由线C趋于点山时，x和.如果当x+时，上式的极限 存在。设为k。即 kam处) 若一无 存在，则此极限：是割线斜率的极限，也就是切线的斜率这里a,其中位是切线T的 领角.于是，通过点Mm,m》且以素为斜率的直线T便是曲线C在点M处的切线。 二、导数的定义 1,函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个间愿看出.非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的
一元函数导数与微分 基础模块： 导入： 在引入完极限和连续的概念之后，我们可以来学习一下另一个非常重要的概念——导 数。在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题，接下来我们就从两个方面 的问题入手，来探讨导数的方法。 内容： 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 s=f(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 0 0 0 0 ( ) ( ) t t f t f t t t s s − − = − − 这个比值可认为是动点在时间间隔 t−t0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实 践中也可用来说明动点在时刻t0 的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t −t0→0 取比值 0 0 ( ) ( ) t t f t f t − − 的极限 如果这个极限存在 设为 v 即 0 0 ( ) ( ) lim 0 t t f t f t v t t − − = → 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2．切线问题 设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ 处的切线 设曲线 C 就是函数 y=f(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0=f(x0))处的切线 只 要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 0 0 0 0 ( ) ( ) tan x x f x f x x x y y − − = − − = 其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x→x0 如果当 x→ 0 时 上式的极限 存在 设为 k 即 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = → 存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 k=tan 其中是切线 MT 的 倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0))且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义 1 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的
极限 Im f)-f) +4x一6 令A-,期A+m-rm-相当于Ar-0,于是m ，1- 成为中是骏巴四 定义设函数=式)在点和的某个邻线内有定义，当自变量x在南处取得增量点 和+x仍在该邻规内时，相应地函数y取得增量=风+M)水如果y与x之比当△x+0 时的极限存在，则称函数=x)在点面处可导，并称这个极限为函数=x)在点知处的导数. 记为儿4，即 )Iim Im 1(xtAr-f(x! -+0r如-+0A 也可记为儿·去 空暖团 drat 函数)在点角处可导有时也说成)在点和具有导数成导数存在 导数的定义式也可取不闪的形式常见的有 )=m±- )lim f)-f 在实际中。雷要时论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”同题，在数学上就是所 函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限血西+型不存在，就说函数在点知处不可导 如果不可导的原因是由于m+△型=函. +0 Ar 也往往说函数=N)在点和处的导数为无穷大 如果函数=)在开区间1内的每点处都可导，就称函数在开区何I内可导.这时，对 于任一xe,都对位着x)的一个确定的导爱值这样线构成了一个新的函数。这个函数叫 质原来函数的导函版记作，国，会，设公. 导函数的定义： =+世@=典+此 h (和)与)之间的关系 函数)在点角处的导数(x)减是导函数了)在点处的函数值，即 =-· 导函数()简称导数，而了()是风)在处的导数或导数了()在处的值 左右导数：所列极限存在，则定义
极限 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 令x=x−x0 则y=f(x0+x)−f(x0)= f(x)−f(x0) x→x0 相当于x →0 于是 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 成为 x y x →0 lim 或 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x(点 x0+x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量y=f(x0+x)−f(x0) 如果y 与x 之比当x→0 时的极限存在 则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 记为 0 | x x y = 即 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 也可记为 0 | x x y = 0 dx x x dy = 或 0 ( ) dx x x df x = 函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓 函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在 就说函数 y=f(x)在点 x0 处不可导 如果不可导的原因是由于 = + − → x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 也往往说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数y=f(x)在开区间I 内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I 内可导 这时 对 于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫 做原来函数 y=f(x)的导函数 记作 y f (x) dx dy 或 dx df (x) 导函数的定义 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 = h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 x=x0 处的函数值 即 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = = 导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f (x)在 x0 处的值 左右导数 所列极限存在 则定义
在x的左导数：%-飞±外型 在的右导数：化)-m+的 如果极限m+儿存在则称此极限值为函数在和的左导数 如果极限m任+低存在，则称此极限值为函数在和的右导数 导数与左右导数的关系：无=A台瓜，=(=A. 2.单侧导数： 极限工+团存在的充分必要条件是 思但及m+机 为 那存在且相等。 风)在无处的左导数：名)=m +- 在处的右导数：)=m+国 导数与左右导数的关系： 函数x)在点期处可导的充分必要条件是左号数左导数个和)和右导数()都存在且相 如果函数x)在开区间(a)内可导，且右导数()和左导数了()都存在就说风x)有 闭区同a,1上可导 三、导数的几何意义 函数=开)在点和处的导数”)在几何上表示曲线=x)在点城南风南小处的切线的斜 率，即 f(xo)-tan a, 其中a是切线的领角 如果一)在点到处的导数为无穷大，这时由线)的割线以垂直于x轴的直线 为极限位置。即曲线=A)在点线和，和川处具有垂直于x轴的切线=和： 由直线的点斜式方程，可知由线在点城角，功)处的切线方程为 =(南x-南. 过切点城和，)且与切线垂直的直线叫做由线=)在点M处的法线如果 四加心法线的解率为-高·从面法线方程为 -%=-
f(x)在 0 x 的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → − − f(x)在 0 x 的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → + + 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − →− 存在 则称此极限值为函数在 x0 的左导数 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − →+ 存在 则称此极限值为函数在 x0 的右导数 导数与左右导数的关系 f (x0 )= A f− (x0 )= f+ (x0 )= A 2．单侧导数 极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → 存在的充分必要条件是 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → − 及 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → + 都存在且相等 f(x)在 0 x 处的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + − = → − − f(x)在 0 x 处的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + − = → + + 导数与左右导数的关系： 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f −(x0) 和右导数 f +(x0)都存在且相 等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f +(a) 和左导数 f −(b)都存在 就说 f(x)有 闭区间[a, b]上可导 三、导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜 率 即 f (x 0)=tan 其中是切线的倾角 如果 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 y=f(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 x=x0 为极限位置 即曲线 y=f(x)在点 M(x0, f(x0))处具有垂直于 x 轴的切线 x=x0 由直线的点斜式方程 可知曲线 y=f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为 y−y0=f (x0)(x−x0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x)在点 M 处的法线如果 f (x0)0 法线的斜率为 ( ) 1 0 f x − 从而法线方程为 ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −
