第五章相似矩阵及二次型 一、选拆恩 1.设入是知阵A的一个特征值，则下列成立的是() Ak入是矩阵kA的一个特任值 &I B. 是是矩阵kA的一个特征值 C.k22是库kA的一个特征值 D.k2是阵k2A的一个特征值 2 2,设2阶矩阵A年 测A的特征植为( 2 A.1和3 B.1域3 C.-1和3 D.1和-3 3.设向量=(1，-2,2)了，向量B=(2,2,-1)了，则向量a与B的内积为() A4 B.-4 C.5 D.-5 4.三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则下列矩库中拿奇异矩库是() A.2E-A B.2E+A C.E-A D.A-3E 5.设入■2是可逆矩群A的一个特征值。则矩阵(5)必有一个特征值为《) 3 A. 3 B. 4 3 C. D.- 3 4 6。矩阵A与B相似的充分条件是() A.=B B.r(A)=八B) C.A与B有相月的多项式
第五章 相似矩阵及二次型 一、选择题 1．设 0 是矩阵 A 的一个特征值，则下列成立的是（ ） A． 0 k 是矩阵 kA 的一个特征值 B． 0 1 k 是是矩阵 kA 的一个特征值 C． 2 0 k 是矩阵 kA 的一个特征值 D． 2 0 k 是矩阵 2 k A 的一个特征值 2. 设 2 阶矩阵 A= 2 1 1 2 ，则 A 的特征值为（ ） A． 1 和 3 B． 1 或 3 C． -1 和 3 D． 1 和-3 3．设向量 (1, 2,2)T = − ，向量 (2,2, 1)T = − ，则向量 与 的内积为（ ） A． 4 B． -4 C． 5 D． -5 4．三阶矩阵 A 的特征值为 1,-2,3，则下列矩阵中非奇异矩阵是（ ） A． 2E − A B． 2E + A C． E − A D． A−3E 5．设 0 = 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 1 2 1 ( ) 3 A − 必有一个特征值为（ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 4 3 − D． 3 4 − 6．矩阵 A 与 B 相似的充分条件是（ ） A． A B = B． r A r B ( ) ( ) = C． A 与 B 有相同的多项式
D.n阶阵A与B有相同的多项式且n个特征值互不相同 7.设A与B为n阶矩阵，且A与B相似，则《) A.E-A=E-B是肥库kA的一个特征值 B。A与B有相同的特征值与特征向量 C,A与B都相似于一个对角矩阵 D.对任意常数1，E-A与E-B相似 1 2 8。设A与B为相似电阵，其中矩阵A= -1 已知矩降B有特征值1,2,3， 001 则x=() A.4 B.-3 C.-4 D.3 0 01 9。设三阶矩阵A= x I 0 有三个线性无关的特征向量，则x=《) 100 A-] B.0 C.1 D.2 10 0 10.与矩阵A= 0 1 0 相似的矩阵是() 002 11 11 0 2 1 0 1 0 100 1 0 0 2 101 1 0 1 C. 01 D. 0 2 1 002 0 1 二、填空题 11.设2是n阶可逆矩库A的一个特征值，则A厂的一个特征值为 :A的 一个特征值为 :A"的一个特征值为
D． n 阶矩阵 A 与 B 有相同的多项式且 n 个特征值互不相同 7．设 A 与 B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，则（ ） A． E − A = E − B 是矩阵 kA 的一个特征值 B． A 与 B 有相同的特征值与特征向量 C． A 与 B 都相似于一个对角矩阵 D． 对任意常数 t ，tE− A 与 tE− B 相似 8．设 A 与 B 为相似矩阵，其中矩阵 1 2 3 1 2 0 0 1 A x = − ，已知矩阵 B 有特征值 1,2,3， 则 x = （ ） A． 4 B． -3 C． -4 D． 3 9．设三阶矩阵 0 0 1 1 0 1 0 0 A x = 有三个线性无关的特征向量，则 x = （ ） A． -1 B． 0 C． 1 D． 2 10．与矩阵 100 0 1 0 0 0 2 A = 相似的矩阵是 （ ） A． 1 1 0 0 2 1 0 0 1 B． 1 1 0 0 1 0 0 0 2 C． 1 0 1 0 1 0 0 0 2 D． 1 0 1 0 2 1 0 0 1 二、填空题 11.设 是 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，则 1 A − 的一个特征值为 ; * A 的 一个特征值为 ; m A 的一个特征值为 ．
12.设3阶方阵A的特征值为入=-，入==2，则A特征植为_ A的特征值为 二，(A-E)产的特征值为 13,n阶零矩阵的全都特征向量为 14.若A=E,则A的特征值为 三、计算题 15.把下列向量单位化： (1)a=(20,-5,-1)7 (2)a=(-3,4,0,0) 16.将下列线性无关的向量组正交化： 1)4=(1,2,2,-1),2=(1,1,-5,3),41=(3,2,8-7) (2)4=1,-2,2),a2=(-1,0,-1),%=(5,-3-7) 「32-1 13,己知矩阵A=a-2 2 如果A的特征值入对应的一个特狂向量 3b-1 a%,=(L,-2,3)了，求a,b和2的值. 56-3 「0011 「1312 18.已知A= -10 1B=0 10C= 0-113求矩库A.B和C的特 12 100 0025 0 002 狂植与特征向量。 「200 「2 00 19.已知矩阵A=001和B=0 34 相似。求x,y的值. 01x 0 -2y」 20.设三阶实对称矩阵A的特任值是1,2,3，矩阵A的对应于1,2的特征向量分别为 4=(-1,-1,1),42=(0,-21 (1)求A的对应于特征值3的特征向量 (2)求矩殊A. x02 21.设炖库A-030的一个特任值入=0，求A的其他特征值入，入3的值。 202
12.设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 = − = = 1, 2, 则 1 A − 特征值为 ； * A 的特征值为 ， 2 (A − E) 的特征值为 ． 13.n 阶零矩阵的全部特征向量为 ． 14.若 A = E 2 ,则 A 的特征值为 ． 三、计算题 15.把下列向量单位化： （1） (2,0, 5, 1)T = − − （2） ( 3,4,0,0)T = − 16.将下列线性无关的向量组正交化： （1） 1 2 (1,2,2, 1) , (1,1, 5,3) , T T = − = − 3 (3,2,8, 7)T = − （2） 1 2 (1, 2,2) , ( 1,0, 1) , T T = − = − − 3 (5, 3, 7)T = − − 17. 已知矩阵 3 2 1 2 2 3 1 A a b − = − − ，如果 A 的特征值 1 对应的一个特征向量 1 (1, 2,3)T = − ，求 a b, 和 1 的值． 18.已知 5 6 3 1 0 1 1 2 1 A − = − ， 0 0 1 0 1 0 1 0 0 B = , 1 3 1 2 0 1 1 3 0 0 2 5 0 0 0 2 C − = 求矩阵 A ,B 和 C 的特 征值与特征向量． 19.已知矩阵 2 0 0 0 0 1 0 1 A x = 和 2 0 0 0 3 4 0 2 B y = − 相似，求 x y, 的值. 20.设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1,2,3，矩阵 A 的对应于 1,2 的特征向量分别为 1 2 ( 1, 1,1) , (1, 2,1) T T = − − = − （1）求 A 的对应于特征值 3 的特征向量. （2）求矩阵 A. 21.设矩阵 0 2 0 3 0 2 0 2 x A = 的一个特征值 1 = 0 ，求 A 的其他特征值 2 3 , 的值
22.设矩库A和B相似，其中 「1-11 「2 24-2 B-2 -3-3a 求a,b的值，并求可逆矩库P,使PAP=B: 四、证明题 23.授阵A非奇异，证明：AB~BA. 24。证明：相似矩阵有相同的秩
22.设矩阵 A 和 B 相似，其中 1 1 1 2 2 4 2 , 2 3 3 A B a b − = − = − − 求 a b, 的值，并求可逆矩阵 P,使 1 P AP B − = . 四、证明题 23. 设矩阵 A 非奇异，证明： AB BA ~ . 24. 证明：相似矩阵有相同的秩