第3章微分中值定理与导数的应用(61题) 一、选邦恩 I,罗尔定理中的三个条作：f(x)在[a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),是f(x) 在(，b)内至少#在一点5，使f气)=0成立的(》.（较易） A,必要条件B、充分条件C、充要条件D、既丰充分也非必要条件 2、在区间1，】上满足罗尔定理条件的函数是( )。(较易) A./(x)=sinz B、fx)=(x+1y2C、x)=x D、fx)=x2+1 3、函数(x)=2x√2-x在区间0,2]上满足罗尔定理的=( )(中等) A.0 B、1 D.2 4、设fm)在a,b创上违续，在a,b内可导，a知b,则下式中不一定成立的是(). (拉难) A.f(b)-f(a)=f'()(b-a)E(a.b) B.fb)-f八=f'(5)h-a5∈(n) C,f-f)=f'(5月)数-)5∈a,b D、fe)-f)-f"(5)(-5∈m,) 5、在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是( )。〔中等) A、n B、m()mC 。x十snx n x" D、im 0sn x +0了 e 6、设ap0。b0,则lim 0°-b )。(中等) A,不存在 B.8 C. n哈 7、函数y=x+一的单调减少区间为( ).(较易) A.(-2)U(2.+)B、(-22 C、(,0)U(0,+) D、(-20)U02) 8.设函数x)=归x,则下列结论正确的是( )。(较易》 A,f(x)在(0，)内单调减少 B、f(x)在(0，©)内单调减少
第 3 章 微分中值定理与导数的应用(61 题) 一、选择题 1、罗尔定理中的三个条件: f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (a) = f (b) ，是 f (x) 在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) = 0 成立的（ ）。（较易） A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、 既非充分也非必要条件 2、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）。（较易） A、 sin ( ) x f x x = B、 2 f x x ( ) ( 1) = + C、 2 3 f x x ( ) = D、 2 f x x ( ) 1 = + 3、 函数 f x x x ( ) 2 2 = − 在区间[0，2]上满足罗尔定理的 c=（ ）（中等） A、0 B、1 C、 3 4 D、2 4、设 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，a 0，b>0，则 0 lim x x x a b → x − = （ ）。（中等） A、不存在 B、 b a C、∞ D、ln b a 7、函数 x y x 4 = + 的单调减少区间为（ ）。（较易） A、(-∞,-2)∪(2,+∞) B、(-2,2) C、(-∞,0)∪(0,+∞) D、(-2, 0)∪(0,2) 8、设函数 ln ( ) x f x x = ，则下列结论正确的是（ ）。（较易） A、 f x( ) 在(0，+∞)内单调减少 B、 f x( ) 在(0，e)内单调减少‘
C、f(x)在(0，+e)内单调增加 D,f八x)在0，c内单调增如 9.已知x=区是4数f)=ac08x+in2x的驻点，则常数a=( ).(较易) 2 2 A,3 B、2 C、l D、0 10、函数风在x一静处取得极小值，则必有〔 ).(较易) A.f()-0 B、(x)0 C.f(%)-0,且f"(x)0 D、(黑)0或(x)不存在 11,设函数)在x=和处了(x)=0。且了气x)=0,则x)在x=点《)。（较易） A、一定有最大 B、一定有极小值 C、不一定有极值 D、一定没有极值 12.当a-()时，)=as如x+如班在x=又处取得极值（ )。(中等) 3 3 A、1 B、2 C. D、0 13、已知函数fx)=2-4x+1在x=2处取得极值，则常数aF().(中等) A、0 B、1 C.2 D、3 14、由线()（较易》 A.拐点为(0,0) B.有两个拐点 C有一个易点 D.设有拐点 15、已知曲线y=x3+r2-9r+4在1处有拐点，则m( ).(较易) A,3 B、2 C、2 D、3 16、y=xe3的凸区间是()。（中等） A、(-,2) B、(-9,-2) C、(2,+) D、(-2,+) 17、自线y=x+2x-3上 处的曲率最大.（中等） A,X=1 B.x=-1 C、x=0 D、x= 18、直线y=2x+1上x=1处的由率为 (较易) B、1 C,2 1 A,0 19、华径为R的圆上任意一点的曲率为 (较易) A、0 B、1 C.-1 1 D.R
C、 f x( ) 在(0，+∞)内单调增加 D.、 f x( ) 在(0，e)内单调增加 9、已知 2 x = 是函数 1 ( ) cos sin 2 2 f x a x x = + 的驻点，则常数 a = （ ）。（较易） A、-3 B、 -2 C、-1 D、0 10、函数 f(x)在 x = x0 处取得极小值，则必有（ ）。（较易） A、 ( ) 0 f x =0 B、 ( )0 f x >0 C、 ( ) 0 f x =0，且 ( )0 f x >0 D、 ( ) 0 f x =0 或 ( ) 0 f x 不存在 11、设函数 f(x)在 x = x0 处 f (x) =0，且 f (x) = 0 ，则 f(x)在 x = x0 点（ ）。（较易） A、一定有最大 B、一定有极小值 C、不一定有极值 D、一定没有极值 12、当 a = ( ) 时， 3 sin 3 ( ) sin x f x = a x + 在 3 x = 处取得极值 （ ）。（中等） A、1 B、 2 C、 3 D、0 13、已知函数 2 f x ax x ( ) 4 1 = − + 在 x = 2 处取得极值，则常数 a=（ ）。（中等） A、0 B、1 C、2 D、3 14、曲线 y=x4（ ）（较易） A．拐点为（0，0） B．有两个拐点 C．有一个拐点 D．没有拐点 15、已知曲线 9 4 3 2 y = x + ax − x + 在 x=1 处有拐点，则 a=（ ）。（较易） A、3 B、2 C、-2 D、-3 16、 x y xe − = 的凸区间是（ ）。（中等） A、 (−,2) B、 (−,−2) C、(2,+) D、(−2,+) 17、曲线 2 y x x = + − 2 3 上________处的曲率最大.（中等） A、 x =1 B、 x =−1 C、 x = 0 D、 3 2 x = 18、直线 y x = + 2 1 上 x =1 处的曲率为____________. （较易） A、 0 B、1 C、 2 D、 1 2 19、半径为 R 的圆上任意一点的曲率为____ _______.（较易） A、 0 B、1 C、 −1 D、 1 R
20.、幽线=1+0 I-e )。(中等) A、没有渐近线 B、仅有水平渐适线 C,仅有垂直渐近线 D,既有水平渐近线又有垂直渐近线 21,曲线y=( )(较易) A、有且仅有水平新近线 B、有且仅有垂直渐近线 C,既无水平渐近线也无垂直渐近线 D,既有水平渐近线也有垂直渐近线 22.由线y=arctan.x()(较易) A,有且仅有水平渐近线 B、有且仅有蛋直渐近线 C、既无水平渐近线也无垂直新近线 D、既有水平渐近线也有垂直渐近线 23 、曲线y=0g2x《 )(较易) A,有且仅有水平新近线 B.有且仅有垂直渐近线 C、既无水平渐近线也无垂直新近线 D、既有水平渐近线也有垂直渐近线 二、填空题 1、雨数y=h亩x在，交)上的罗尔中值点5：一（中等） 66 2、y=√压+1在区间【1,3]的拉格朝日中值点5=·（中等） 3、八x)=x2+x-1在区间儿1，]上满足拉格朗日中值定理的中值：=（中等） 3x 4四 ·(较易) 5.lim cos5x 5c0s五 =一·《中第》 ·(中等) 7、函数y=2x23+x2-4x+3的单调减区间是 ·(中等) 8、y=x-arctan.x在且仅在区间 上单调递增。（中等） 9、已知点(，3》是曲线y=ar+b如2的拐点，则一如一·（较难） 10、曲线(x-2了+(y-3行=16上任一点的曲率为一·（较易） 1、y=红+b上任一点的曲率为 ,(较易)
20、曲线 2 2 1 1 x x e e y − + = （ ）。（中等） A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线 C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线又有垂直渐近线 21、曲线 1 y x = （ ）（较易） A、有且仅有水平渐近线 B、有且仅有垂直渐近线 C、既无水平渐近线也无垂直渐近线 D、既有水平渐近线也有垂直渐近线 22、曲线 y x = arctan （ ）（较易） A、有且仅有水平渐近线 B、有且仅有垂直渐近线 C、既无水平渐近线也无垂直渐近线 D、既有水平渐近线也有垂直渐近线 23 、 曲线 2 y x = log （ ）（较易） A、有且仅有水平渐近线 B、有且仅有垂直渐近线 C、既无水平渐近线也无垂直渐近线 D、既有水平渐近线也有垂直渐近线 二、填空题 1、函数 y = ln sin x 在 [ 6 5 , 6 ] 上的罗尔中值点 = 。（中等） 2、 y x = +1 在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = 。（中等） 3、 ( ) 1 2 f x = x + x − 在区间[-1,1]上满足拉格朗日中值定理的中值 = 。（中等） 4、 0 3 lim 1 x x x → e = − 。（较易） 5、 = → x x x cos3 cos5 lim 2 。（中等） 6、 1 1 lim( ) x 1 ln x → x x − = − 。（中等） 7、函数 3 2 y x x x = + − + 2 4 3 的单调减区间是 。（中等） 8、 y x x = −arctan 在且仅在区间______________上单调递増。（中等） 9、已知点（1，3）是曲线 3 2 y ax bx = + 的拐点，则 a= ，b= 。（较难） 10、 曲线 2 2 ( 2) ( 3) 16 x y − + − = 上任一点的曲率为 。（较易） 11、 y = kx + b 上任一点的曲率为 。（较易）
12、由线y=。的水平渐近线为 。(中等) 13、自线y= 一的直渐近线为 ·(中等) x+ 三、计算恩 1、求极限lim '-e'-2x (中等) 0-Sin 2、求极限1im 3x-sin3x (中等) (1-cosx)In(1+2x) 3、求极限细了in天 tanx-x (中等) 4、求极限mx2nx(中等) 5m2 -arctan x (中等) 6、求极限m(二- 7、求极限m(1-马（中特） osinx x 8米极限回(m。(难) 4天 9、求下列函数的单调区间和极值。（中等） (1)y=x3-6x3+9x-4: 10、求下列由线的凹凸区间及拐点。（中等） (1)y=2x3-12x2+18x+5: [ay=-号-6r+l0 (3)y=In(l+x) 11,求曲线=家的凹凸区间及拐点。（较难） 12、试确定由找y='+r2+c+d中的a、6、G、d。使得x■-2处曲线有术平切找。 (1,-10)为拐点，且点(-2,4)在曲线上.（较重） 13、求下列函数在指定区间上的最大植与最小值。（中等）
12、曲线 2 x y e − = 的水平渐近线为 。（中等） 13、曲线 2 1 x y x = + 的铅直渐近线为 。（中等） 三、计算题 1、求极限 0 2 lim sin x x x e e x x x − → − − − （中等） 2、求极限 0 3 sin 3 lim (1 cos )ln(1 2 ) x x x → x x − − + （中等） 3、求极限 2 0 tan lim x sin x x → x x − （中等） 4、求极限 x x x lim ln 2 →0 （中等） 5、 lim arctan x 2 x x →+ − （中等） 6、求极限 ) 1 1 1 lim ( 0 − − → x x x e （中等） 7、求极限 0 1 1 lim( ) x→ sin x x − （中等） 8、求极限 x x x tan 0 ) 1 lim ( → + 。（难） 9、求下列函数的单调区间和极值。（中等） （1） 6 9 4 3 2 y = x − x + x − ； （2） 2 ( ) 1 x f x x = + ； 10、求下列曲线的凹凸区间及拐点。（中等） （1） 3 2 y x x x = − + + 2 12 18 5 ； （2） 3 2 3 6 10 2 y x x x = − − + （3） 2 y x = + ln(1 ) 11、求 2 8 x y e − 曲线 = 的凹凸区间及拐点。（较难） 12、试确定曲线 y = ax + bx + cx + d 3 2 中的 a、b、c、d，使得 x = −2 处曲线有水平切线， (1,−10) 为拐点，且点 ( 2, 4) − 在曲线上．（较难） 13、求下列函数在指定区间上的最大值与最小值。（中等）
(1)y=2x2+3x2-12x+14-3,4 (2)f(r)=xsinx+oosx.[] 四、应用题 1、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关干行驶速度黑（千米/ 小时)的函数解析式可以表示为：y 1x-3 x+80<x≤120)，已知甲、乙两 12800080 地相距100千米 (【)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（较难） 2、工厂铁路找上AB段的距离为100张m工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为了运输 需要，要在®线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与公路上 每公里货运的运费之比35，为了使货物从债应站B运到工厂C的运费最省.问D点应这在 何处？ (中等) 100km 20 3、一房地产公可有50套公寓出租。当月租金定为1000元时，公寓会全都租出去。当月租 金每增加50元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需要花费100元的维 修费。试问房和定为多少可获得最大收入？（中等） 4、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吃)与每吨产品的价格P(元/电》之 间的关系式为：p=24200-,且生产x吨的成本为R=500+200x(元).月读厂每 月生产多少吃产品才能使利淘达到最大？最大利洞是多少？（中等） 三设一工件上的椭圆孔形CD。+女1的一段强（蜘图所示）若用砂轮磨果 内表面，问：砂轮的直径最大可选为多少？
（1） 2 3 12 14 3 2 y = x + x − x + [−3,4] （2） f x x x x ( ) sin cos = + ,− , 四、应用题 1、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米/ 小时）的函数解析式可以表示为： 1 3 3 8(0 120) 128000 80 y x x x = − + ，已知甲、乙两 地相距 100 千米. （Ⅰ）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（较难） 2、工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输 需要 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上 每公里货运的运费之比 3:5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D 点应选在 何处？ （中等） 3、一房地产公司有 50 套公寓出租。当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去。当月租 金每增加 50 元时，就会多出一套公寓租不出去。而租出去的公寓每月需要花费 100 元的维 修费。试问房租定为多少可获得最大收入？（中等） 4、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x （吨）与每吨产品的价格 p （元/吨）之 间的关系式为： 1 2 24200 5 p x = − ,且生产 x 吨的成本为 R x = + 50000 200 （元）.问该厂每 月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（中等） 5、 设一工件上的椭圆孔形 CBD 2 2 2 2 1 40 50 x y + = 的一段弧（如图所示）.若用砂轮磨削其 内表面，问：砂轮的直径最大可选为多少？ D C 20km A B 100km D C 20km A B 100km
6某工件内表面的型线为0.42现要用砂轮磨削内表面问应远多大直径的砂轮？ (中等) /-0.4x 7、汽车连同载重共5吨，在抛物线携桥上行驶，速度为21.6kmh,桥的跨度为10m, 拱矢高025m(如下图)，求汽车越过桥项时对桥的压力。（较难） 0.25m 10m
6、某工件内表面的型线为 y=0.4x 2 ,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮? （中等） 7、汽车连同载重共 5 吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为 21.6km/h,桥的跨度为 10m, 拱矢高 0.25m(如下图)，求汽车越过桥顶时对桥的压力。（较难）