第5章微分方程(32题) 一、选择题 1、微分方程yy'+)+y-3x=0的阶数是( )(较易) A、- B、二 C、三 D、四 2、()是一阶微分方程（较易） A.x'y+2y(y)=x B、y”+'+x2=0 C、y”++y=y D、(y2+y=0 3、微分方程yy=x2+1是()（较易） A、一阶线性微分方程 B、二阶线性微分方程 C、齐次微分方程 D、可分离变量的微分方程 4、微分方程(xy)dy-(x-yx0是()（较易） A、可分离变量的微分方程 B、齐次微分方程 C、一阶线性齐次微分方程 D、一阶线性非齐次微分方程 5、()是一阶线性微分方程（较易） A、.y)2-2y'+x=0 B、+2-x=0 C、y'+x2y=0 D、(7x-6y)d+(x+y=0 6、微分方程x-=0的通解是=( )(较易) A.Cx B、e+C C.x+C D、Ce 7、微分方程y=2y满足0)=2的特解为( ).(较易) A、y=Ce B、y=2e C、y=e 8、微分方程xy”y’的一个特解y*=()(中等) A、2x B、2x3 C.2x3 D、2x 9、已知二阶常系数线性齐次微分方程y+四+=0的通解为 y=(C,2x+C:c0s2),则常数p和q分别为()（较难）
1 第 5 章 微分方程（32 题） 一、 选择题 1、微分方程 y y (y ) y 3x 0 2 + + − = 的阶数是（ ）（较易） A、一 B、二 C、三 D、四 2、（ ）是一阶微分方程. （较易） A、 x y + y y = x 2 2 2 ( ) B、 0 2 y + xy + x = C、 y + xy + y = y D、( ) 0 2 y + y = 3、微分方程 y -y=x2+1 是（ ）（较易） A、一阶线性微分方程 B、二阶线性微分方程 C、齐次微分方程 D、可分离变量的微分方程 4、微分方程（x+y）dy-(x-y)dx=0 是（ ）（较易） A、可分离变量的微分方程 B、齐次微分方程 C、一阶线性齐次微分方程 D、一阶线性非齐次微分方程 5、（ ）是一阶线性微分方程.（较易） A、 ( ) 2 0 2 x y − yy + x = B、 xy + 2yy − x = 0 C、 0 2 xy + x y = D、(7x − 6y)dx + (x + y)dy = 0 6、微分方程 xdy− ydx = 0 的通解是 y=（ ）（较易） A、Cx B、e x+C C、x+C D、Cex 7、微分方程 y = 2xy 满足 y(0) = 2 的特解为（ ）。（较易） A、 2 x y = Ce B、 2 2 x y = e C、 2 x y = e D、 2 2 1 x y = e 8、微分方程 xy″=y′的一个特解 y*=（ ）（中等） A、 2x B、 2 2x C、 3 2x D、 4 2x 9、已知二阶常系数线性齐次微分方程 y + py + qy = 0 的通解为 ( sin 2 cos 2 ) 1 2 y e C x C x x = + ，则常数 p 和 q 分别为（ ）（较难）
A,-2和5 B、2和-5 C、2和3 D、2和-3 二、填空题 1、微分方程y+3(y)43+1=0的阶数是 (较易) 2、微分方程x2y+2y2=x的阶数是一 (较易) 3、微分方程(y3+y=0的阶数是 (较易) 4、微分方程(2+xd止+(y+x2y)d=0的通解y= (中等) 5、微分方程女，少=0的通解一 (中等) 6、微分方程y-x=0的通解是 (中等) 7、微分方程)y=sn2x的通解为y (较难)】 8、微分方程y'o的通解y一 (中等) 9、微分方程y'■e'的通解y一 。(中等) 三、计算题 1、求一阶线性微分方程y-3xy=x的通解.（中等） 2、求一阶线性微分方程(x'+1)y+4x3y=c0sx的通解.（中等） 3、求一阶钱性微分方程少+y=的通解（中等）
2 A、-2 和 5 B、2 和-5 C、2 和 3 D、-2 和-3 二 、填空题 1、微分方程 y″+3（y′）4 -3x+1=0 的阶数是_______.（较易） 2、微分方程 x y + y y = x 2 2 2 ( ) 的阶数是______.（较易） 3、微分方程 ( ) 0 2 y + y = 的阶数是_______.（较易） 4、微分方程 2 2 ( ) ( ) 0 xy x dx y x y dy + + + = 的通解 y=___________.（中等） 5、微分方程 2 2 0 dx dy y x + = 的通解 y=___________.（中等） 6、微分方程 y − x = 0 的通解是___________.（中等） 7、微分方程 y = sin 2x 的通解为 y =___________.（较难） 8、微分方程 y =cosx 的通解 y =___________.（中等） 9、微分方程 x y = e 的通解 y =___________.（中等） 三、 计算题 1、求一阶线性微分方程 y − x y = x 2 3 的通解.（中等） 2、求一阶线性微分方程 (x 1) y 4x y cos x 4 3 + + = 的通解.（中等） 3、求一阶线性微分方程 x y e dx dy − + = 的通解.（中等）
4、求一阶线性微分方程y/+2xy=4x的通解.（中等） 求济次方图-江二片的通眼（中等 6、求微分方程=y的通解（中等） 7、求微分方程y=y+x的通解.（中等） 8.求方程了+10时+16y=0的通解 (中等) 9、求方程广+4扩+4y=0的通解（中等） 10、求方程y+4少+5y=0的通解（中等) 11、求微分方程y矿-3y+2y=s血x的通解.（中等）
3 4、求一阶线性微分方程 2 y + 2xy = 4x 的通解.（中等） 5、 . 2 1 2 1 求齐次方程 的通解 − − − + = x y x y y （中等） 6、求微分方程 xy y = 的通解.（中等） 7、求微分方程 y = y + x 的通解.（中等） 8、求方程 y y y + + = 10 16 0 的通解. （中等） 9、求方程 y y y + + = 4 4 0 的通解. （中等） 10、求方程 y y y + + = 4 5 0 的通解. （中等） 11、求微分方程 y −3y + 2y = sin x 的通解.（中等）
四、应用题 1、有一汽艇以10km/h的速度在静水中行进时关闭了发动机，经过20s后，汽艇 的速度减至6m/h,已知汽艇在静水中行进时受到水的阻力与速度成正比.试 确定发动机停止后汽艇的速度随时间变化的规律，（较难） 2、设一物体的湿度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却。试求 物体温度T随时间！变化的规律。（中等） 3、设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳 伞塔时(0)速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系。（中等） 4、设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=动，两岸为平行直线，水流速度为a 有一只鸭子从点A游向点O,设鸭子（在静水中）的游速为b(b>a),且鸭子游 动方向始终朝着点O,求鸭子游过去的路线的方程。（较难）
4 四、应用题 1、有一汽艇以 10km/ h 的速度在静水中行进时关闭了发动机，经过 20s 后，汽艇 的速度减 至 6km/ h ．已知汽艇在静水中行进时受到水的阻力与速度成正比．试 确定发动机停止后汽 艇的速度随时间变化的规律．（较难） 2、设一物体的温度为 100℃，将其放置在空气温度为 20℃的环境中冷却。试求 物体温度 T 随时间 t 变化的规律。（中等） 3、设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳 伞塔时(t=0)速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系。（中等） 4、设河边点 O 的正对岸为点 A，河宽 OA=h，两岸为平行直线，水流速度为 a. 有一只鸭子从点 A 游向点 O，设鸭子（在静水中）的游速为 b（b>a），且鸭子游 动方向始终朝着点 O，求鸭子游过去的路线的方程。（较难）
第6章空间解析几何和向量代数(23) 一、透择题 1、设a=3i-2j+4,6=i+j-2k,求a×6是：()（较难） A、-10j+5派B、107+5 C、8+10j+5D、107-5 2、设a=2i+3新+k6=i-2j+k求a×6是：（)（较难】 A、57-j-7kB、-57+j+7派C、57+j-7k D、5-j+7k 3、设a=j-青，6=7-j.求2a×b是：()（较难） A、-27-2j-2fB、7+j-5fC、-2i-万-2g D、37-3j+3k 4、设a={1,-13},b={2,-12),求c=3a-2b是：（ )较易) A.{-l,1,5} B、{-1-151.C、{1l,5.D、【ll,6} 5、通过点M5,2-)且平行于g平面的平面方程为( ):(较难) A)x+5=0 B)y-2=0 C)+1=0 D)x-1=0 6.求平行于：轴，且过点M,L,0)和M,(2-1)的平面方程.是()（较易） A)2x+3y-5-0B)x-y+l=0C)x+y+1=0 D)x+y-1=0 7、空间直线：1.+2号与平面3x-2y+7:-1的相互位置关系是() 3 -27 (较难) A,互相平行但不相交 B、互相垂直 C、不平行也不垂直 D、直线在平面内 二、填空题 1、已知ā-(1.L,216-(2.1,0),则a-b=」 2、已知a=(1-l,0.6=(231)则a-2b= 3、已知a-(-1.02b=(123),则a-b= 4、设a=L,2,3).b=(-2,k4),且a⊥b,则★=
5 第 6 章 空间解析几何和向量代数（23） 一、选择题 1、设 a i j k b i j k = − + = + − 3 2 4 , 2 , 求 a b 是：（ ） （较难） A、 j k −10 +5 B、 j k 10 +5 C、 j k 8+10 +5 D、 j k 10 −5 2、设 a i j k b i j k = + + = − + 2 3 , 2 , 求 a b 是：（ ） （较难） A、 i j k 5 − −7 B、-5 +7 i j k + C、 i j k 5 + −7 D、 i j k 5 − +7 3、设 a j k b i j = − = − , , 求 2 a b 是：（ ） （较难） A、 − − − 2 2 2 i j k B、i j k + − 5 C、− − − 2 2 i j k D、 i j k 3 − 3 + 3 4、设 a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求 c=3a-2b 是： （ ） (较易) A、{-1,1,5}. B、 {-1,-1,5}. C、 {1,-1,5}. D、{-1,-1,6}. 5、通过点 M (− − 5,2, 1 ,) 且平行于 yoz 平面的平面方程为（ ）；（较难） A ) x + =5 0; B ) y − =2 0; C ) z + =1 0; D ) x − =1 0. 6、求平行于 z 轴，且过点 (1,0,1) M1 和 (2, 1,1) M 2 − 的平面方程．是（ ）(较易) A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D） x + y −1 = 0 ． 7、空间直线 1 2 3 2 7 x y z − + = = − 与平面 3 2 7 1 x y z − + = 的相互位置关系是（ ） （较难） A、互相平行但不相交 B、互相垂直 C、不平行也不垂直 D、直线在平面内 二、填空题 1、已知 a = (1,1,2),b = (2,1,0) ，则 a b = __________. 2、已知 a = (1,-1,0),b = (2,3,1) ，则 a b = 2 __________. 3、已知 a = (-1,0,2),b = (1,2,3) ，则 a b = __________. 4、设 a = (1,2,3),b = (−2,k,4) ，且 a b ⊥ ，则 k = ___________
5、已知向量a=(-2,6,-3),则向量a的方向余弦c0sa■，c0sB=一 cosy=(中等) 6、已知a、及y是向量a的三个方向角，则m'《+sn2B+m2y=_(较易) 7、已知M,(3,-l.-2),Ml2.-0,则向量M,M2的方向余弦c0s=一·cosB- ”一，csy■（中等） 1:-2.y+2.-8 &、通过原点且垂直于直线”3-25的平面方程为 (较易) 9、求过点(1.1.1)且与平面3xy+221-0平行的平面方程 (中等) 10、过点L,2,3)且垂直于平面3x-4y+:=10的直线方程为 (较易) ,过点R-4L行干面号-号-受 的直线方程为 (较易) 12、通过点4〔-3.0,1)和点B(2.-51)的直线 (中等) 13、直线下+少+3=0 和平面x-y-:+1=0的夹角为 (较易) x-y-:=0 14、直线 x+2y-:▣7 与直线.-3.三的夹角为 -2x+y+:=7 2 -1 (中等) -1 15、直线=二=与平面x-y+2-3夹角为 2-12 (中等) 三、计算题 1、求通过点M,(3.L-1)和点M:L,-1.0)且平行于矢量ā=【-1,0,2的平面.（中等）
6 5、已知向量 a = − − ( 2,6, 3) ，则向量 a 的方向余弦 cos = ____， cos =____， cos =_______.(中等) 6、已知 、 、 是向量 的三个方向角，则 + + = 2 2 2 sin sin sin _____.(较易) 7、已知 1 2 M M (3, 1, 2), (1, 2, 1) − − − ，则向量 M M1 2 的方向余弦 cos = ____，cos - =____，cos =_______.(中等) 8、通过原点且垂直于直线 2 2 8 : 3 2 5 x y z l − + − = = − 的平面方程为___________（较易） 9、求过点(1,1,1)且与平面 3x-y+2z-1=0 平行的平面方程_____________.(中等) 10、过点 P(1,2,3) 且垂直于平面 3 4 10 x y z − + = 的直线方程为____________（较易） 11、过点 P(2, 1,4) − 且平行于直线 1 1 3 1 2 x y z − + = = − 的直线方程为____________（较易） 12、通过点 A(−3,0,1) 和点 B(2,−5,1) 的直线_________________________.（中等） 13、直线 − − = + + = 0 3 0 x y z x y z 和平面 x − y − z +1= 0 的夹角为_______（较易） 14、直线 − + + = + − = 2 7 2 7 x y z x y z 与直线 1 1 3 2 1 − = − − = x − y z 的夹角为____________ (中等) 15、直线 2 1 2 1 1 + = − = x − y z 与平面 x − y + 2z = 3 夹角为____________ (中等) 三、计算题 1、求通过点 (3,1, 1) M1 − 和点 (1, 1,0) M 2 − 且平行于矢量 a = {−1,0,2} 的平面.(中等)
第7章多元函数微分学(41题) 一、选择是 1、函数f红)-9-户的定义城是（)（较易） 2+y2-4 A.x,yp<x2+y2<3到 B.(xy水<x2+y2<9明 Cx,y4<x2+y2s明 D、x,y2<x2+y2s3引 2、设函数川-+上，则fx（)(较易) x-y A 1+y B,少+y C、-y D、'-x 1-y x-y x+y x+x 3极限my =()(较难) 0x+y2 0 A、等于0 B、不存在 c.等于 D、存在且不等于0或 4、hm 2-w+4=（） A、不存在 B、-I 4 c D、0 5设：=，则到 ■=()（中等）》 A、1B、eC、0 D、 e 6、设：=n,则 =《)（中等） A、E B、I c、 D、I x y 7、设：=chn,，x=+v,y=M-p,则+=( )(较难) N-T P■联 A. C. 8、设函数：=，则全微分出脚=〔)（中等）
7 第 7 章 多元函数微分学（41 题） 一、选择题 1、函数 f (x, y) = x y 4 ln(9 x y ) 2 2 2 2 + − − − 的定义域是（ ）（较易） A、{( , ) 2 3} 2 2 x y x + y B、{( , ) 4 9} 2 2 x y x + y C、{( , ) 4 9} 2 2 x y x + y D、{( , ) 2 3} 2 2 x y x + y 2、设函数 x y x y f x y − + ( , ) = ,则 , ) = 1 ( x y f （ ）（较易） A、 xy xy − + 1 1 B、 xy y x y + − C、 x y xy y + − D、 y x x xy − + 3、极限 lim x y x y → x y → + 0 0 2 4 2 =（ ）（较难） A、等于 0 B、不存在 C、等于 1 2 D、存在且不等于 0 或 1 2 4、 = − + → → xy xy y x 2 4 lim 0 0 （ ） A、不存在 B、 4 1 − C、 4 1 D、0 5、设 y z = x ，则 ( ,1) e z y = =（ ）（中等） A、 1 B、 e C、 0 D、 e 1 6、设 y x z = ln ，则 z x = （ ）（中等） A、 x y B、 x 1 C、 x y 1 1 − D、 y 1 7、设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v ，则 u v z z + = （ ）（较难） A、 2 2 u v u v − − B、 2 2 u v v u − − C、 2 2 u v u v + − D、 2 2 u v v u + − 8、设函数 x y z e − + = ，则全微分 dz (1,1) = （ ）（中等）
A、t- B、t+ C、t-少 D、+ 9、函数：=0-x)2+1-y2的驻点是()（较易） A、(0.0) B、(01) C、L.0) D、) 10、设f(黑，y）=x2+y-y2,则f00)是f八xy)的()。（中等） A、极大值 B、极小值 C,非极值 D、不能确定 二、填空题 1、lim(x2+Jy2)sin- 2+52 (较易) 2设Zx2+y,则 (较易) 3设：=+ ，则正」 正 4设2=5x+-2y,则2 .(中等) y 5、设Z=+,则止= (中等) 6、函数：=xsin(x+月.则止oa= (中等) 7、函数x,）=x2+y2+:2在点M-l,2)处的梯度gudw= (中等) 8.设f,,）-x2+2y2+3z2+3x-2y,则gdr,L2）-(中等) 9、求函数：=x2-罗+y2在点M)处沿与Ox轴正向成的方向7上的方向导 数为 10、求函数2在点P1,0沿从点P1,到点C2,-)的方向的方向导数为 (中等) 11、求函数：=y+mx+2y)在点O0,0处沿方向7=(12)上的方向导数为 12、设：=y,则 8: (较难)
8 A、 −dx − dy B、 dx + dy C、dx − dy D、−dx + dy 9、函数 2 2 z = (1 − x) + (1 − y) 的驻点是（ ） （较易） A、(0,0) B、(0,1) C、(1,0) D、(1,1) 10、设 2 2 f (x, y) = x + xy − y ，则 f (0 , 0) 是 f ( x, y) 的（ ）。（中等） A、 极大值 B、 极小值 C、 非极值 D、不能确定 二、填空题 1、 lim( )sin x y x y → x y → + + 2 2 2 2 0 0 1 = .（较易） 2、设 Z=x2+y，则 z x x y = = 2 = 1 _________ （较易） 3、设 2 2 x y z xy + = ，则 __________, = __________ . = y z x z . 4、设 3 4 Z x xy y = + − 5 2 ，则 2Z x y = ___________ .（中等） 5、设 x Z xy y = + ，则 dz = .（中等） 6、函数 z x x y = + sin( )，则 (0,0) dz = （中等） 7、函数 2 2 2 u x y z x y z ( , , ) = + + 在点 M(1,−1,2) 处的梯度 gradu M = （中等） 8、设 f (x, y,z) x 2y 3z 3x 2y 2 2 2 = + + + − ，则 gradf (1,1,2)= （中等） 9、求函数 2 2 z = x − xy+ y 在点 M (1,1) 处沿与 Ox 轴正向成 4 的方向 l 上的方向导 数为__________________. 10、求函数 z=xe2y 在点 P(1，0)沿从点 P(1，0)到点 Q(2，−1)的方向的方向导数为 _____________________（中等） 11、求函数 z = xy+ sin( x + 2y) 在点 O(0,0) 处沿方向 l = (1,2) 上的方向导数为 __________________. 12、设 x z y = ，则 2 2 = z x _________________， 2 2 = z y _________________.（较难）
三、计算题 小、设函数：=儿，川由2：+)=0所确定，求应， ，(中等) 2、设函数：=x,)由方程甚-n三所确定，求座和空 (较难) 3、设函数：=x,)由方程：-3=0所确定，求应和应（中等） 4、求1.04四的近似值。（中等） 5、在曲线=4，=，=上求一点，使比点的切线平行于平面x+2y+-4=0 (中等) 6、曲线=古少=中，：=产在11处的切线及法平面方程（中等 7、曲线x=ac0sf,y=asin1,三=br(a≠0，b≠0)在点(a,0,0)的切线及法 平面方程（中等） 9
9 三、计算题 1、设函数 z = f (x, y) 由 2xz + ln( xyz) = 0 所确定，求 、 z z x y . （中等） 2、设函数 z z x y = ( , ) 由方程 y z z x = ln 所确定，求 x z 和 y z （较难） 3、设函数 z z x y = ( , ) 由方程 3 0 3 z − xyz = 所确定，求 x z 和 y z （中等） 4、求 2.02 （1.04） 的近似值. （中等） 5、在曲线 x=t， y=t 2，z=t 3 上求一点，使此点的切线平行于平面 x + 2y + z − 4 = 0 （中等） 6、曲线 t t x + = 1 ， t t y +1 = ， 2 z = t 在 t = 1 处的切线及法平面方程（中等） 7、曲线 x a t = cos ， y a t = sin ， z bt a b = ( 0, 0) 在点（a，0，0）的切线及法 平面方程（中等）
8,曲线x=3c0s0,y=3sin8,:=40在点（方，）处的切线及法平面方程] (中等) 9、求曲面2y°+29：-：2=2在点M(-21.4)处的切平面和法线方程.（较难） 10、求曲面乏+户 平行于平面2+2y-:=0的切平面和法线方程（难） 11、求旋转抛物面zx2+y2-1在点(2.1,4)处的切平面及法线方程.（较难） 12、求球面x2+y2+:2=14在点(123)处的切平面及法线方程.（较难） 13、求函数（x,y)=x-y-3的极值。（中等） 14、求函数f八x,男，)=-2在4x2+2y2+:3=1条件下的极值.（中等）
10 8、曲线 x = 3cos ， y = 3sin ， z = 4 在点 3 3 ( , , ) 2 2 处的切线及法平面方程 （中等） 9、求曲面 2 2 2 3 2 y + xyz − yz = 在点 M (−2,1,−4) 处的切平面和法线方程.（较难） 10、求曲面 2 2 2 y x z = + 平行于平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面和法线方程.（难） 11、求旋转抛物面 z=x2+y2−1 在点(2,1,4)处的切平面及法线方程 （较难） 12、求球面 14 2 2 2 x + y + z = 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.（较难） 13、求函数 3 3 f x y x y xy ( , ) 3 =−− 的极值。（中等） 14、求函数 f x y z z ( , , ) 2 = − 在 2 2 3 4 2 1 x y z + + = 条件下的极值. （中等）
