第7章多元函数徽分学 一、选择题 +广（)（较难） 1.极限1im x 40 (A)等于0 (B)不存在 (C)等于 (D)存在且不等于0 2 rsin-tysin- 2、设函数f(x,y)= 3*0 则极限imfx,)=()(较导) 0 沙=0 +0 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于0 (D)等于2 3、设u-ctn上，则必=()（中等 x dx )+ (B)x+ 0+ D)- 2+ 4、设旷·则(+2助〔A)(较难) (A)2 (B)1+Hn2 (C)0 D)1 5.设fx)=H上+x),则L,0)=《)(中等) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 2+y2 6、曲线 4 在点(2,45)处的切线与x轴正向所成的倾角是( )(较难) y=4 o D 6 7、函数：■(x,y)在点(x。,八，)处具有偏导数是它在该点存在全微分的()（较易） (A)必要面非充分条件 (B)充分面非必要条件 (C)充分必要条件 (D)概丰充分又非必要条作 8.设：=acan二，x=+,y=-,则+=()（较难）
第 7 章 多元函数微分学 一、选择题 1.极限 lim x y x y → x y → + 0 0 2 4 2 =（ ）（较难） （A）等于 0 （B）不存在 （C）等于 1 2 （D）存在且不等于 0 或 1 2 2、设函数 f x y x y y x xy xy ( , ) sin sin = + = 1 1 0 0 0 ，则极限 lim ( , ) x y f x y → → 0 0 =（ ）（较易） （A）不存在 （B）等于 1 （C）等于 0 （D）等于 2 3、设 arctan y u x = ，则 u x =（ ）（中等） (A) x x y 2 2 + (B) − + y x y 2 2 (C) y x y 2 2 + (D) 22 x xy − + 2 2 x x y − + 4、设 x zy = x z y = ，则 (2,1) ( ) z z x y + = （ A ）（较难） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 5、设 ( , ) ln( x) x y f x y = + ，则 (1,0) x f = （ ）（中等） （A）0 （B）1 （C） −1 （D）2 6、曲线 2 2 4 4 x y z y + = = 在点 (2, 4,5) 处的切线与 x 轴正向所成的倾角是（ ）（较难） (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 6 7、函数 z = f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）（较易） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 8、设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v ，则 u v z z + = （ ）（较难）
(A)u-F 2- 《C)W-p + (D)-W u2+m2 9、函数：=(1一x)3+(1一y)的驻点是(）（较易） (A)0.0) (B)(0.0 (c)(1.0) (D)(11) 10、设：=f(W,v),其中u=e,v=x+y,下面运算中( )(较难) 0:8f axdy v (A)1,都不正确 (B图！正确，Ⅱ不正确 (C1不正确，Ⅱ正确 (D)/,∥都正确 11、函数fx,y)=(x2+y2子-2(x2-y)的极值点是()（中等》 (A)(0,0) (B)(1,0) (C)(0,-1) (D)(0.1) 12、授数f(xy)=4x-)-x2-y2,则(2.-2)是fx,y)的()（中等） (A)极大值点 (B)极小值点 (C)鞋点面非极值点 (D)季驻点 13.二元函数（x,)在点（无，另）的两个偏导数（无，为），∫（名，）都存在。则 f(x,)( )(较难) (A)在该点可微 (B)在该点连线可微 (C)在该点任意方向的方向导数军存在 (D》以上都不对 14、设函数：-1-2+y,则点(0.0)是函数：的《)（较易） (A)极大值点但非最大植点 (B)极大值点且是最大值点 (C)极小值点但丰最小值点 (D)极小值点且是最小值点 15、设曲面：■y上点P的切平面平行于平面4x+2y+:=16,则P点到已知平面的距 离()（较难） (A.)21 (B)2I (C.) 4 1 2 (D) 21 x=I 16.曲线{y=户上点M处的切线平行于平面x+2y+:=4,则点M的坐标为〔) =p
（A） 2 2 u v u v − − （B） 2 2 u v v u − − （C） 2 2 u v u v + − （D） 2 2 u v v u + − 9、函数 2 2 z = (1− x) + (1− y) 的驻点是（ ） （较易） （A） (0,0) （B） (0,1) （C） (1,0) （D） (1,1) 10、设 z f u v = ( , ) ，其中 , x u e v x y − = = + ，下面运算中（ ）（较难） 2 2 2 : , : z f f z f x I e II x u v x y v − = − + = (A) I II , 都不正确 (B) I 正确， II 不正确 (C) I 不正确， II 正确 (D) I II , 都正确 11、函数 2 2 2 2 2 f x y x y x y ( , ) ( ) 2( ) = + − − 的极值点是（ ）（中等） （A） (0,0) （B） (1,0) （C）（0，-1） （D）（0,1） 12、设函数 2 2 f (x, y) = 4(x − y) − x − y ，则 (2,−2) 是 f (x, y) 的（ ）（中等） （A）极大值点 （B）极小值点 （C）驻点而非极值点 （D）非驻点 13、二元函数 f x y ( , ) 在点 ( x y 0 0 , ) 的两个偏导数 f x y f x y x y ( 0 0 0 0 , , , ) ( ) 都存在，则 f x y ( , ) （ ）（较难） （A）在该点可微 （B）在该点连续可微 （C）在该点任意方向的方向导数都存在 （D）以上都不对 14、设函数 z = 1− x + y 2 2 ，则点 (0,0) 是函数 z 的（ ）（较易） （A）极大值点但非最大值点 （B）极大值点且是最大值点 （C）极小值点但非最小值点 （D）极小值点且是最小值点 15、设曲面 z = xy 上点 P 的切平面平行于平面 4x + 2y + z = 16 ，则 P 点到已知平面的距 离（ ）（较难） （A.） 21 （B） 21 （ C.） 21 24 （D） 21 1 16、曲线 = = = 3 2 z t y t x t 上点 M 处的切线平行于平面 x + 2y + z = 4 ，则点 M 的坐标为 （ ）
(较难) (A)(LLI) 111 (B(3927 ,111 (c)( (D)(-39,-27) 17、若曲面：=1-x+y2在点P处的切平面平行于平面3x-2y+:-21=0,则点P的坐 标为()（较难） (A)(0,0,0)或(1，-1，-3) (B)(,0,0)或(1，-1，-3) (C)020成(-1L3) (D)1L)减(-1山3) 二、填空题 1、极限1i sin(xy) (较易) +玉 2.函数：=n(Uy-)+ 的定义域为 (中等) A-r-y 3、函数Z=√-x-了+√层+严-1的定义城是 (较易) 4、设Zx+y,则 ,(较易) a 42 5.设Z=5x+-2y°，则 82 《中等) x小 6、设Z=ln(x+y2).则比= 一（中等） 7、函数：=n2+x+y)在x=2,y=1时的全微分为 (中等) 8、设：=f红，以，由：3+x:+’=1所确定，则厂0.0)- 9.设曲线x=1+, =中7=2☑在1=1上的切线方整为 《中等) 10、函数：=2x2-3y2-4x-6y-1的驻点是·（较易） 1l、设x,,)=xy+:在点M2.1,0)处的梯度ah创w= (中等) 12、设函数Z=-3y+3+1在M《31)处沿3,4方向的方向导数为 (中等) 13、求Z=3x+灯+少在点(1,2)处与X轴正向成135度角。与Y轴正向成45度角的方
（较难） （A） (1,1,1) （B） ) 27 1 , 9 1 , 3 1 (− − （C） ) 27 1 , 9 1 , 3 1 ( （D） (−3,9,−27) 17、若曲面 3 2 z =1− x + y 在点 P 处的切平面平行于平面 3x − 2y + z − 21 = 0 ，则点 P 的坐 标为 （ ） （较难） （A） (0,0,0) 或 (1,−1,−3) （B） (1,0,0) 或 (1,−1,−3) （C） (1,2,1) 或 (−1,1,3) （D） (1,1,1) 或 (−1,1,3) 二、填空题 1、极限 lim sin( ) x y xy → x → 0 = .（较易） 2、函数 ( ) 2 2 arcsin 1 x z y x x y = − + − − 的定义域为 .（中等） 3、函数 2 2 2 2 Z x y x y = − − + + − 4 1 的定义域是 _________________.（较易） 4、设 Z=x2+y，则 z x x y = = 2 = 1 _________ 。（较易） 5、设 3 4 Z x xy y = + − 5 2 ，则 2Z x y = ___________ .（中等） 6、设 2 Z x y = + ln( ) ，则 dz = .（中等） 7、函数 2 2 z x y = + + ln(2 ) 在 x y = = 2, 1 时的全微分为_______________（中等） 8、设 z = f (x, y) ，由 1 5 4 3 z + xz + yz = 所确定，则 (0,0) = ' x f 。（较难） 9、设曲线 t t x + = 1 ， t t y + = 1 ， z = 2t 在 t =1 上的切线方程为_______________（中等） 10、函数 z = 2x − 3y − 4x − 6y − 1 2 2 的驻点是_________.（较易） 11、设 2 2 u x y z x y xy z ( , , ) = + 在点 M(2,1,0) 处的梯度 gradu M = .（中等） 12 、 设函数 3 2 2 Z x x y xy = − + + 3 3 1 在 M （ 3,1 ） 处 沿 {3,4} 方 向 的 方 向 导 数 为 _______________________（中等） 13、求 4 3 Z=3x xy y + + 在点（1,2）处与 X 轴正向成 135 度角，与 Y 轴正向成 45 度角的方
向上的方向导数为 ,(中等) 13、已知曲面：-y上的点P处的法线1平行于直线(：，=了=，二，则该法线 -12 方程为 (中等) 三、计算题 求下列函数的极限 F+ 少 (中等》 (2)1im1+s对ny)”(较难) 0 2、求下列函数的偏导数： 1)=r+r (中等) (2):=1+y〔较难) 立 (x+y)sin- .设f黑，y)= +产r+护0 1 ，求x,y以(x,y以（较难） ,x2+y2=0 4、求下列函数的偏导数 (1):=arctan (中等) (2):=y(中等) 5、求u=xy旷：的全微分（较雄） 6、设：=whV,其中w=c0s1,y=e,求： .(中等) 山 1设：=csn-功.而x=3,y=4,求生 (中等) 品设：=+，而和=x+火=不-y,求空空 (中等) dxdy 身设函数=，=+，r=y,求 .(中等) d a设：=血种微，袋等 Bx'dy (较难) 1、设：-y广+2-)，英中f)可微求在 (较难)
向上的方向导数为_______________________________________（中等） 13、已知曲面 z xy = 上的点 P 处的法线 l 平行于直线 1 6 3 2 1 : 2 1 2 x y z l − − − = = − ，则该法线 方程为_______________________________________（中等） 三、计算题 求下列函数的极限 （1） 0 2 2 0 lim x y xy x y → → + （中等） （2） 1 0 0 lim(1 sin ) xy x y xy → → + （较难） 2、求下列函数的偏导数： （1） 2 2 x y z xy + = （中等） （2） (1 ) y z xy = + （较难） 3、设 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( , ) 0, , 0 x y x y f x y x y x y + + = + + = ，求 ( , ), ( , ). x y f x y f x y （较难） 4、求下列函数的偏导数 （1） arctan y z x = （中等） （2） x z y = （中等） 5、求 y z x u x y z = 的全微分（较难） 6、设 z u ln v 3 = ，其中 t u = cost,v = e ，求： dt dz .（中等） 7、设 z = arcsin (x − y) ，而 x = 3t ， 3 y = 4t ，求 dt dz .（中等） 8、设 2 2 z u v = + ，而 u x y v x y = + = − , ，求 , z z x y （中等） 9、.设函数 u v2 z e + = ， 2 2 u x y v xy = + = , ，求 , z z x y 。（中等） 10、设 = x y z f e y x sin , ，其中 f (u,v) 可微，求 , z z x y .（较难） 11、设 ( ) 2 2 2 z = y + f x − y ，其中 f (u) 可微，求 y z x x z y + .（较难）
12、设函数：=化)由方程：=x+y+:所确定，求产（中等) 13.投-h三，求色及 .(中等) 4、授：=r,求兰的 x (较难) r*索 x+y+:=0 15.设 :(较难) 16、求曲线4-子，萨在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.（中等） 17,求曲线 x2+y2+2=6 在点M(L,-2,)的切线及法平面方程.（中等》 x+y+:=0 18、求曲面2y+2习-2=2在点M(-2,1,4)处的切平面和法线方程.（中等） 19、求曲面：= 一+y2平行于平面2x+2y-=0的切平而方程.（较希） 2 20、求函数=e2y在点P%1,0)沿从点P1,0)到点Q2,-1)的方向的方向导数. (中等) 21、求函数=x2+少2+=在点(1,0,1)处沿方向7={2，-2,1}的方向导数（中等） 22.设fx,y,）=x3+2y2+3知3+xy+3x-2y-6,求g0或L,1.).(中等) 23、求函数“=：在点P,-1,2)处沿什么方向的方向导量最大？并求此方向导数的最大 值。（难） 24、设e-=0,求 .(难) 25、求函数(x,y)=x-y-3y的极植。（中等） 26、求：=x+y-3x2-3y2的极值.（较难） 27、求函数f(x,八）=：-2在4x2+2y2+:3=1条件下的极值。（中等） 四、综合题 1、讨论函数=在0,0)处的选续性，偏导数和可微性。（难）
12、设函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 xy z x y z = + + 所确定，求 z y （中等） 13、设 y z z x = ln ，求 x z 及 y z .（中等） 14、设 x z y = ，求 2 2 2 2 , z z x y （较难） 15、设 2 2 2 0 1 x y z x y z + + = + + = ，求 , dz dz dx dy （较难） 16、 求曲线 x=t y=t 2 z=t 3 在点(1 1 1)处的切线及法平面方程（中等） 17、求曲线 2 2 2 6 0 x y z x y z + + = + + = 在点 (1,-2,1) M0 的切线及法平面方程.（中等） 18、求曲面 2 2 2 3 2 y + xyz − yz = 在点 M (−2,1,−4) 处的切平面和法线方程.（中等） 19、求曲面 2 2 2 y x z = + 平行于平面 2x + 2y − z = 0 的切平面方程.（较难） 20、求函数 z=xe2y 在点 P(1 0)沿从点 P(1 0)到点 Q(2 −1)的方向的方向导数 （中等） 21、求函数 u = x + y + xz 2 2 在点（1，0，1）处沿方向 l = 2,−2,1 的方向导数.（中等） 22、设 f (x, y,z) x 2y 3z x y 3x 2y 6z 2 2 2 = + + + + − − ，求 gradf (1,1,1) .（中等） 23、求函数 u xy z 2 = 在点 P(1,−1,2) 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大 值.（难） 24、设 e − xyz = 0 z ，求 2 2 x z .（难） 25、求函数 3 3 f x y x y xy ( , ) 3 =−− 的极值。（中等） 26、求 3 3 2 2 z = x + y −3x −3y 的极值.（较难） 27、求函数 f x y z z ( , , ) 2 = − 在 2 2 3 4 2 1 x y z + + = 条件下的极值。（中等） 四、综合题 1、讨论函数 z xy = | | 在 (0, 0) 处的连续性，偏导数和可微性。（难）
设=e宁宁，求证：x+y三=2.（中 3、求二元函数：=(x,)=x川4-x一y)在直线x+y=6,x拍和y轴所围成的闭区城 D上的最大值与最小值。（难） 4、某工长生产两种产品A与B,出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品A与生产 y单位的产品B的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+少+3y2)(元)求取得最大利润时， 两种产品的产量各为多少？（中等） 5、某厂要用铁板做成一个体积为8阳的有盖长方体水箱月当长，宽，高各取多少时才 能使用料最省？（中等）
2、设 ) 1 1 ( x y z e − + = ， 求证： z y z y x z x 2 2 2 = + .（中等） 3、求二元函数 2 z f x y x y x y = = − − ( , ) (4 ) 在直线 x y + = 6、 x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（难） 4、某工长生产两种产品 A 与 B，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品 A 与生产 y 单位的产品 B 的总费用是 2 2 400 2 3 0.01(3 3 ) + + + + + x y x xy y （元）求取得最大利润时， 两种产品的产量各为多少？（中等） 5、某厂要用铁板做成一个体积为 8m3 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才 能使用料最省？（中等）