第3章微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1,罗尔定理中的三个条件：f(x)在[a,】上违续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),是f(x) 在(a,b)内至少存在一点5，使广"()=0成立的(》。（较易） A,必要条件B、充分条件 C,充要条件D、既非充分也丰必要条件 2、下列函数在给定区间上不满足拉格明日定理的有()。（中等） A.y=-l2到 B、y=4x3-5x2+x-10,川 C.y=H1+x)0,3] - 3、函数f(x)=2x√2-X在区间0,2]上满足罗尔定理的c=( )。(中等) A.0 B.1 c D.2 4、在以下各式中，极限存在，不能用洛必达法则计算的是《 )。(中等) A、im B. C.lm xsinx 0s目x -403了 x 5、设函数(x)=- =-1,则/( )。(中等) A,在（一o,十∞）单调增加 B.在（一四，十四）单调减少 C在（一1,1）单调减少，其余区间单调增如 D.在（一1,1）单调增加，其余区间单调减少 9 6、函数y=x+二的单调减少区间为( ).(较号) x A,(,-3U(3）B、3,3)C.(,0U0+) D.(-3.0U0,3) 7、下列说法正确的是〔 )。(较难) A、函数的极值点一定是函数的驻点 B、函数的驻点一定是函数的极值点 C,二阶导数非零的驻点一定是极值点 D、以上说法都不对 8、函数八x)在x-处取得极小值，则经有( )。(较易) A.f(x)-0 B.(x)0 C.()=0,且()0 D.()=0或(x)不存在 9、设函数在x=知处f(x)0。且广(x)=0,则几)在x=期点()：（中等） A,一定有最大值B、一定有极小值C、不一定有楼值 D.一定没有极值 10、若在区间(a,b》内，函数(x)一阶导数f(x)>0,一阶导数f气x)>0,则函数f(x)
第 3 章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、罗尔定理中的三个条件: f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (a) = f (b) ，是 f (x) 在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) = 0 成立的（ ）。（较易） A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、 既非充分也非必要条件 2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（ ）。（中等） A、 y = x [−1,2] B、 4 5 1 [0,1] 3 2 y = x − x + x − C、 ln(1 ) [0,3] 2 y = + x D、 [ 1,1] 1 2 2 − + = x x y 3、 函数 f(x) = 2x 2 − x 在区间[0，2]上满足罗尔定理的 c=（ ）。（中等） A.0 B.1 C. 3 4 D.2 4、在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ ）。（中等） A、 x x x sin lim 2 →0 B、 x x x tan 0 ) 1 lim ( → + C、 x x x x sin lim + → D、 x n x e x →+ lim 5、 ( ) ( ) 2 2 , ( ) 1 x f x f x x = − + 设函数 则 。（中等） A．在（－∞，＋∞）单调增加 B．在（－∞，＋∞）单调减少 C．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加 D．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少 6、函数 9 y x x = + 的单调减少区间为（ ）。（较易） A、(-∞,-3)∪(3,+∞) B、(-3,3) C、(-∞,0)∪(0,+∞) D、(-3, 0)∪(0,3) 7、下列说法正确的是（ ）。（较难） A、函数的极值点一定是函数的驻点 B、函数的驻点一定是函数的极值点 C、二阶导数非零的驻点一定是极值 点 D、以上说法都不对 8、函数 f(x)在 x = x0 处取得极小值，则必有（ ）。（较易） A、 ( ) 0 f x =0 B、 ( )0 f x >0 C、 ( ) 0 f x =0，且 ( )0 f x >0 D、 ( ) 0 f x =0 或 ( ) 0 f x 不存在 9、设函数 f(x)在 x = x0 处 f (x) =0，且 f (x) = 0 ，则 f(x)在 x = x0 点（ ）。（中等） A、一定有最大值 B、一定有极小值 C、不一定有极值 D、一定没有极值 10、若在区间（a，b）内，函数 f（x）一阶导数 f (x) 0 ，二阶导数 f(x) 0 ，则函数 f（x）
在此区间内是〔) A,单调减少，由线是下回的 B。单调增加，由线是下凹的 C。单调减少，曲线是下凸的 D.单调增加。曲线是下凸的 11、点(0,1)是由线y=x+br2+c的拐点，则( ).(中等) A.b=0,c=1B、b=-1.c=0 C.b=1c=1 D、b=-lc=1 12、曲线y-二 ),(中等) 1+x A、有一个锡点 B、有二个易点 C、有三个拐点 D、无拐点 、曲线y”4一子的渐近线《 )。(中等) A、无木平渐近线，也无斜渐近线 B、x=2为垂直渐近线，无水平渐近线 C,有水平渐近线，也有垂直渐近线 D、只有水平渐近线 14.由线y= Ite 1-e )4(中等) A,没有渐近线！ B,仅有水平渐近线 C、仅有铅直渐近线 D、既有水平渐近线又有铅直渐近线 15、指出函数y=+36x的渐近线 。(较难) (x+3 A,没有水平渐近线。也没有斜渐近线 B.x=一3为其垂直线渐近线，但无水平渐近线 C.既有垂直渐近线，也有水平渐近线 D,只有水平新近线 二、填空题 1、函数y=5x在0，]上满足罗尔中值定理的点是ξ= 。(中等) 2、八x)=x2+x-1在区间1，门上满足拉格朗日中值定理的中值5=.（中等） 3.lim cos5x 。(中等) C0S3.x 4、1nx-sm1 4x-1 ·(中等) x2-3x 5m2+7不-x- ,(中等) 6、函数y=2x2-9x2+12x-3的单调减区间是 。(中等)
在此区间内是（ ） A．单调减少，曲线是下凹的 B．单调增加，曲线是下凹的 C．单调减少，曲线是下凸的 D．单调增加，曲线是下凸的 11、点（0,1）是曲线 y = x + bx + c 3 2 的拐点，则（ ）。（中等） A、b = 0, c =1 B、b = −1,c = 0 C、b =1,c =1 D、b = −1, c =1 12、曲线 x e y x + = 1 （ ）。（中等） A、有一个拐点 B、有二个拐点 C、有三个拐点 D、无拐点 13、曲线 2 4 x y x = − 的渐近线（ ）。（中等） A、无水平渐近线，也无斜渐近线 B、 x = 2 为垂直渐近线，无水平渐近线 C、有水平渐近线，也有垂直渐近线 D、只有水平渐近线 14、曲线 2 2 1 1 x x e e y − − − + = ( )。（中等） A、没有渐近线； B、仅有水平渐近线 C、仅有铅直渐近线 D、既有水平渐近线又有铅直渐近线 15、 ( ) 2 36 1 3 x y x = + + 指出函数 的渐近线 。（较难） A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B．x＝－3 为其垂直线渐近线，但无水平渐近线 C．既有垂直渐近线，也有水平渐近线 D．只有水平渐近线 二、填空题 1、函数 y = sin x 在 [0, ] 上满足罗尔中值定理的点是 = 。（中等） 2、 ( ) 1 2 f x = x + x − 在区间[-1,1]上满足拉格朗日中值定理的中值 = 。（中等） 3、 = → x x x cos3 cos5 lim 2 ______________。（中等） 4、 2 1 sin sin1 lim x 1 x → x − = − ______________。（中等） 5、 3 3 2 3 lim x 7 1 x x → x x x − + − − =______________。（中等） 6、函数 2 9 12 3 3 2 y = x − x + x − 的单调减区间是 。（中等）
7、函数y=心一x的单调增区间是 :(中等) 10、自线y=e的凸区间是 。(中等) 11、曲线y=xe2的回区间是 ·(中等》 12、曲线y=1-(x-2)的锡点是 ·(中等) 13、由线y=e的水平渐近线为 。(中第) 14、曲线一，子一的水平渐近线为 (中等) x3-x-2 15、曲线y=x+arctanx的渐近线是 (中等) 三、计算题 2--25。（申等) 1.求极限仰x-x 1一).中等) 2.求慢限回宁一x2 3.求极限mxhx.(中等) 本、米极限m -arctanx)。(中等) 5求提限一-之中等 111 6.求极限1+) (中等) x-I Inx 8,求极限m(c),(难) 9、求下列曲线的凹凸区间及拐点。 (1)=3x4-4x3+1。(中等) (2)fx)=x3-3x2-9x+2(中等) 3)y=+x （中等）
7、函数 y e x x = − 的单调增区间是 。（中等） 10、曲线 2 x y e − = 的凸区间是 。（中等） 11、曲线 2x y = xe 的凹区间是 。（中等） 12、曲线 3 y =1−(x − 2) 的拐点是 。（中等） 13、曲线 x y e 1 = 的水平渐近线为 。（中等） 14、曲线 y= 2 2 2 x − x − x 的水平渐近线为________。（中等） 15、曲线 y = x + arctan x 的渐近线是 。（中等） 三、计算题 1、求极限 0 2 lim tan x x x e e x x x − → − − − 。（中等） 2、求极限 ) tan 1 1 lim ( 2 x 0 x x x − → 。（中等） 3、求极限 x x x lim ln 2 →0 。（中等） 4、求极限 lim ( arctan ) x 2 x x →+ − 。（中等） 5、求极限 0 1 1 lim( ) x→ sin x x − 。（中等） 6、求极限 0 1 1 lim ln(1 ) x→ x x − + 。（中等） 7、 1 1 lim( ) x 1 ln x → x x − − （较难） 8、求极限 1 ln 0 lim(cot ) x x x → + 。（难） 9、求下列曲线的凹凸区间及拐点。 （1）y=3x 4−4x 3+1。（中等） （2） ( ) 3 9 2 3 2 f x = x − x − x + （中等） （3） 2 1 x y x = + （中等）
(4)=:+1),(难) 四、证明恩 1、证明arctanx+arccotx= 。(较难) 2 2、利用函数的单调性证明：当x>0时，￥-x2b>0时，-力<h9<-b 。《较难) a 五、应用恩 1、要制透一个容积为30m的带盖圆柱形桶，问：桶的半径r和桶高办用如何确定，才逢 使所用材料最省？《中等) 2、致用长6米的木料加工成一日字形窗概，何它的长和宽分别为多少时，才能使窗根的面 积最大：最大而积是多少？（中等） 3、已知某場生产x件产品的成本为C=25000+200x+ ：《元.（中等） 0 (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利洞最大，应生产多少件产品？ 4.工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100时.就修一条从 工厂到铁路的公路CD,己知铁路与公路每公里运费之比为3：5，为了使火车站B与工厂 C间的运费最省，日D点应选在何处？（较难） 5、某房地产公司有50套公寓要出相，当和金定为每月180元时，公寓会全部粗出去。当和 金每月增加10元封，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 飞。试问房租定为多少可疾得最大收入？《中等)
（4） y=ln (x 2+1)。（难） 四、证明题 1、证明： arctan arccot 2 x x + = 。（较难） 2、利用函数的单调性证明：当 x 0 时， ln(1 ) 2 1 2 x − x + x 。（较难） 3、试用拉格朗日中值定理证明：当 a b 0 时， b a b b a a a b − − ln 。（较难） 五、应用题 1、要制造一个容积为 300 3 m 的带盖圆柱形桶，问：桶的半径 r 和桶高 h 用如何确定，才能 使所用材料最省？（中等） 2、欲用长 6 米的木料加工成一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗框的面 积最大；最大面积是多少？（中等） 3、已知某场生产 x 件产品的成本为 1 2 25000 200 40 C x x = + + （元）。（中等） （1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 4、工厂 C 与铁路线的垂直距离 AC 为 20km, A 点到火车站 B 的距离为 100km .欲修一条从 工厂到铁路的公路 CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5 ，为了使火车站 B 与工厂 C 间的运费最省,问 D 点应选在何处？ （较难） 5、某房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金定为每月 180 元时，公寓会全部租出去。当租 金每月增加 10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费 20 元的整修维护 飞。试问房租定为多少可获得最大收入？（中等）