第5章微分方程(15题) 一、选择题 1、微分方程y”=snx的通解为一()（较易） A.s+Cr+CB、r+C1+CC、r+Cx4CD、+C+C 2、微分方程y+与0的解是()《较易) A.yl B、C、ema D、Je 3、下列函数中哪个不是微分方程y°4y43y-0的解()（较易） A.c B、 C、e D、e1 4、已知二阶常系数线性齐次微分方程y”+防+变=0的通解为 y=(Csm2x+C2cs2),则常数p和q分别为()（中等） A、.2和5 B、2和.5 C、2和3 D、.2和.3 5、微分方程y-2y+3y=5e2的一个特解为()（较难） A. C、2e 二、填空题 1、微分方程-x=0的通解是」 (较易) 2、微分方程y了=005x的通解 (较易) 3、微分方程y”-4y'+7y=e的一个特解为 (较难) 三、计算题 1、求微分方程少+3y=0的通解.（中等）】 2、求微分方程(1+x2)y=2/的通解（中等）
1 第 5 章 微分方程（15 题） 一、 选择题 1、微分方程 y x '' sin = 的通解为 y=（ ）（较易 ） A、sinx+C1x+C2 B、sinx+C1+C2 C、-sinx+C1x+C2 D、-sinx+C1+C2 2、微分方程 y″+y=0 的解是（ ）（较易） A、y=1 B、y=x C、y=cosx D、y=e x 3、下列函数中哪个不是微分方程 y″-4y′+3y=0 的解（ ）（较易） A、e x B、e 2x C、e 3x D、e x+1 4、已知二阶常系数线性齐次微分方程 y + py + qy = 0 的通解为 ( sin 2 cos2 ) 1 2 y e C x C x x = + ，则常数 p 和 q 分别为（ ）（中等） A、-2 和 5 B、2 和-5 C、2 和 3 D、-2 和-3 5、微分方程 y″-2y′+3y=5e2x 的一个特解为（ ）（较难） A、 2x e 9 5 B、 2x e 3 5 C、 2x 2e D、 2x e 2 5 二 、填空题 1、微分方程 y − x = 0 的通解是 （较易 ） 2、微分方程 y = cos x 的通解 （较易 ） 3、微分方程 x y − 4y + 7y = e 的一个特解为 （较难） 三、 计算题 1、求微分方程 '' ' xy y + = 3 0 的通解.（中等） 2、求微分方程 2 (1 ) 2 + = x y xy 的通解（中等）
3、求微分方程)y+二y=x的通解.（中等》 4、求微分方程y一y“=0的通解.（较难） 5、求方程y°+3y+2y=0的通解.（较易） 6.求方程y”-12y+36y=0的通解.（较易） 7、求微分方程)y+2y/+5y=0的通解（较号） 2
2 3、求微分方程 1 y y x x + = 的通解.（中等） 4、求微分方程 0 2 '' ' yy − y = 的通解.（较难） 5、求方程 y y y + + = 3 2 0 的通解. （较易） 6、求方程 y y y − + = 12 36 0 的通解. （较易） 7、求微分方程 y y y + + = 2 5 0 的通解. （较易）
第六章 空间解析几何和向量代数(27愿) 一、选择愿 1.设={1.-13.b加2.-12，求c=302b是() (较易) A、{-11,5}. B、l,-l,5.C、fl,-l,5 D、-1,-l.61 2、设a=3-j-2k,6=7+2)-k,求a×b是()（中等） A.57-5+7kB、-i-3列+5张C、5+j+7派 D、5i-j-7k 3、已知向量a=(-1,32),b=(-30,1),则a×b=()(中等) A.(3,59到B、(-359C.(3-5,9D、(-3-5-9) 4、在空间直角坐标系下，方程3红+5y=0的图形表示为(）（较号） A,通过原点的直线 B,垂直于：轴的直线 C、垂直于：轴的平面 D,通过：轴的平面 5,平面x+y+:=0()(较易》 A、平行于x轴： B、平行于y轴：C、平行于：轴： D、过原点 6、求两平面x+2y-:-3=0和2x+y+:+5=0的夹角是()（中等） A月 a号 c号 D、x 1、直线L:二2。+2.3与平面门：x+y+:-3的位置关系为(）（中等） 3 1 4 A,平行 B、垂直 C、斜交 D、L在平而口上 8、通过点M(-5,2,-1),且平行于证平面的平面方程为()（中等） A,x+5=0 B、y-2=0 C、÷+1=0D、x-1=0. 二、填空题 1.设已知两点M(4,√2,1)和M,(30,2),计算向量M,M ,方向余弦cosa =—c0sB=—c0sy=和方向角a=一B=一y=一（较易》 2.已知向量a=(21,2),6=(-1,35),则a-26=0-(较易》 3.设ā-3-7-2或万-i+27-k,则ā：万-一（较易） 4、已知向量a=(1,-1,1),b=(-2.cC,-2),并且b=0,则常数c=(较易)
3 第六章 空间解析几何和向量代数（27 题） 一、选择题 1、设 a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求 c=3a-2b 是 （ ） (较易) A、{-1,1,5}. B、{-1,-1,5}. C、{1,-1,5}. D、{-1,-1,6}. 2、设 a i j k b i j k = 3 − − 2 , = + 2 − ，求 a b 是 （ ） （中等） A、5 5 7 i j k − + B、 − − + i j k 3 5 C、5 7 i j k + + D、5 7 i j k − − 3、已知向量 a b = − = − ( 1,3,2), ( 3,0,1) ，则 a b = （ ） （中等） A、 (3,5,9) B、 ( 3,5,9) − C、(3, 5,9) − D、( 3, 5, 9) − − − 4、在空间直角坐标系下，方程 3 5 0 x y + = 的图形表示为（ ）（较易） A、通过原点的直线 B、垂直于 z 轴的直线 C、垂直于 z 轴的平面 D、通过 z 轴的平面 5、平面 x y z + + = 0 （ ）（较易） A、平行于 x 轴； B、平行于 y 轴； C、平行于 z 轴； D、过原点 6、求两平面 x y z + − − = 2 3 0 和 2 5 0 x y z + + + = 的夹角是（ ）（中等） A、 2 B、 4 C、 3 D、 7、直线 4 3 1 2 3 2 : − − = + = x − y z L 与平面 : x + y + z = 3 的位置关系为（ ）（中等） A、平行 B、垂直 C、斜交 D、 L 在平面 上 8、通过点 M (− − 5,2, 1 ,) 且平行于 yoz 平面的平面方程为（ ）（中等） A、 x + = 5 0; B、 y − = 2 0; C、 z + =1 0; D、 x − =1 0. 二、填空题 1、设已知两点 1 M (4, 2,1) 和 2 M (3,0,2) ，计算向量 M M1 2 = ，方向余弦 cos = cos = cos = 和方向角 = = = （较易） 2、已知向量 a = (2,1,2) ，b = −( 1,3,5) ，则 a b = 2 0 =______.（较易） 3、设 a i j k b i j k = 3 − − 2 , = + 2 − ，则 a b = （较易） 4、已知向量 a = − (1, 1,1) ，b c = − − ( 2, , 2) ，并且 ab = 0 ，则常数 c = ________.（较易）
5、设a=(1,0-1),b=(2.-1,-2),则a×6=中等) 6.已知向量a=3-l2.6=1,2,-},则ā×5=中等) 7.已知同-2，-5，且a:6=2,则ax-一（中） 8.设a=(2.-32b=(-1,1,2.c=(1,03),求(ab)正= ,(中等) 9、通过那点且垂直于直找1：=2.+2.二8的平面方程为牧 3 -25 10、通过点(30.-1)且与平面3x-7y+5:-12=0平行的平面方程为 (较易) 11,平面x+2y-4:=0与平面2x+4y-8:=1.的位置关系 (较易) 12.平面2x-y+3红=1与平面3红-2：=4.的位置关系一（较号） 13、过点P(1,2,3)且垂直于平而3红-4y+:=10的直线方程 (较号) 14.过点P(1,2,3)和点Q(3,3.)的直线方程 (较易) 三、计算避 1、求下列各平面的方程： (1)过点M234)且在x轴和y轴上载距分别为-2和-3的平面：（较易） 2x-2y+4:-7=0 (2)求过点(20，-3)且与直线 垂直的平面方程。（中等） 3x+5y-2:+1=0. 2、求下列直线方程： D求过123且平行于直线号.3.二的直线方程（较号） 215 （2)通过点M10-2且与两直线=1==+和吾=-1=+1垂直的直线：（中 11-11-10 等) 人度线分-片-学，平有n-423.求植线与平面的先中南
4 5、设 a = − (1,0, 1)，b = − − (2, 1, 2) ，则 a b = .(中等） 6、已知向量 a b = − = − {3, 1,2}, {1,2, 1} ，则 a b = .(中等） 7、已知 a = 2， b = 2 ，且 a b = 2 ，则 a b = ．(中等) 8、设 a = (2,−3, 2), b = (−1, 1, 2), c = (1, 0, 3) ，求 ( ) a b c = .（中等） 9、通过原点且垂直于直线 2 2 8 : 3 2 5 x y z l − + − = = − 的平面方程为 .(较易) 10、通过点 (3,0, 1) − 且与平面 3 7 5 12 0 x y z − + − = 平行的平面方程为 .(较易) 11、平面 x + 2y − 4z = 0 与平面 2x + 4y − 8z = 1. 的位置关系 ____ _____.(较易) 12、平面 2x − y + 3z = 1 与平面 3x − 2z = 4. 的位置关系_______.(较易) 13、过点 P(1, 2,3) 且垂直于平面 3 4 10 x y z − + = 的直线方程 .（较易） 14、过点 P(1, 2,3) 和点 Q(3,3,1) 的直线方程 .（较易） 三、计算题 1、求下列各平面的方程： （1）过点 (2,3,−4) 且在 x 轴和 y 轴上截距分别为− 2 和−3 的平面;(较易) （2）求过点 （2，0，−3） 且与直线 + − + = − + − = 3 5 2 1 0. 2 2 4 7 0, x y z x y z 垂直的平面方程。（中等） 2、求下列直线方程： （1）求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1 1 3 2 − = − = x y z 的直线方程.（较易） （2）通过点 M (1,0,−2) 且与两直线 1 1 1 1 1 − + = = x − y z 和 0 1 1 1 1 + = − − = x y z 垂直的直线；（中 等） 3、设直线 L: 2 1 2 1 1 + = − = x − y z ，平面 : x − y + 2z = 3 ，求直线与平面的夹角.(中等)
第7章多元函数微分学(37题) 一、选择愿 1.极限lim arcsin(x+y2)=( )《较易) A. 且号 D. 6 2、极限1i sin)=( (较易) x+y A等于0 B特于时 C等于3 D不存在 3.已知：=1n,则应-( (较导) 4 B c1 x y 4设：.则n=()做号 A.1 B、e C.0 5、设：=e”,则在=( 1(中等) A.ed B.(xcy+yr)e C.xdy+yux D.(x+yle 6.投函数：=e,则全微分山=《 )(中等) A,-山- B,本+ C、t-少 D、-t+ 7、函数：=(1-x)3+(1-y)的驻点是()（较号） A.(0,0) B、0,) C、100 D、1,) 二、填空愿 1、函数Z=A-2-少+√+少2-1的定义域是 (较易)
5 第 7 章 多元函数微分学(37 题) 一、选择题 1、极限 2 1 2 0 limarcsin( ) x y x y → → + = ( ) （较易） A． 6 π B． 3 π C． 2 π D． π 2、极限 2 2 2 2 0 0 sin 3( ) lim x y x y → x y → + = + ( ) （较易） A.等于 0 B.等于 3 1 C.等于 3 D.不存在 3、已知 ln x z y = ，则 z x = ( ) （较易） A. y x B. 1 x C. 1 1 x y − D. 1 y 4、设 x zy = y z x = ，则 ( ,1) e z y = （ ）（较易） A、 1 B、 e C、0 D、 1 e 5、设 xy z e = ，则 dz = ( ) （中等） A. xy e dx B. ( ) xy xdy ydx e + C. xdy ydx + D. ( ) xy x y e + 6、设函数 x y z e − + = ，则全微分 dz (1,1) = （ ）（中等） A、 −dx − dy B、 dx + dy C、 dx − dy D、 −dx + dy 7、函数 2 2 z = (1− x) + (1− y) 的驻点是（ ） （较易） A、 (0,0) B、(0,1) C、(1,0) D、(1,1) 二、填空题 1、函数 2 2 2 2 Z x y x y = − − + + − 4 1 的定义域是 （较易）
2、lim(l+sin)7= (较难) 3.lim 3-y+9 .(中等) 可 → 本设：=actan(,则空 (中等》 5.设：=ln(x+二)，则f1,0)= (中等) 2x 6、设Z=2x2+3y-y2,则 Z (较易)》 dxdy 7,设y=川x)是由方程罗-e+=0确定的隐函数，则少) (中等) 8、设函数：=红，列由方程-：+=3所确定。则-一 (中等) 9、设=n三，色。 一·（中等》 y x 10、设函数：-ln√+x+y,则全微分在u一 (中等) 1、求M=)的全微分d加■ (中等) 12、授f(x,只）=x-y+x+2:,则g(-11,2)= (中等) 13、设函数fxy)=2,则g(1,-l,2）=一 (中等) 14、函数=)2+3在点(21,1)处沿方向1=(2,2，-1)的方向导数是（中等） 15、求函数：=x可在点P1,0)沿从点P八1,0)到点@2，-)的方向的方向导数为 (中等) 三、计算题 小设：=n,其中u=cos,v=,求生 (较易》 2设话数：=，-产+少g,求克空。《中等) ax'dy 6
6 2、 1 0 0 lim(1 sin ) xy x y xy → → + = .（较难） 3、 0 0 3 9 lim x y xy → xy → − + = .（中等） 4、设 z xy = arctan( ) ，则 z x = （中等） 5、设 ln( ) 2 y z x x = + ，则 (1,0) y f = （中等） 6、设 2 2 Z x xy y = + − 2 3 ，则 2Z x y = （较易） 7、设 y y x = ( ) 是由方程 0 x y xy e e − + = 确定的隐函数，则 x 0 dy dx = （中等） 8、设函数 z z x y = ( , ) 由方程 3 z e z xy − + = 所确定，则 z x = _______ （中等） 9、设 ln x z z y = ，则 z x = _______ 及 z y = _______ .（中等） 10、设函数 2 2 z x y = + + ln 1 ，则全微分 (1,1) dz = ___________. （中等） 11、求 z u xy = 的全微分 du = （中等） 12、设 ( ) 2 f x y z x y x yz z , , 2 = − + + ，则 gradf (− = 1,1,2) .（中等） 13、设函数 2 f x y z xyz ( , , ) = ，则 gradf (1, 1,2 − =) .（中等） 14、.函数 2 3 u xy yz = + 在点(2,-1,1)处沿方向 l = − (2,2, 1) 的方向导数是______.（中等） 15、求函数 2 y z xe = 在点 P(1, 0)沿从点 P(1，0)到点 Q(2，−1)的方向的方向导数为 _____________（中等） 三、计算题 1、设 3 z u v = ln ，其中 t u = cost,v = e ，求 dt dz .（较易） 2、设函数 u v2 z e + = ， 2 2 u x y v xy = + = , ，求 , z z x y 。（中等）
3求空间曲线x=1,y=户，：=，·在点(L1,处的切线及法平面方程（中等） 1+1 4、求空间曲线x=1-sn1,y=1-c0s1,:=4sn号在1=花处的切线及法学面方程（中 2 等) 5、求空间曲线x=cs.y=sn1,:-2在点：=工处的切方程和法平面方程《中等) 6、求曲线 x2+y2+2=6 在点M(1,-2)的切战及法平面方程（较难） x+y+2=0 7、求曲面2y+2习归-归2=2在点M(-2,1,-4)处的切平面和法线方程.（中等》 8、求旋转抛物面：=x2+y-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程，（中等）
7 3、求空间曲线 x t = ， 2 y t = ， 1 t z t = + 在点 1 (1,1, ) 2 处的切线及法平面方程.（中等） 4、求空间曲线 x t t = −sin ，y t = −1 cos ， 4sin 2 t z = 在 2 t = 处的切线及法平面方程.（中 等） 5、求空间曲线 x t y t z t = = = cos , sin , 2 在点 2 t = 处的切方程和法平面方程.（中等） 6、求曲线 2 2 2 6 0 x y z x y z + + = + + = 在点 (1,-2,1) M0 的切线及法平面方程.（较难） 7、求曲面 2 2 2 3 2 y + xyz − yz = 在点 M (−2,1,−4) 处的切平面和法线方程.（中等） 8、求旋转抛物面 2 2 z x y = + −1 在点(2 1 4)处的切平面及法线方程 （中等）
9、求曲面3x2+y2-:2=27在点M(3.1,)处的切平面及法线方程.（中等） 10、求场数f八黑y)=x’-y-3的极值。（中等） 四、综合题 1、己知长方形的长，宽，高之和为18，问长，宽、高各为多少时长方体的体积最大？（中 等) 2、某厂生产两种产品，总收入R与两种产品的产量x,y的函数关系是 刷x,y)=120x+140y-2x2-2xy-y2,总成本C与两种产品的产量x,y的函数关系是 C(x,Jy)=700+20x+60y ()在产量x,y不受限的情况下，该厂应如何规定这两种产品的产量，方可获得最大利澜， 最大利洞多少？ (2)在限定产量x,y之和等于30的情况下，又应如何安排生产，才能获得最大利润，这是 最大利润是多少？（中等） 3.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P和B,销售量分别为4，和g: 需求两数分别为4=24-02A,4=10-0.05P,总成本函数为C=35+404+4】 试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得的总利润最大？最大总利淘为多少？（中 等)
8 9、求曲面 2 2 2 3 27 x y z + − = 在点 0 M (3,1,1) 处的切平面及法线方程.（中等） 10、求函数 3 3 f x y x y xy ( , ) 3 =−− 的极值。（中等） 四、综合题 1、已知长方形的长、宽、高之和为 18，问长、宽、高各为多少时长方体的体积最大？（中 等） 2、某厂生产两种产品，总收入 R 与两种产品的产量 x, y 的函数关系是 2 2 R(x, y) =120x +140y − 2x − 2xy− y ，总成本 C 与两种产品的产量 x, y 的函数关系是 C(x, y) = 700 + 20x + 60y （1）在产量 x, y 不受限的情况下，该厂应如何规定这两种产品的产量，方可获得最大利润， 最大利润多少？ （2）在限定产量 x, y 之和等于 30 的情况下，又应如何安排生产，才能获得最大利润，这是 最大利润是多少？（中等） 3、某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P1 和 P2 ，销售量分别为 1 q 和 2 q ， 需求函数分别为 1 1 q p = − 24 0.2 ， 1 2 q p = − 10 0.05 ，总成本函数为 1 2 C q q = + + 35 40( ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？（中 等）
4、设销售收入R《单位：万元》与花费在两种广告宜传上的费用x,y(单位：万元)之闻 的关系为R 200x+10y,利铜额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用已 x+510+y 知广告费用总预算金是5万元，试门：如何分配两种广告贵用使利润最大？（较难） 5、形状为树球4x2+y2+4:2≤16的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，1小 时后在探测器上的点(x,y,:)处的温度为T=&x2+45-16:+600,求深测器表面最热的 点.（较难） 6,有一宽为24m的长方形铁板，把它两边折起米做成一新面为等要梯形的水槽。问：怎 样折才能使断面的面积最大？（难） 9
9 4、设销售收入 R （单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用 x y, （单位：万元）之间 的关系为 200 100 5 10 x y R x y = + + + ，利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用. 已 知广告费用总预算金是 25 万元，试问：如何分配两种广告费用使利润最大？（较难） 5、形状为椭球 2 2 2 4 4 16 x y z + + 的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，1 小 时后在探测器上的点 ( , , ) x y z 处的温度为 2 T x yz z = + − + 8 4 16 600 ，求探测器表面最热的 点.（较难） 6、有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等要梯形的水槽，问：怎 样折才能使断面的面积最大？（难）
第八章重积分(33题) 一、选择题 1、由二重积分的几何意义， ∬VR--严dG(其中D2+y2sR2)=()(较 易) A、FR BR DR 2、由重积分的对称性， ∬dc(其中D:x2+y≤2x)=()(中等) A.I B,0 c 3设积分区城D1≤x+少≤4，则二重积分∬dG-( )(较易) A. B.2 C.3x D、4a 4、D是由直线x+y+1=0与坐标轴所围成的区域，则二重积分 4山-( )《较易) A、0 B、1 C.2 D、4 5、投D是由x轴和y=sx(仅∈0，)所围成，则积分)b=( )(中等) c.3 6、设D是由坐标拍和直线x+y=1所围成的积分区域，则二重积分厂(x+yG化为累积 分为()（中等） A.'x+ B.[dof(x+yd c.fdf"dy o.[afdy 7、交换二重积分1=应八x,y炒的积分顺序，则1=〈 )(中等) A.faffx.ydy n.fdvff(s.y c.〔fx恤 D.fdf'f(.ydy 8交换积分顺序，则f红=( )(中等) A.fosf"na.n B.faf.f.y 0
10 第八章 重积分（33 题） 一、选择题 1、由二重积分的几何意义， 2 2 2 D R x y d − − （其中 2 2 2 D x y R : + ）=（ ）（较 易） A、 3 R B、 1 3 3 R C、 2 3 3 R D、 4 3 3 R 2、由重积分的对称性， D yd （其中 2 2 D x y x : 2 + ）=（ ）（中等） A、1 B、0 C、 1 3 D、 1 2 3、设积分区域 2 2 D x y :1 4 + ，则二重积分 D d =（ ）（较易） A、 B、 2 C、3 D、 4 4、D 是由直线 x + y +1 = 0 与坐标轴所围成的区域，则二重积分 D 4dxdy =（ ）（较易） A、0 B、1 C、2 D、4 5、设 D 是由 x 轴和 y = sin x (x [0， ] ) 所围成，则积分 = D yd （ ）（中等） A、 6 B、 4 C、 1 3 D、 1 2 6、设 D 是由坐标轴和直线 x + y =1 所围成的积分区域，则二重积分 ( ) D x y d + 化为累积 分为（ ）（中等） A、 − + 1 0 1 0 ( ) x dx x y dy B、 + 1 0 1 0 dx (x y)dy C、 1 − 0 1 0 x dx dy D、 1 0 1 0 dx dy 7、交换二重积分 1 1 0 ( , ) x I dx f x y dy = 的积分顺序 ，则 I = （ ）（中等） A、 1 0 0 ( , ) y dx f x y dy B、 1 0 0 ( , ) y dy f x y dx C、 1 1 0 ( , ) y dy f x y dx D、 1 0 0 ( , ) y dx f x y dy 8、交换积分顺序，则 = dy f x y dx 1 y 0 0 2 ( , ) （ ）（中等） A． dx f x y dy x 1 0 0 2 ( , ) B． dx f x y dy x 1 0 1 2 ( , )
