第3章函数逼近与曲线拟合 在实际问题中，我们常常会遇到用各种方式定义的函数.例如，用积分或无穷级数 作为定义函数的表达式，这样的函数表达式，通常对于确定和分析函数的性质特别有 效，但用来计算函数值一般就很不方便，因此，有时希望给出这种函数的一个形式简单 的近似表达式.用一个简单的函数y(x)近似代替给定的函数f(x)的问题，称为函数通 近问题，y(x)称为通近函数，f(x)称为被通近函数.更确切一些可以叙述为：对于某个 函数类A中给定的函数f(x),要求在另一较简单的函数类BCA中，求函数y(x)∈B, 使y(x)与f(x)之差在某种度量意义下为最小.通常A是区间[a,b]上的连续函数类 Ca,b],B可取为代数多项式，或有理分式函数，或三角多项式等.通近误差的度量标 准常用的有两种，一种是 l f()-y()Il.-max I f()-y(), 在这种度量意义下的函数通近称为一致通近；另一种度量标准是 If(z)-y(z)I:-"[f(z)-yz)Fdz. 在这种度量意义下的函数逼近称为均方通近或平方逼近， 3.1内积空间 定义3.1若区间(a,b)上的非负函数p(x),满足条件 (1)Ixp(xd存在(n=0,1,2,…) (2)对非负的连续函数g(x),若 g(x)p(x)dz=0,则在(a,b)上g(x)=0, (3.1) 就称p(x)为区间(a,b)上的权函数. 定义3.2设f(x),g(x)∈C[a,b],p(x)是[a,b]上的权函数，积分 (f.g)-p(z)f(z)g(z)dz (3.2) 称为函数f(x)与g(x)在[a,b]上的内积. 容易验证这样定义的内积满足下列四条公理： (1)(f,g)=(g,f); (2)(cf,g)=c(f,g),c为常数：
·54· 数值分析（第2版） (3)(f+f,g)=(f,g)+（f,g): (4)（f,f)≥0，并且仅当f=0时(f,f)=0. 定义3.3内积的函数空间称为内积空间.因此，连续函数空间C[a,b]上若定义了 内积，就形成一个内积空间，这个内积的定义是n维欧氏空间R”中两个向量内积定义 的推广，设 ∫=（f,2,…,f)T,g=(g1,g2…,g)T, R”中内积定义是 ,g)=∑fg 向量f∈R”的模（范数）定义为 1f:=(∑) 1 将它推广到任何内积空间中，得出下面的定义。 定义3.4f(x)∈C[a,b],量 IfI:=√小p(x)f产(xd=ff万 (3.3) 称为f(x)的欧氏范数. 它同样满足范数三条性质，头两条是显然满足的，即(1)‖f‖z≥0，当且仅当f=0 时lf川z=0,(2)Iafl:=la‖fl:对任意f∈Ca,b]成立，a为实数.以下定理包 含了第三条性质和其他重要结论。 定理3.1对任何f,g∈C[a,b们，下列结论成立： (1)1(f,g)l≤‖fl:IgI,(此式称为Cauchy-Schwarz(柯西-许瓦兹)不等式)： (3.4) (2)If+gl≤‖f川：+IgI:(三角不等式) (3.5) (3)1f什g1+川f-g=2(‖f1+1g)(平行四边形定律). 证若g=0,则式(3.4)显然成立.现考虑g≠0，对任何实数入，有 0≤(f+g,f+g)=(f,f)+2λ(f,g)+2(g,g) 现取 A=-(f.g) g 代人上式得 1fI-2Y+Y≥o, 即 1(f,g)I2≤Ifl川gI. 两边开平方即得式(3.4). 利用式(3.4)，考虑 ‖f+g=(f+g,f+g)=(f,f)+2(f,g)+(g,g)
第3章园数逼近与曲线拟台 ·55· ≤IfI+21(f,g)1+1gI ≤lfl至+2"fl:Igl2+‖gl =(1fI2+IgI2)2. 两边开方则得式(3.5).平行四边形定律可直接计算得 lIf+g+f-g=(f+g,f+g)+(f-g,f-g) =(f,f)+2(f,g)+(g,g)+(f,f) -2(f,g)+(g,g) =2[(f,f+(g,g)门=2(1fI+‖gI). 证毕。 在n维空间中两个向量正交的定义也可推广到内积空间， 定义3.5若f(x),g(x)∈C[a,b],满足 (f,g)=p()f(z)g()dz=0, 则称f与g在[a,b门上带权p(x)正交.若函数族m(x),9(x),…,m(x),…满足关系 《R)=p(x)9xp.e）dr={A>0,j=k, 10,j≠k, 就称{m}是[a,b上带权p(x)的正交函数族：若A=1,就称之为标准正交函数族， 例如，三角函数族 1,cosz,sinz,cos(2x),sin(2x),. 就是在区间[一π，]上的正交函数族.因为 ,)=∫1d=2, (cos(k),cos(kz))=cos (k)d==12,. 而当卡k时 cos(kc(drsim(kx)sin(j)dr-co()sin(j)d. 在R”空间中任一向量都可用它的一组线性无关的基表示，对内积空间的任一元 素f(x)∈C[a,b]也同样可用线性无关的基表示，此时相应地有以下结论. 定义3.6若%(x),…,P-1(x)在[a,b]上连续，如果 a%(x）+a19(x)+…+a-1P-1(x)=0 当且仅当a=a1=…=a-1=0时成立，则称%，-1在[a,b]上是线性无关的：若函 数族{9}(=0,1,2，…)中的任何有限个9线性无关，则称{9}为线性无关函数族. 例如，1，x,…,x,…就是[a,b]上的线性无关函数族.若%(x),“,P-1(x)是
·56· 数值分析（第2版） C[a,b门中的线性无关函数，且ao,a1,…,a-1是任意实数，则 s(x)=a%(x)十a19(x)+…+a1P1(x) 的全体是C[a,b们中的一个子集，记作 Φ=span{9o,9,…,P。1}. 下面给出判断函数族{9}(k=0,1,2,…,n一1)线性无关的充要条件 定理3.2%(x),9（x),…,P-1（x)在[a,b]上线性无关的充要条件是它的 Cramer行列式G,-1≠0，其中 G1=G(9,9,…,9-1)= (9%）(9,9）…(99-） (P1,P0)（P1,9)…（Pm-1,P-1） 3.2函数的最佳平方逼近 设函数)ECa,6小，用n次多项式：(=户作最佳平方逼近，就是要求 得以a6,a,…,a:为系数的多项式s()=户ax,使 0 If(x)-s(x)l经-∫[fx）-s(x)rd=mfx）-s(x)I. 推广到一般的情况，就是对于给定的权函数p(x),要求得(k=0,l,2,,m),使 ll f(z)-s"(z)=p(z)[f(z)-s"(z)]dz =m‖fx）-s(x)l. n次多项式(x)=之4x,是以1，x,,x为基函数所作的线性组合构成的一 0 类函数.进一步推广可将x改为一般的线性无关的连缕函数P:(x),要求%，9，·，P。 的线性组合s(x)=之a4.(x)的全体构成的C[a,b]子空间，即D=span{%,9,, P},最佳平方通近问题的提法可叙述为：求a(k=0,1,2,…,n),使 If(x)-s'(x)‖=If(x)-∑aP4(x)‖且 k0 =8.fx)-s(x). (3.6) 称g(x)=之aig,(x)为f(x)EC[a,b]在子集CC[a,b]中的最佳平方通近函数. -0 为了求得s·(x),考察式(3.6)，这个问题等价于关于ao,a1,…,a,的多元函数
第3章函数通近与曲线拟合 。57. a(()Fds (3.7) 的最小值问题 为了确定参数a(k=0,1,2,·,n),由多元函数极值存在的必要条件，有 头=0，k=01,2…m… aa =2pa2aa-fa]n业=0，k=0,12 j0 即有 20=f.,k=0,12m (3.8) 这是关于未知数a1,…,a的线性代数方程组，称为法方程组.由于%，4，…， 9线性无关，故系数行列式G(%,9,…,,)≠0，于是方程组(3.8)有唯一解a4=a (=0,1,2,…,n),从而得到 s(x)=a6m(x)十…+aipn(x) 下面证明s·(x)满足式(3.6)，即对任何s(x)∈，有 p(x)[fx)-s(x)]dr≤∫广p(x[fx)-s(x)]dz (3.9) 为此只要考虑 D-(IK-KFi-(-Pi -p(z)[s(z)-;"(z)Jdz+2f'p(z)[s"(z)-x(z)]If(z)-s"(z)]dz. 由于s'(x)的系数a是方程(3.8)的解，故 o()[f(z)-s"((d=0,k=012,n. 从而上式第二个积分为0，于是有 D=p(x)[s(x)-s(x]dx≥0， 故式(3.9)成立，这就证明了s·(x)是f八x)在Φ中的最佳平方通近函数. 如果令6=f(x)-s(x),由式(3.8)易知(f-5°，s)=0,则平方误差为 8(f-s,f-s)=(f,f)-(s",f) =lflli-ai (o.D. (3.10) 若取P(x)=x,p(x)=1,f(x)∈C[0,1],要在H.中求n次最佳平方通近多项式 s"(x)=a6+ax+…十agx". 这时 ga)-"-++,)=efe=d
·58· 数值分析（第2版） 于是方程组(3.8)的系数矩阵为 1 n+1 H= 2 3 n+2 (3.11) n+n+22m+] 这个矩阵称为Hilbert(希尔伯特)矩阵，记d=（d,d1,…,d.)T,a=(a。,a1,…an)T,则 Ha=d (3.12) 的解au=a(k=0,l,2,…,n)即为所求. 例3.1定文内积f,B）=F✉g).试在H,=span(1,中寻求对于 f(x)=√丘的最佳平方通近元素P(x). 解这里实际上要求的是(0,1)上的一次最佳平方通近多项式P(x) 利用式(3.12)求出d=(d,d)T. 4=f,)=小Edr=号4=，)-Edz-号， 得法方程组为 解得a一言i-号所求的最佳平方逼近元素为 P(x)=希+号，0<x<1. 平方误差 I8=n-2om）=a-2ad, =-×号-号×号=-0.o022 对于一般的基底%，9，，P,当n稍大时，计算法方程组中的(9，%)以及求解法 方程组的计算量都是很大的，若采用1，x,·,x作基底，当p(x)三1时，虽然(p,%)= (丈，x)容易计算，但由此形成的法方程组系数矩阵(3.11)当n≥4时是病态矩阵，用单 字长在计算机上求解法方程组，其结果往往不太可靠，为避免上述的弊端，可采用正交 基底.为此，先介绍正交多项式
第3章函数温近与曲线拟合 ·59· 3.3正交多项式 定义3.7若首项系数a.≠0的n次多项式g.(x),满足 0, j卡k, pgaa=A>0,-,k=012m 就称多项式序列g(x),g(x),…在[a,b]上带权p(x)正交，并称g,(x)是[a,b]上带权 p(x)的n次正交多项式. 定理3.3设g(x)(k=0,1,2,…)是k次多项式，则多项式系{g(x)》是[a,b]上 带权(x)的正交多项式系的充分必要条件是，对任何次数不超过(k一1)的多项式 P(x),都有(x)P(x)g:(x)dz=0(k=1,2,…),即g4(x)与任何次数不超过(k-1) 的多项式P(x)在[a,b]上带权p(x)正交. 3.3.1正交多项式的性质 设{g(x)}为[a,b]上的正交多项式序列，其中g:(x)为k次正交多项式，则具有下 列基本性质. 性质1{g.(x)》是线性无关的. 性质2g:(x)的零点都是实的、相异的（即单重的），且全部在区间(a,b)内部. 性质3首项系数为1的正交多项式序列(g:(x)》中任何相邻3个多项式 8-(x8(x),g+1(x),存在如下递推关系： g+(x)=(x-a+1)g(x)-bg-1(x),k=1,2,…, (3.13) 其中a4,b都是与x无关的常数，且 a-gk=01,2 (3.14) (g4,g:) 6。=0,6=g2g)'6=12,… 一般说来，当权p(x)及区间[a,b们给定后，就可构造出正交多项式，下面我们介绍 几类， 3.3.2 Legendre(勒让德)多项式 当区间为[一1,1门，权函数p(x)=1时，由{1，x,…,x,…}正交化得到的多项式就 称为Legendre(勒让德)多项式，并用P(x),P(x),…,P.(x),…表示.这是Legendre 于1785年引进的.1814年Rodrigul(罗德利克)给出了简单的表达式 B)=1,R.）=a壶-，n=12,, (3.15)
·60· 数值分析（第2版） 由于(x2-1)"是2n次多项式，求n阶导数后得 R.(x)=2a(2m)(2n-1)(n+1Dx+a-1r1+…+a, 于是得首项r的系数a,=瓷显然最高项系数为1的Lkde多项式为 .a=c-1 (3.16) Legendre多项式有下述几个重要性质. 性质1正交性 0, LP.()P-()ir- m≠n: 2 (3.17) (2n+1'm=n 证明令p(x)=(x2-1),则· p®（±1）=0，k=0,1,2,,n-1. 设Q(x)是在区间[一1,1]上有n阶连续可微的函数，由分部积分知 八P(eax=0xpea (()ds ds 下面分两种情况讨论， (1)若Q(x)是次数小于n的多项式，则Q0(x)=0,故得 P.(xR.(x)d证=0，当n≠m (公者Qa)=P()-a-r+, (-P ( 于是 ∫awa=2-=,a-r 由于 儿1-rr-cosa=e 2·4·…·(2n)
第3章函数通近与曲线拟合 ·61· 八P(x)dz=2n中' 于是式(3.17)得证. 性质2奇偶性 P.(-x)=(-1)"P.(x). (3.18) 由于(x)=(x2一1)"是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求 导则为奇次多项式，故n为偶数时P.(x)为偶函数，n为奇数时P,(x)为奇函数，于是式 (3.18)成立. 性质3递推关系 考虑n+1次多项式xP(x),它可表示为 xPn(x)=aP(x)+a1P1(x)+…十a+iP+(x) 两边乘P.(x),并从一1到1积分，得 SxP.(2P.(z)dz-aPi(z)dz. 当k≤n一2时，xP.(x)次数小于等于n一1，上式左端积分为0，故得a4=0.当k=n 时，xP(x)为奇函数，左端积分仍为0，放a.=0.于是 xP.(x）=a-1P.-1(x)十a1P+1(x), 其中 a-2a2R(ap-a)=n2·n7=2 Zn a=2a士R.✉Pa -如士·n+ 2(n+1) 2 从而得到以下的递推公式 (n+1)P(x）=(2n+1)xP.(x)-nP.1(x）,n=1,2,…, (3.19) 由P(x)=1,P1(x)=x,利用式(3.19)就可推出 P(x)=(3x2-1)/2, P,(x)=(5x3-3x)/2, P,(x)=(35x-30x2+3)/8, P(x)=(63x5-70x3+15x)/8, P,(x)=(231x5-315x+105x2-5)/16, 图3.1给出了P。(x),P1(x),P2(x),P(x)的图形
·62· 数值分析（第2版） 性质4P.(x)在区间[-1,1]内有n个不同 的实零点 P() 性质5在所有最高项系数为1的n次多项 式中，Legendre多项式P.(x)在[-1,1]上与零的 平方误差最小. 3.3.3切此雪夫(chebyshev)多项式 当权函数p(x)= √-专区间为[-1,1订时， 1 由序列{1，x,,x”,…}正交化得到的正交多项式 图3.1 就是Chebyshev(切比雪夫)多项式，它可表示为 T.(z)=cos(narccosz),1.(3.20) 若令x=cos0,则T,(x)=cosn0,0≤≤x. Chebyshev多项式有很多重要性质， 性质1递推关系 T+1(x)=2xT,(x)-T-1(x),n=1,2, T(x)=1,T1(x)=x (3.21) 这只要由三角恒等式 cos(n+1)8=2cos0cosn8-cos(n-1)8(n≥1)， 令x=cos0即得.由式(3.21)就可推出 T2(x)=2x2-1, T(x T3(x)=4x3-3x, T T(x)=8x-8x2+1, Ti(x) T5(x)=16x3-20x3+5x, T6(x)=32x-48x+18x2-1, T。(x),T1(x),T2(x),T(x)的函数图形见图 3.2. 由递推关系(3.21)还可得到T.(x)的最高次项系 图3.2 数是2-1(n≥1). 性质2 Chebyshev多项式{T(x)}在区间[-l,l]上带权p(x)=1I-x正交，且 0,n≠m: √I-x2 2,n=m≠0； (3.22) n=m=0