第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 1
1 第七章 计算矩阵的特征值与 特征向量
特征值与特征向量 在实际工程计算中,经常会遇到特征值和特征向量的 计算,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题; 物理学中的各种临界值等 ■定义:设有n阶矩阵A,若有数2及非零向量V满足方 程Av=v,则称几为A的特征值,V为属于特征值2的特 征向量 ■线性代数中特征值和特征向量的计算步骤: ●计算矩阵的特征多项式:det(2I-A)=”+…+(-l)”det(A) ●求解齐次线性方程组的解空间:(A-)V=0,i=1,2…,n ■因雅:求解高次多项式的根
¡ 在实际工程计算中,经常会遇到特征值和特征向量的 计算,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题; 物理学中的各种临界值等 ¡ 定义:设有 阶矩阵 ,若有数 及非零向量 满足方 程 ,则称 为 的特征值, 为属于特征值 的特 征向量 ¡ 线性代数中特征值和特征向量的计算步骤: l 计算矩阵的特征多项式: l 求解齐次线性方程组的解空间: ¡ 困难:求解高次多项式的根 2 n A v Av v A v det( ) ( 1) det( ) n n I A A ( ) , 1,2, , i A I v 0 i n
幂法 ■在实际问题中,矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用,譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛 ■ 幂法:计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ■要求:矩阵A具有完备的特征向量系,即A有n个线性 无关的特征向量。在实际问题中,常遇到的实对称矩 阵或具有个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 3
¡ 在实际问题中,矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用,譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛 ¡ 幂法:计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ¡ 要求:矩阵 具有完备的特征向量系,即 有 个线性 无关的特征向量。在实际问题中,常遇到的实对称矩 阵或具有 个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 3 A A n n
景法 958 ■设矩阵A的特征值和特征向量如下: 特征值:2≥2≥…≥2, A是非亏损的,即特征值的几 何重数等于代数重数 特征向量:V1,V2…,V。 累法可以求人,V1 ■基本思想:不断利用矩阵向量乘法,分析得到的向量 序列,计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ■ 取初值x0),做迭代 x(+D)=Ax(A) →xk+=Axo,xo=ay,+a2Y2+…+a,yn →xk+D=A(aY1+2V2+…+Vn) =AV+A"v2+..+aA Vn =v1+a3V2+…+ankn Vn 4
¡ 设矩阵 的特征值和特征向量如下: 特征值: 特征向量: 幂法可以求 ¡ 基本思想:不断利用矩阵向量乘法,分析得到的向量 序列,计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ¡ 取初值 ,做迭代 4 A 1 2 n 1 2 , , , n v v v 1 1 , v ( 1) ( ) ( 1) (0) (0) 1 1 2 2 ( 1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 , ( ) k k k k n n k k n n k k k n n k k k n n n x Ax x A x x v v v x A v v v A v A v A v v v v (0) x 是非亏损的,即特征值的几 何重数等于代数重数 A
幂法 ■情形1:若2>2≥…≥2,则有 a候 a,≠0 ∫x≈*(ay) x+w≈入(aV)' 入≈x+)/x) V1≈xk+H) 收敛速度取决于: 1z1 5
¡ 情形1:若 ,则有 收敛速度取决于: 5 1 2 n ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 0 , / k k k k n n n k k k k k k k k x v v v x v x v x x v x 21 | | | |
景法 ■情形2:若2=2>2≥…≥nb=-元 u-a经】 a≠0→x)≈2(ay,+(-)ay,,k→0 ■其它情形… 6
¡ 情形2:若 ¡ 其它情形…… 6 1 2 3 1 2 n , ( ) 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 2 2 (2 2) (2 ) 2 ( 1) ( ) 1 1 1 (2 1) (2 1) 2 ( 1) ( ) 1 2 1 1 0 1 , / , / k k k k n n n k k k k k k k k k k k k x v v v x v v x x v x x x x v x x
景法 ■在幂法中,我们构造的序列 可以看出,当k→+00 x 0,21 ■ 为避免x)分量过大(上溢)或过小(下滋),在实际 运算中采用规范运算: x)=Ay) y=x/小x 7
¡ 在幂法中,我们构造的序列 可以看出,当 ¡ 为避免 分量过大(上溢)或过小(下溢),在实际 运算中采用规范运算: 7 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 k k k k n n n x v v v ( ) 1 1 0 , 1 , 1 k x k ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) / k k k k k x Ay y x x (k ) x
景法 ■不难发现: y Ayu/A'y) lyl =1 ■从而有 y()=A'yo)A'y 0V1+ y(k) 8
¡ 不难发现: ¡ 从而有 8 ( ) ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) / / 1 k k k k k k y Ay x A y x x y ( ) (0) (0) / k k k y A y A y 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 k k k n n n k k k k n n n v v v y v v v
幂法 情形1:若2>≥…≥2,则有 元0,则{y}收敛,元≈x+儿,Y,≈y B)若元<0,则{y2,y2+}分别收敛于互为反号的向 量,≈-小x+L,y,y 9
¡ 情形1:若 ,则有 A) 若 ,则 收敛, B) 若 ,则 分别收敛于互为反号的向 量, 9 1 2 n 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 , 0 k k k k v v v y y v v v ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) 1 1 k k k k k x Ay y x y 1 0 ( ) { } k y ( 1) ( ) 1 1 , k k x v y 1 0 (2 ) (2 1) { }{ } k k y ,y ( 1) ( ) 1 1 , k k x v y
景法 1958》 ■情形2:若2=>2≥…≥几,2=-入2,则有 2aY,+(-1)y2+…+ y(k)= {y2}{y2-}分别收敛于两个向量,且不是互为反号 令x+=Ax,则2≈Vx/y-,2=-元 [y,≈x+x V2≈x+-x) ■其它情形… 10
¡ 情形2:若 ,则有 分别收敛于两个向量,且不是互为反号 令 ,则 ¡ 其它情形…… 10 1 2 3 1 2 n , 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 1 2 2 1 1 1 k k k n n n k k k k n n n v v v y v v v (2 ) (2 1) , k k y y ( 1) ( 1) 1 2 1 / , k k x y ( 1) ( ) 1 1 ( 1) ( ) 2 1 k k k k v x x v x x (k1) (k ) x Ax