批第八章欧氏空间 本节恒设.2为实数域。 1 wv=vu 2(edv=c(w),c∈2 3(u+)w=+w,w∈V 4若u≠8，则wu>0 则称w为向量u与的内积。而称V为欧几里德空间，简称欧氏空间。 第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所 有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。 又如，设是定义在闭区间[a,习上的所有连续函数所构成的2上的向量空间，规定中任 意二向量f()),对应 则V便成为一个欧氏空间。这是因为对任意fx),g(x),h(c)∈'及实数c,均有 9(x)f(x)dz a d Ja of()g(t)dr=c1 f(x)g(x)dr a
批 第八章 欧氏空间 本节恒设 为实数域。 定义 1 设 是 上的向量空间。如果有一个规则，使得对于 中任意向量 都对应 中 唯一确定的数，将其记为 ，并且下述条件成立。 1 2 3 4 若 则称 为向量 与 的内积。而称 为欧几里德空间，简称欧氏空间。 第五章所讨论的向量空间 便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义 1 中的所 有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。 又如，设是定义在闭区间 上的所有连续函数所构成的 上的向量空间，规定 中任 意二向量 ，对应 则 便成为一个欧氏空间。这是因为对任意 及实数 ，均有
”f田+oe(ea=。 f()h(t)dz+ g()h(=)dr a 同时，若f(x)不是零函数，则 。fe>0 故规定的对应是〔x)与9(c)的内积。 命题1设V为欧氏空间，则对任意a,b∈2及任意，吗，w∈，恒有： (①(aw)(bw)=(ab)(uu, (2)u(e+w）=w+uw, (3)u8=0 证明由定义1知 (au)bw）)=a[u(bwl=a[bu)叫 =a[6(vu)]=(ab)(vu)=(ab)(wv). 而由 u8=u(0+)=w9+u8 知0=0。证毕。 由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意，4∈2,4,4∈心=1,2，n)都有 (2a4,(∑4)=∑aaj04） =1=1 8=1
同时，若 不是零函数，则 故规定的对应是 与 的内积。 命题 1 设 为欧氏空间，则对任意 及任意 ，恒有： (1) (2) (3) 证明 由定义 1 知 而由 知 。证毕。 由命题 1，利用数学归纳法不难证明：对任意 都有
现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义2非负实数V称为向量u长度，记为u。 由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1的(3)知零向量的长 度为0。除此之外，还有 命题2对任意实数a及u∈V,有 laul lallul, 其中lal表a的绝对值。 由此 laul=V(au)(au)=V(aa)(wu)=Vaa.Vuti=lallul, 即知。 定理1对欧氏空间中的任意二向量4，恒有 lu≤a, 而等号成立的充分必要条件是4，线性无关。 证明当4，线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设=a,于 是 luul I(av)ul=lallvul=lallullvl lullul laullul lallullul luv lullol 当，线性无关时，对任意负数均有一x≠日，从而 (u-xv)(u-xv)>0 并即 (uv)z2-2(w)x+uu>0
现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义 2 非负实数 称为向量 长度，记为 。 由定义 1 中的条件 4 知非零向量的长度恒为正实数。而由命题 1 的（3）知零向量的长 度为 0。除此之外，还有 命题 2 对任意实数 及 ，有 其中 表 的绝对值。 由此 即知。 定理 1 对欧氏空间 中的任意二向量 恒有 而等号成立的充分必要条件是 线性无关。 证明 当 线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设 ，于 是由 知 当 线性无关时，对任意负数均有 ，从而 并即
因此必有 2(uuJ2-4(uw)(ww）<0, 这也就是（u2<叫2，所以 u叫≤llul 这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与 必要性成立，故知定理得证。 定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量，均有 u+≤u+ 证明由定理1得 lu +v2=(u+v)(u+v)=luu +2uv+vl luul +2uvl lwvl u2+2lu+2=(叫+l02 故 u+u≤lw+lul 把定理1用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式 12 由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，心，恒有 翩s1 因此 p=
因此必有 这也就是 ，所以 这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与 必要性成立，故知定理得证。 定理 2（三角不等式）对于欧氏空间 中的任意向量 均有 证明 由定理 1 得 故 把定理 1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式 由定理 1 知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量 ，恒有 因此
有意义，而亦称P为u与v的夹角。 特别地，当w=0时，就是说山，正交。显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。 由此易知有下述二命题成立。 命避3设是欧氏空间的一个向量，那么V中所有与u正交的向量构成的一个子空间。 称之为的正交子空间。记为之。 命题4设S是欧氏空间的一个子空间，那么，中所有与S中每个向量均正交的向量构 成的一个子空间。称之为的正交子空间，记为9+ 因为欧氏空间的每个子空间在的内积下仍满足定义1中的四个条件，所以，欧氏空间 的子空间仍为欧氏空间。 以下若不特别声明总假设为维欧氏空间。而进行对有限维欧氏空间的讨论，先将第五 章§2定义3推广为 定义3欧氏空间中的向量组的，，“，4：说是正交的，如果该组中任意两个向量均正交。 规定只含一个向量的向量组是正交的。在一个正交向量组中，如果每个向量之长均为1，则 说这是一个标准正交组。 采用第五章§2命题1的同样证法有 命题5若正交组中不含零向量，则该组向量线性无关。 由此可见，中任意标准正交组必为线性无关的向量组，从而所含向量个数不能多于个。 特别地，若中有一个标准正交组合恰含n个向量，则其便构成的 个基底，而称之为标准 正交基底。 第五章节2，我们曾介绍了把一组线性无关的向量化成与之等价的标准正交向量组的方 法，即所谓Grame"一Schm8da正交化过程。这种方法也适用于一般的欧氏空间。因此， 我们有 定理3如果山2，“山是一个标准正交组，而3<n,则必有u∈上，使，山，…，4，仍 为标准正交组。 此由上一章§3定理4及上面的说明即知。 定义4设和U都是欧氏空间（不一定是有限维的）。如果有到U做为一般向量空间的 同构映射c,使对任意的，心∈匕，均有
有意义，而亦称 为 与 的夹角。 特别地，当 时，就是说 正交。显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。 由此易知有下述二命题成立。 命题 3 设 是欧氏空间 的一个向量，那么 中所有与 正交的向量构成 的一个子空间。 称之为 的正交子空间。记为 。 命题 4 设 是欧氏空间 的一个子空间，那么， 中所有与 中每个向量均正交的向量构 成 的一个子空间。称之为 的正交子空间，记为 。 因为欧氏空间 的每个子空间在 的内积下仍满足定义 1 中的四个条件，所以，欧氏空间 的子空间仍为欧氏空间。 以下若不特别声明总假设 为 维欧氏空间。而进行对有限维欧氏空间的讨论，先将第五 章§2 定义 3 推广为 定义 3 欧氏空间中的向量组 说是正交的，如果该组中任意两个向量均正交。 规定只含一个向量的向量组是正交的。在一个正交向量组中，如果每个向量之长均为 1，则 说这是一个标准正交组。 采用第五章§2 命题 1 的同样证法有 命题 5 若正交组中不含零向量，则该组向量线性无关。 由此可见，中任意标准正交组必为线性无关的向量组，从而所含向量个数不能多于 个。 特别地，若 中有一个标准正交组合恰含 个向量，则其便构成 的一个基底，而称之为标准 正交基底。 第五章节 2，我们曾介绍了把一组线性无关的向量化成与之等价的标准正交向量组的方 法，即所谓 正交化过程。这种方法也适用于一般的欧氏空间。因此， 我们有 定理 3 如果 是一个标准正交组，而 ，则必有 ，使 仍 为标准正交组。 此由上一章§3 定理 4 及上面的说明即知。 定义 4 设 和 都是欧氏空间（不一定是有限维的）。如果有 到 做为一般向量空间的 同构映射 ，使对任意的 ，均有
o(u)o(吵=w 则说σ是欧氏空间V到U的同构映射。若有欧氏空间到U的同构映射存在，则称做为欧氏 空间与U同构 定理5在维欧氏空间的一个标准正交基下，规定每个向量对应它的坐标，则此对应 就是V到实数域上的n元列空间的一个同构映射。 证明由上章§3定理10，可知做为普通向量空间，这个对就是一个同构映射。 现在来看内积的对应。设，…n是的标准正交基底。任取山，v∈，设山，的坐标分别 为 由于49与=66=1,2，n）,即知 u,v=(a11+anen6+…bnOn)=a6+…anbn=a8 可见这个对应满足定义4中的条件，因此，它是欧氏空间到的同构映射。 推论两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 事实上，做为向量空间，同构即已意味若维数相同。反之，若二欧氏空间，V的维数都 为，则二者均与同构，从而二者亦同构。 推论2在一标准正交基下，中任二向量的内积等于其坐标的内积。 推论3设，…0为的一标准正交基底，五，3a∈且 (f,…f)=(o,…n)G 则。"“，为标准正交组的充要条件是G的列构成%的一个标准正交组
则说 是欧氏空间 到 的同构映射。若有欧氏空间 到 的同构映射存在，则称做为欧氏 空间 与 同构。 定理 5 在 维欧氏空间 的一个标准正交基下，规定每个向量对应它的坐标，则此对应 就是 到实数域上的 元列空间 的一个同构映射。 证明 由上章§3 定理 10，可知做为普通向量空间，这个对就是一个同构映射。 现在来看内积的对应。设 是 的标准正交基底。任取 ，设 的坐标分别 为 由于 ，即知 可见这个对应满足定义 4 中的条件，因此，它是欧氏空间 到 的同构映射。 推论 1 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 事实上，做为向量空间，同构即已意味着维数相同。反之，若二欧氏空间 的维数都 为 ，则二者均与 同构，从而二者亦同构。 推论 2 在一标准正交基下， 中任二向量的内积等于其坐标的内积。 推论 3 设 为 的一标准正交基底， ，且 则 为标准正交组的充要条件是 的列构成 的一个标准正交组
推论4设1,9m为的一标准正交基底，i,",。∈且 (i,f=(o,…,nT 则，“，n为的标准正交基底的充要条件是T为正交矩阵。 定理6若山，“弘是欧氏空间（不限于有限维）的一组线性无关的向量，则必有正线 上三角矩阵π，使 (1,,ug）=(h,,4gπ， 而1，“，%是标准正交组。 证明设=[，“，山，则维U=3。再设1，“8：为的一标准正交基底。则有列满秩 矩阵G,使 (h,…,he）=(,…,a)G. 由第五章§2定理2知有正线上三角矩阵π使虹=Gπ为正交矩阵。用和右乘上式得 (,…,u)=(h,,hgπ=(01，…，)G=(e1,,8aT 由定理5推论4，，“…，是一标准正交组。证毕。 定理7设3是n维欧氏空间的一个子空间。那么，必有 V=3⊕31 证明若9={以，则31。若3=，则S={}。无论何种情况都有 V=8⊕81 下面设3是m维子空间0<m<,万，“，是3的一个标准正交基底。由定理3，可将 其扩充成的标准正交基底
推论 4 设 为 的一标准正交基底， ，且 则 为 的标准正交基底的充要条件是 为正交矩阵。 定理 6 若 是欧氏空间 （不限于有限维）的一组线性无关的向量，则必有正线 上三角矩阵 ，使 而 是标准正交组。 证明 设 ，则维 。再设 为 的一标准正交基底。则有列满秩 矩阵 ，使 由第五章§2 定理 2 知有正线上三角矩阵 使 为正交矩阵。用 右乘上式得 由定理 5 推论 4， 是一标准正交组。证毕。 定理 7 设 是 维欧氏空间 的一个子空间。那么，必有 证明 若 ，则 。若 ，则 。无论何种情况都有 下面设 是 维子空间 是 的一个标准正交基底。由定理 3，可将 其扩充成 的标准正交基底
五，，fmfm+1,"fn ◆T=+"利，则 V=3⊕T 现在来证明肛恰为S的正交子空间。一方面，T的每个向量都与S的所有向量正交。另一 方面，如果有∈上，它与3肿所有向量均正交。则当学≤m时有=0。故若设 u=ai+…+amfm+am+1fm+1+…+anfn 则在两边与=1,2，"m做内积后便可得到 am=am=…=an=0 从而u∈T。这就说明了T恰为S的正交子空间，证毕。 布置作业：p393.1.2.3.4.5.16.17.补充题：3.4.5.8
令 ，则 现在来证明 恰为 的正交子空间。一方面， 的每个向量都与 的所有向量正交。另一 方面，如果有 ，它与 中所有向量均正交。则当 时有 。故若设 则在两边与 做内积后便可得到 从而 。 这就说明了 恰为 的正交子空间，证毕。 布置作业: p393.1.2.3.4.5.16.17.补充题：3。4。5。8