§2.4数学期望的定义及性质 我们己经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多 实际总是中，这样的全面描述有时并不使人感到方便举例来说，已知在 品种的母鸡 群中，一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量，如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只要比钱 这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量 高，当然是较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只看它们的分布列，虽然全面， 去合人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地作出判断这样的例子可以举出很多：例如要比 较不同班级的学习成绩，通常就比较考试中的平均成绩，要比较不同地区的粮食收成，一般也 只要比较平 亩产量等既然平均值这么有用，那是值得花力气来研究一番的 例2.13（略）见P79 例2.14若随机变量5服从二项分布b(k;n,P),试求它的数学期望E5 解这时 月=g=-[0ssn 所以 贴-R-容因g =mr-}g =nP(p+q)"=mp (2.22) 例2.15（略）P80 定义2.5若离散型随机变量5可能取值为a,(1=1,2,…),其分布列为P1=1,2,, 则当 lalp.< (2.240 时称5存在数学期望，并且数学期望为 E-Eap. 2.25) 如果 Elalp.= 则称5的数学期望不存在 对于这个定义，读者也许会问，既然数学期望E5=∑a,P,那么只要∑a,P,收剑就可
§ 2.4 数学期望的定义及性质 我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这个随机变量的统计规律,但在许多 实际总是中,这样的全面描述有时并不使人感到方便.举例来说,已知在一个同一品种的母鸡 群中,一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只要比较 这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量 高，当然是较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只看它们的分布列，虽然全面， 去合人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地作出判断.这样的例子可以举出很多:例如要比 较不同班级的学习成绩,通常就比较考试中的平均成绩;要比较不同地区的粮食收成,一般也 只要比较平均亩产量等.既然平均值这么有用,那是值得花力气来研究一番的. 例 2.13 (略) 见 P79 例 2.14 若随机变量 服从二项分布 b(k;n, p),试求它的数学期望 E 解 这时 p q k n k n P P k k n k k = = = − ( ) ,0 所以 k n k n k n k k p q k n E k P k − = = = = 0 0 1 ( 1) ( 1) 0 1 1 − − − − = − − = k n k n k p q k n nPnP p q np n = + = −1 ( ) (2.22) 例 2.15 (略)P80 定义 2.5 若离散型随机变量 可能取值为 a (i =1,2, ), i 其分布列为 P (i = 1,2, ), i 则当 =1 | | i ai pi (2.24) 时,称 存在数学期望,并且数学期望为 = = i 1 E ai pi (2.25) 如果 = = i i | ai | p 1 则称 的数学期望不存在. 对于这个定义,读者也许会问,既然数学期望 = = i 1 E ai pi ,那么只要 i=1 ai pi 收剑就可
以了，为什么还要求 Elalp. 是不是有点多余？我们已经知道，离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的，对同 个随机变量，它的取值的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望是不应该改 变的这做意珠着无穷级数立QA的求和次序可以改变而其和要保持不变由无穷级数的理 论知道，必须有∑a,P,绝对收剑即∑Ia,lp,<0,才能保证它的和不受求和次序变动的影 响 定理2.2若是一个离散型随机变量，其分布列为 a a p P P 又gx)是实变量x的单值函数，如果∑a,|P,<o,则有 g)-立&a,p, (2.26) 证明令刀=g(5),则刀仍是一个离散型随机变量，设其可能取的值为b,（U=1,2), 于是由(2.20)式有 P7=b,)=EP5=a) 由数学期望定义有 Eg(5)=En=∑b,pn=b,) -26,E5=a) -云三ar-a =∑ga)p5=a,) 即为所证
以了,为什么还要求 =1 | | i ai pi 是不是有点多余?我们已经知道,离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的,对同一 个随机变量,它的取值的列举次序可以有所不同,当改变列举次序时它的数学期望是不应该改 变的,这就意味着无穷级数 i=1 ai pi 的求和次序可以改变而其和要保持不变,由无穷级数的理 论知道,必须有 i=1 ai pi 绝对收剑即 =1 | | i ai pi ,才能保证它的和不受求和次序变动的影 响. 定理 2.2 若 是一个离散型随机变量,其分布列为 1 a 2 a … i p 1 p 2 p … 又 g(x)是实变量 x 的单值函数,如果 =1 | | i ai pi ,则有 = = 0 ( ) ( ) i Eg g ai pi (2.26) 证明 令 = g( ), 则 仍是一个离散型随机变量,设其可能取的值为 b ( j = 1,2) j , 于是由(2.20)式有 = = = = g ai bj P bj P ai ( ) ( ) ( ) 由数学期望定义有 = = = = 1 ( ) ( ) j Eg E bj p bi = = = = g ai bj i j bj p a 1 ( ) ( ) = = = = g ai bj i i j g a p a 1 ( ) ( ) ( ) = = = 1 ( ) ( ) i g ai p ai 即为所证
类似还可以证下述定理。 定理2.3若(5，)是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为 p5=a,n=b,)-P,d,j=1,2 又g(x,y)是实变量xy的单值函数，如果 2gab训,m 则有 g6,)=22ga,b,)p, (2.27) 对一般的维随变量的函数，也有相应的定理成立，这里就不再叙述了.由于这些定理，在求 离散型随机变量函数的数学期望时，就可以直接利用原来随机变量的分布，而不必先求随机变 量函数的分布列. 现在进一步讨论数学期望的性质随机变量的数学期望具有下述基本性质 ()若a≤5≤b,则E5存在，且有a≤E5≤b.特别，若C是一个常数，则EC-C (②)对于一二维离散型随机变量(5，n),若E5,En存在，则对任意的实数 k1,k,Ek5,k)存在且 E(k 5+k)=k E5+k2E5 (2.28) (3)又若5，n是相互独立的，则E5n存在且 E(5)=E5·En (2.29) 性质(1)的证明是显然的，下面证明性质(2)和(3). 设(5,7)的联合分布列和边际分布列为： P(5=a,n=b,）=Pij P5=a,)=P,i=1,2 P(n=b)=P,j=1,2… 由定理2.32有 E(k:5+k:m)=>(k.a,+k.b,)P
类似还可以证下述定理. 定理 2.3 若( , )是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为 p( = ai , = bj ) = pij ,i, j = 1,2 又 g(x, y) 是实变量 x,y 的单值函数,如果 = 1 =1 | ( , ) | i j g ai bj pij 则有 = = = 1 1 ( , ) ( , ) i j Eg g ai bj pij (2.27) 对一般的n维随变量的函数,也有相应的定理成立,这里就不再叙述了.由于这些定理,在求 离散型随机变量函数的数学期望时,就可以直接利用原来随机变量的分布,而不必先求随机变 量函数的分布列. 现在进一步讨论数学期望的性质.随机变量的数学期望具有下述基本性质: (1) 若 a b ,则 E 存在,且有 a E b .特别,若 C 是一个常数,则 EC=C. (2) 对 于 一 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ( , ), 若 E , E 存 在 , 则对任意的实数 , , ( , ) k1 k2 E k1 k2 存在且 E(k1 + k2) = k1E + k2E (2.28) (3) 又若 , 是相互独立的,则 E 存在且 E() = E E (2.29) 性质(1)的证明是显然的,下面证明性质(2)和(3). 设( , )的联合分布列和边际分布列为: P( = ai , = bj ) = pij ,i, j, P( = ai ) = Pi ,i =1,2 P( = bj ) = P j , j = 1,2 由定理 2.32 有 = = + = + 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) i j i bj Pij E k k k a k
=2ka,P,+22kb,P, =k∑a,p.+k∑b,P =kEξ+kEn 这里级数∑∑（低a,+kb,)p,绝对收剑是明显的，所以E低5+，）存在且228)式成立 性质(2)证得.仍得用定理23并由独立性有 Etim-abp.-.p..p,Bg.En 这里级数∑∑ab,P,的绝对收剑也是显然的，所以E5刀存在且(228)式成立，性质3)得证 性质(2)和(3)都可以推广到任意n维随机变量的场合，当然，就性质(3)来说，要求这n维随机 变量是相互独产的 一个随机变量n,如果它的分布列是01分布 「011 L1-p pl 则显然有En=P 例2.14（略）见P87
= = = = = + 1 1 2 1 1 1 i j j ij i j k ai pij k b p = = = + 1 2 1 1 j j j i k ai pi k b p = k1E + k2E 这里级数 = = + 1 1 1 2 ( ) i j i bj pij k a k 绝对收剑是明显的,所以 ( ) E k1 + k2 存在且(2.28)式成立, 性质(2)证得.仍得用定理 2.3 并由独立性有 E a b p a p b p E E j j j i i i i j i j ij = = • = • = = = 1 =1 1 1 ( ) 这里级数 = i 1 j=1 aibj pij 的绝对收剑也是显然的,所以 E 存在且(2.28)式成立,性质(3)得证. 性质(2)和(3)都可以推广到任意n维随机变量的场合,当然,就性质(3)来说,要求这n维随机 变量是相互独立的. 一个随机变量 ,如果它的分布列是 0---1 分布: 1− p p 0 1 则显然有 E = P 例 2.14 (略)见 P87