§5.3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依 赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到厂 泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。 设51,52，…，5n是取自分布函数为F(x)的母体5的一个子样，X1,X2,…, Xn表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用X),X(2),…,X(m) 表示，即X0)≤X(2)≤…≤X(),若其中有两个分量X,与X2相等，它们先后次序 的安排是可以任意的。 定义5.3第1个次序统计量50是上述子样51,52，，5m这样的一个 的一个函数，不论子样51,52，…，5m取得怎样一组观测值X1,X2,…,Xm, 它总是取其中的x)为观测值。 显然，对于容量为n的子样可以得到n个次序统计量5)≤5(2)≤·≤ 5(,其中5)称做最小次序统计量，写（m)称做最大次序统计量。 如果51,52，，5m是来自同一母体的个相互独立随机变量，那么次序统 计量5,52，，5n是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理5.5设母体5有密度函数fx>0,a≤x≤，并且51,52，，5n为 取自这母体的一个子样，则第1个次序统计量的密度函数为 g,=-nm-F(rIl-Fo产f0a≤ysb 0,其他 (5.24) 例5.3设母体5有密度函数 [2x,0)
§5.3 次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依 赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广 泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj 设 1 ， 2 ，…， n 是取自分布函数为 F（x）的母体 的一个子样，x 1 ，x 2 ，… ， x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用 x (1) ，x (2) ，… ，x (n) 表示，即 x (1) ≤x (2) ≤… ≤x (n) ，若其中有两个分量 x 1 与 x 2 相等，它们先后次序 的安排是可以任意的。 定义 5.3 第 i 个次序统计量 (i) 是上述子样 1 ， 2 ，…， n 这样的一个 的一个函数，不论子样 1 ， 2 ，…， n 取得怎样一组观测值 x 1 ，x 2 ，… ，x n ， 它总是取其中的 x (i) 为观测值。 显然，对于容量为 n 的子样可以得到 n 个次序统计量 (1) ≤ (2) ≤… ≤ (n) ，其中 (1) 称做最小次序统计量， (n) 称做最大次序统计量。 如果 1 ， 2 ，…， n 是来自同一母体的 n 个相互独立随机变量，那么次序统 计量 1 ， 2 ，…， n 是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理 5.5 设母体 有密度函数 f(x)>0，a≤x≤b,并且 1 ， 2 ，…， n 为 取自这母体的一个子样，则第 i 个次序统计量的密度函数为 g i (y)= − − − − − 0,其他 [ ( ) ][1 ( )] ( ), ( 1)!( )! ! 1 F y F y f y a y b i n i n i n i （5.24） 例5.3 设母体 有密度函数 = 0,其他 2 ,0 1 ( ) x x f x 并且 (1) (2) (3) (4) 为从 取出的容量为 4 的子样的次序统计量。求 (3) 的密度函数 ( ) 3 g x 和分布函数 ( ) 3 G x ，并且计算概率 ) 2 1 ( P (3)
解母体的分布函数为 「0，x≤0 F(x)={x2,0)1-G,(匀 =1-()[4-3(分)1 243 256 系1最大次序统计量5)的密度函数为 g.=mFC明f0a0,a≤x≤b。并且51,52，…，5m是
解 母体 的分布函数为 = 1, 1 ,0 1 0, 0 ( ) 2 x x x x F x 由公式（5.24）得出 (3) 的密度函数 g 3 (y)= [ ( )] [1 ( )] ( ) 2!(4 3) 4! 2 4 3 F y F y f y − − − = [ y ] [1 y ]2y 2! 4! 2 2 2 − =24y 2 (1-y 2 ) 对于 y 的其他值 g 3 (y)=0。分布函数为 ( ) 3 G y = 1, 1 ,0 1 0, 0 6 y y y y 而概率 P（ (3) > 2 1 ）=1- ) 2 1 ( G3 =1-( 2 1 ) 6 [4-3( 2 1 ) 2 ] = 256 243 系 1 最大次序统计量 (n) 的密度函数为 g n (y)= − 0,其他 [ ( )] ( ), 1 n F y f y a y b n （5.25） 系 2 最小次序统计量 (1) 的密度函数为 g 1 (y)= − 0,其他 [ ( )] ( ), 1 n F y f y a y b n （5.26） 这两个系的证明是明显的，这是不叙述了。 下面我们同样以连续型母体分布为例考虑任何两个次序统计量 (i) 0，a≤x≤b。并且 1 ， 2 ，…， n 是
取自这一母体的一个子样，则其任意两个次序统计量的5)<5)的联合分布密度函数为 B.,)--FG(-F (5.27) 在实际问题中有时要用到一些次序统计量的函数，例如：(1)在第九章的质量管理 节中就要用到子样极差R=5()-5),即最大与最小次序统计量之差：(2)子样中位数 包是一个带用的福数若，是奇说定义它为气学：者：是得数，定文它为经当 2 要推导次序统计量的函数的分布，原则上并不难，只要运用以前学过的方法和定理就 可以了，但要算出具体数值可不是一件容易的事，下面我们简略地提一下次序统计量的分布 问题。设母体5具有分布函数F(x),若F(ap)=心：fx)k=p,0<p<1,则称ap为5 的p一分位数。设5<5(2)<<5(m)为取自这母体的子样的次序统计量。若 k=即]+1，则称次序统计量5(k,为子样的p一分位数。由于在实际应用中，某些母体的 次序统计量分布的计算十分繁重，所以还需要知道子样分位数当容量→0时的极限分布。 为此，我们在这里不加证明地引入下列定理。 定理5.7设母体5具有密度函数f(x),8p(0<p<1)为其p-分位数，若fx) 在点xap处连续且大于零，则次序统计量5p渐近地服从正态分布 1 p(1-p) Nap'a,）n (5.28) 显然，当n→西时，5mw=5)依概率收敛于ap
取自这一母体的一个子样，则其任意两个次序统计量的 (i) < ( j) 的联合分布密度函数为 g i j (y,z)= − − − − − − − − − − 0,其他 [1 ( )] ( ) ( ), [ ( ) ][ ( ) ( )] ( 1)!( )!( )! ! 1 1 F z f y f z a y b F y F z F y i j i i n j n n j i j i （5.27） 在实际问题中有时要用到一些次序统计量的函数，例如：（1）在第九章的质量管理一 节中就要用到子样极差 R n = (n) - (1) ，即最大与最小次序统计量之差；（2）子样中位数 也是一个常用的函数。若 n 是奇数，定义它为 ) 2 1 ( n+ ；若 n 是偶数，定义它为 2 ) 2 2 ) ( 2 ( n + n+ 要推导次序统计量的函数的分布，原则上并不难，只要运用以前学过的方法和定理就 可以了，但要算出具体数值可不是一件容易的事，下面我们简略地提一下次序统计量的分布 问题。设母体 具有分布函数 F（x），若 F（a p ）= − ap f (x)dx =p,0<p<1,则称 a p 为 的 p―分位数。设 (1) (2) … (n) 为取自这母体的子样的次序统计量。若 k=[np]+1，则称次序统计量 (k ) 为子样的 p―分位数。由于在实际应用中，某些母体的 次序统计量分布的计算十分繁重，所以还需要知道子样分位数当容量 n → 时的极限分布。 为此，我们在这里不加证明地引入下列定理。 定理 5.7 设母体 具有密度函数 f (x) ，a p （0<p<1）为其 p―分位数，若 f (x) 在点 x= a p 处连续且大于零,则次序统计量 ([np]+1) 渐近地服从正态分布 N（a p ， n p p f ap (1 ) ( ) 1 2 − ） （5.28） 显然，当 n → 时， ([np]+1) = (k ) 依概率收敛于 a p