上饶师范学院试卷(A卷答案) 课程名称：《概率论》 适用学期：第五学期 适用专业：数学与应用数学适用层次：本科（师范） 考生注意：该试题纸上不准答题，请将所有答案一律填写在答题纸上。 一、填空题(8×3分=24分) 1.已知P(A)=0.8,P(AB)=0.5,且A与B独立，则P(B)=38一· 2.袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，2只白球，从中任取2只，则此两球颜色不同的概 率为13/18 3.某公共汽车站每隔0分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客 侯车时间不超过4分钟的概率为25 0 (x0 0 x≤0 二、选择题(5×3分=15分) 9.若A,B之积为不可能事件，即AB=p,则A与B(B) (A)独立(B)互不相容(C)对立D)相等
上 饶 师 范 学 院 试 卷 （ A 卷答案） 课程名称：《概率论》 适用学期：第 五 学期 适用专业：数学与应用数学 适用层次：本科（师范） 考生注意：该试题纸上不准答题，请将所有答案一律填写在答题纸上 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 一、填空题（8×3 分=24 分） 1． 已知 P (A) = 0.8，P (A B ) = 0.5，且 A 与 B 独立，则 P (B) = 3/8 。 2． 袋中有大小相同的红球 4 只，黑球 3 只，2 只白球，从中任取 2 只，则此两球颜色不同的概 率为 13/18 。 3． 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客 侯车时间不超过 4 分钟的概率为 2/5 。 4． 设随机变量 的分布函数为 F（x）= 1 / 2 sin 0 / 2 0 ( 0) x A x x x ，则常数 A= 1 ；概率 P（| |< / 6 ）= 1/2 。 5． 设 ， 是相互独立的随机变量，且分别服从 b(n 1，p)和 b(n 2 ，p) 的分布，则 + 服从 b(n 1 +n 2 ，p) ；E（ + ）= (n 1 +n 2 )p ；D（ + ）= (n 1 +n 2 )p(1-p) 。 6． 设随机变量 服从 的泊松分布，且 P( =2)=P( =4) ，则 = 2 3 。 7． 已知随机向量（ ， ）联合概率密度为 p(x , y) = 0 其它 0 2 0 1 2 3 2 x y x y ，则 E = 4/3 。 8． 设 , 独立同分布于参数为 的指数分布，则 =max( , )的分布密度函数 为 p = − − − 0 0 2 (1 ) 0 x e e x x x 二、选择题（5×3 分=15 分） 9．若 A，B 之积为不可能事件，即 AB= ，则 A 与 B（ B ） (A) 独立 (B)互不相容 (C) 对立 (D) 相等
10.设在1次试验中事件A发生的概率为Pp,现重复进行n次独立试验，则事件A至多发生1 次的概率为(D) (A)1-p"(B)p"(C)1-(I-p)"(D)(1-p)+p1-p)- 11.设随机变量的概率密度为P:(x),7=一25+3，则n的概率密度为(B) o-空，o,-生， 12.设E为随机变量，且E5=-1,D5=3,则E[352-2)]=(B) ()9 (B)6 (C)30 (D)36 13.5~N(1,3),n~N2,4),且5与n相互独立，则5=25-3n服从(C) (A)N(6,8) B)N-4.18) (CN(-4,48) (D)N(6,-6) 三、计算题（共47分） 14.市场上出售的某种商品由3个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、 三两厂家相等，而且第一、二、三厂家次品率依次为2%，2%，4%：求 (1)在市场上随机地购买1件商品为次品的概率： 在市场随机购买1件商品为次品，问该件商品为第一厂家的概率是多少(8分) 解：令A={任购买一件，恰好是次品}， B,={任购买一件，恰好是第i个厂家的商品}，=1,2,3. (2分) (1)于是由全概率公式可得 P(A)=∑P(B,)AB,)-05×2%+0,25×2%+0.25×4%2.5%6分) (2)由贝叶斯公式可得(1分) pB=PB,mNB2PB,PNB,05x22%O42分
10．设在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 p，现重复进行 n 次独立试验，则事件 A 至多发生 1 次的概率为（ D ） (A) 1－p n (B) p n (C) 1－(1－p) n (D) (1－p) n +np(1－p) n−1 11．设随机变量的概率密度为 p (x)， = －2 +3，则 的概率密度为（ B ） (A) － 2 1 p (－ 2 y − 3 ) (B) 2 1 p (－ 2 y − 3 ) (C) － 2 1 p (－ 2 y + 3 ) (D) 2 1 p (－ 2 y + 3 ) 12．设 为随机变量，且 E =－1，D =3，则 E[ 3( 2) 2 − ]=（ B ） (A) 9 (B) 6 (C) 30 (D) 36 13． ～N(1, 3)， ～N(2, 4)，且 与 相互独立，则 =2 －3 服从（ C ） (A) N (6, 8 ) (B) N (－4, 18 ) (C) N (－4 , 48 ) (D) N (6, －6) 三、计算题（共 47 分） 14．市场上出售的某种商品由 3 个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、 三两厂家相等，而且第一、二、三厂家次品率依次为 2%，2%，4%；求 （1） 在市场上随机地购买 1 件商品为次品的概率； （2） 在市场随机购买 1 件商品为次品，问该件商品为第一厂家的概率是多少（8 分） 解： 令 A={任购买一件，恰好是次品} ， B i ={任购买一件，恰好是第 i 个厂家的商品}，i=1,2,3. (2 分) （1）于是由全概率公式可得 P（A）== 3 i 1 P (B i )P(A| B i ) =0.5 2%+0.25 2%+0.25 4% =2.5% (3 分) (2) 由贝叶斯公式可得 (1 分) P（B 1 |A）= {P (B 1 )P(A| B 1 )}/{ = 3 i 1 P (B i )P(A| B i )}=(0.5 2%)/(2.5%)=0.4 (2 分)
15.设随机向量(5，n)的联合分布律如下，求(1)5的边缘分布律：(2)F。y) (3)5+7的分布律：(4)E(5+n):(5)P(5≤4)(11分) 34 5 2 1/4 000 2 1/8 1/8 00 3 1/121/121/120 4 1/161/161/161/16 解)的边线分南律为4444 1234 (2分) (1234 2)由于n的边缘分布律为25/4813/4871483/48 0 ysI 2514814 )5+功的分布律为2345678 2/48614810/48714871483/483/482分别 (4)E(5+n)=2×12/48+3×6/48+4×10/48+5×7/48+6×7148+7×3/48+8×3/48 =1714 (2分) (5)P(5n≤4)=P(5n=1+P(5n=2+P(5n=3HP(5n=4) =1/4+1/8+1/12+1/8+1/16=31/48 (2分) 16设5和n是相互独立的随机变量，5服从(0,1)上的均匀分布，而n的概率密度为 解：由于5服从0，D上的均匀分布，则P:国-0其它 1x∈(0，) 1分) 又由5和刀是相互独立的随机变量，根据卷积公式有p:(aP:yp,y,(1分)
15．设随机向量（ ， ）的联合分布律如下，求（1） 的边缘分布律；（2）F (y) （3） + 的分布律；（4）E（ + ）；(5) P（ 4 ） （11 分） 解: (1) 的边缘分布律为 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1 2 3 4 (2 分), (2) 由于 的边缘分布律为 25/ 48 13/ 48 7 / 48 3/ 48 1 2 3 4 从而 F (y)= 1 4 45 / 48 3 4 38 / 48 2 3 25 / 48 1 2 0 1 y y y y y (3 分) (3) + 的分布律为 12 / 48 6 / 48 10 / 48 7 / 48 7 / 48 3/ 48 3/ 48. 2 3 4 5 6 7 8 (2 分) (4) E（ + ）=2 12/48 +3 6/48 +4 10/48 +5 7/48 +6 7/48 +7 3/48 +8 3/48 =17/4 (2 分) (5) P（ 4 ）=P( =1)+ P( =2)+ P( =3)+ P( =4) =1/4 +1/8 +1/12 +1/8 +1/16=31/48 (2 分) 16 设 和 是相互独立的随机变量， 服从（0，1）上的均匀分布，而 的概率密度为 p (y)= − ， 其它 ， 0 e y 0 y 。求随机变量 = + 的概率密度。（10 分） 解: 由于 服从（0，1）上的均匀分布, 则 p (x) = 0 其它 1 x (0,1) , (1 分) 又由 和 是相互独立的随机变量, 根据卷积公式有 p (z)= + − p (z-y)p (y)dy, (1 分) 1 2 3 4 1 2 3 4 1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16
按函数P:和P,y)的定义知当且仅当0≤：-y≤1 y>0 即z1≤y0时上述积分函数才不等于0， (2分) p(e-yp,y)d=1ed,0<:<1, 从而P,(2= [p:(=-y)p,(y)dy=[1.e"'dy. ≥1 (4分) 0 其它 1-e,0<z<1 即有p,((e-1)e,z之1 (2分) 0、 其它 7,设随机支是G,力》有微率花度p2)0其51， 求)5的边缘分布：(2)E5”:(3)Cov(5,7):(4)D(5+n):(5)P(12分) 解(5的边缘分布为p:(p代，y心-12y2=4x3, (2分) 回5-2 (1分) (3)由于Cov(5,7)片E5n-EEn,而 E5-12y2-等En=s[2y2- 得om5,r号*号l0 (3分) (4)D(5+n)=D(5)+D(n)+2Cov(5,n)=E52.(E5)2+E72-(En)2+125 =[x2k12y2dy-16/25+dk12y4dy-925-10=23-1625+25.925+125 =8/75 (4分) Co5,卫_= 间Pw-D-Dn12505 (2分)
按函数 p (x)和 p (y)的定义知,当且仅当 − 0 0 1 y z y , 即 z-1 y z, y>0 时上述积分函数才不等于 0, (2 分) 从而 p (z)= = − = − = − − − − 0 其它 ( ) ( ) 1 , 1 ( ) ( ) 1 , 0 1, 1 1 0 0 p z y p y dy e dy z p z y p y dy e dy z z z z z y z z y (4 分) 即有 p (z) − − − − 0, 其它 ( 1) , 1 1 , 0 1 e e z e z z z (2 分) 17．设随机变量（ ， ）具有概率密度 p (x，y)= 0 其它 12 0 1 2 y y x ， 求(1) 的边缘分布；（2）E ；（3）Cov( ， )；（4）D（ + ）；（5） （12 分）。 解 (1) 的边缘分布为 p (x)= + − p (x，y)dy= x 0 12 y 2 dy=4x 3 ; （2 分） (2) E = 1 0 xdx x 0 12 y 3 dy= 2 1 ; （1 分） (3) 由于 Cov( ， )= E - E E ,而 E = 1 0 xdx x 0 12 y 2 dy= 5 4 , E = 1 0 dx x 0 12 y 3 dy= 5 3 ; 故得 Cov( ， )= 2 1 - 5 3 5 4 =1/50 （3 分） (4) D（ + ）= D（ ）+ D（ ）+2 Cov( ， ) = E 2 - (E ) 2 + E 2 - (E ) 2 +1/25 = x dx 1 0 2 x 0 12 y 2 dy -16/25+ 1 0 dx x 0 12 y 4 dy-9/25 – 1/10=2/3 - 16/25 + 2/5- 9/25+1/25 =8/75 （4 分） (5) = D D Cov ( , ) = 1250 3 1 . （2 分）
18.某炮群每次齐射时，命中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，试利用中心极限定 理求在100次独立射击时有170发到215发炮弹命中目标的概率。(6分) 1第次命中目标 解设50第次未命中目标，1210)，以5表示10次独立射击时命中目标的 100 总次数，即5=∑5·由题意得E5,=2,D5,=1.52, (3分) 根据独立同分布中心极限定理知，在100次独立射击时有170发到215发炮弹命中目标的概率为 R175s5≤215=175-100x2≤f-10x2s215-100x2 10×1.5 10×1.5 10×1.5 ）=Φ(1.5)+Φ(53)1(3分) 四.证明和分析(14分) 19.设仁，}为相互独立的随机变量序列，P(5=±厅)=，P(,0)=1-2 n=2,3,…, n n 证明{5}服从大数定理。(7分) 证明：由于E5n=0x(1-2n+Vn×1n+(Vn)x1m=-0,D5n=0x(1-2n)mx1/a+n×1/n=-2 令n.=1n∑5n2,3.则En。=0,Dn.=2n (4分) 对任意的6>0，由契贝晓夫不等式可知P7。-E门nKe)≥1-2m2),故有 mP刀。-E,K6户l.从而{5，)服从大数定律 (3分) 20.己知二维随机变量(5，η)如下，试考察刀与5的独立性和线性不相关性(7分) 1 0 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 解：由于5，n的分布函数均为 3/82/83/8).易见P5=0,7=00≠R5=0P=0. -101 故5，n不独立 (3分) 但由于E5=En=(-1)×3/8+1×3/8=0,E5n=(-1)×(1)×3/8+(-1)×1×38+1 ×(-1)×3/8+1×1×3/8=0,即有 Cov(5,n)=E5-E5En=0,故5，n不相关
18．某炮群每次齐射时，命中目标的炮弹数的数学期望为 2，标准差为 1.5，试利用中心极限定 理求在 100 次独立射击时有 170 发到 215 发炮弹命中目标的概率。（6 分） 解 设 i = 第 次未命中目标 第 次命中目标 i i 0 1 , (i=1,2,…100) , 以 表示 100 次独立射击时命中目标的 总次数, 即 == 100 i 1 i . 由题意得 E i =2, D i =1.5 2 , (3 分) 根据独立同分布中心极限定理知,在 100 次独立射击时有 170 发到 215 发炮弹命中目标的概率为 P(175 215)=P( 10 1.5 175 100 2 − 10 1.5 100 2 − 10 1.5 215 100 2 − )= (1.5)+ (5/3)-1 (3 分) 四．证明和分析（14 分） 19．设 n 为相互独立的随机变量序列，P（ n = n ）= n 1 ，P（ n =0）=1－ n 2 ，n=2，3，…， 证明 n 服从大数定理。（7 分） 证明:由于 E n =0 (1-2/n)+ n 1/n+(- n ) 1/n=0; D n =0 (1-2/n)+n 1/n+ n 1/n=2 令 n =1/n = n i i 1 ; n=2,3,…..,则 E n =0, D n =2/n (4 分) 对任意的 >0, 由契贝晓夫不等式可知 P(| n -E n |< ) 1− 2/(n 2 ), 故 有 n→ lim P(| n -E n |< )=1. 从而{ n }服从大数定律. (3 分) 20．已知二维随机变量（ ， ）如下，试考察 与 的独立性和线性不相关性（7 分） 解:由于 , 的分布函数均为 ( 3/ 8 2 / 8 3/ 8 −1 0 1 ),易见 P( =0, =0)=0 P( =0)P( =0), 故 ， 不独立. (3 分) 但由于 E =E =(-1) 3/8+1 3/8=0, E =(-1) (-1) 3/8+(-1) 1 3/8+1 (-1 ) 3/8+1 1 3/8=0, 即有 Cov ( , )=E -E E =0, 故 , 不相关 －1 0 1 －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
