1-6重複排列（粗合） 在這一節裡，我們要討論重複排列與重複組合之問题。首先，我們。 先來考慮重複排列是指由n件相異物品中取m件而可以重複之排 列。例如，由1,2,3,4四個數字中，若數字允許重複那麼共可以組成多 少個三位數？在這個問題中，因爲數字允許重複，因此，像 112,222,233等三位數都是允許出現的。由於百位數有4種選法（即 1,2,3或4)：而因僞數字允許重複，所以十位數及個位數也有4種選 法。故由乘法原理知共可以組成4x4x4=43=64個三位數。 仿照上面的尉論，我們可以得出重複排列的公式如下： 由n件相異物品中取出m件而可以重複之排列的排列數高 〔例1)有5樣不同的水果要分給甲，乙，丙三人，求 (1)任意分配的方法有多少種？ (2)甲沒分到水果的分法有多少種？ (3)乙恰分到一水果的分法有多少種？ 〔解〕 (1)由於每一樣水果都可以分給甲，乙，丙三人中的任一 人，有3種分法。因此由乘法原理得分法共有 3×3×3×3×3=35=729(種)。 (2)甲沒有分到水果表示5樣水果只分給乙或丙雨人 故所求之分法共有 2x2X2x2X2=2=32(種) (3)先將5樣水果中的某一樣分給乙，有5種分法。另外，再 將其他的4樣水果分給甲，丙二人，分法有2種。故由 乘法原理得所求之分法篇 5×24=80(種).■
1-6 重複排列(組合) 在這一節裡,我們要討論重複排列與重複組合之問題｡首先,我們｡ 先來考慮重複排列是指由 n 件相異物品中取 m 件而可以重複之排 列｡例如,由 1,2,3,4 四個數字中,若數字允許重複,那麼共可以組成多 少個三位數？在這個問題中 , 因為數字允許重複 , 因 此 , 像 112,222,233 等三位數都是允許出現的｡由於百位數有 4 種選法(即 1,2,3 或 4)；而因為數字允許重複,所以十位數及個位數也有 4 種選 法｡故由乘法原理知共可以組成 4×4×4= =64 個三位數｡ 3 4 仿照上面的討論,我們可以得出重複排列的公式如下： 由n件相異物品中取出m 件而可以重複之排列的排列數為 m n ﹝例1﹞ 有 5 樣不同的水果要分給甲, 乙, 丙三人,求 (1) 任意分配的方法有多少種？ (2) 甲沒分到水果的分法有多少種？ (3) 乙恰分到一水果的分法有多少種？ ﹝解﹞ (1) 由於每一樣水果都可以分給甲,乙,丙三人中的任一 人,有 3 種分法｡因此由乘法原理得分法共有 3×3×3×3×3=3 729 (種) ｡ 5 = (2) 甲沒有分到水果表示 5 樣水果只分給乙或丙兩人 故所求之分法共有 2×2×2×2×2= 2 32 (種) 5 = (3) 先將 5 樣水果中的某一樣分給乙, 有 5 種分法｡另外,再 將其他的 4 樣水果分給甲,丙二人, 分法有 種｡ 故由 乘法原理得所求之分法為 4 2 5× 2 80 (種)｡■ 4 =
《練智1》8本不同的漫畫書任意分給5個兒童，問分法有多少種？
《練習 1》8 本不同的漫畫書任意分給 5 個兒童,問分法有多少種？
(重複粗合)H,=Cr-l 〔例2)求H及H到 〔解) =cc-7-s, ColC20 《練智2》求H;及H
(重複組合) + −1 = n r r n Hr C ﹝例 2﹞求 4 3 3 H4 及 H ﹝解﹞ 15 2 1 6 6 5 4 3 4 1 4 3 4 = ⋅ ⋅ = = = + − H C C , 20 3 2 1 6 6 5 4 3 4 3 1 3 4 3 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = + − H C C 《練習 2》 求 5 2 2 H5 及 H
定理：（重複粗合）H,=C, 1.H爲r個相同物全分給n個人的分法數 2.H爲n種相異物，每種至少r個，任意取r個的方法數 〔例3)5枚10元硬幣任意分給甲，乙，丙三人有多少種分法？ 《練習3》5支相同之鉛筆任意分給4名兒童之分法有多少種？
定理：(重複組合) + −1 = n r r n Hr C 1. Hr n 為 r 個相同物全分給 n 個人的分法數 2. Hr n 為 n 種相異物, 每種至少 r 個, 任意取 r 個的方法數 ﹝例 3﹞5 枚 10 元硬幣,任意分給甲, 乙, 丙三人有多少種分法？ 《練習 3》 5 支相同之鉛筆任意分給 4 名兒童之分法有多少種？
〔例4】把10個相同的球，任意放入6個編有號碼的箱子，問有多少種 不同的放法？ 〔解)將6個箱子硯爲6類物品而要從中可重複地取出10件。故所求 之分法共有 H8=C6o1=C5 _15-1413-12-1=3003(種。■ 54321 《練智4》將10顆相同的糖果任意分給4個小孩，問有多少種分法？
﹝例 4﹞ 把 10 個相同的球,任意放入 6 個編有號碼的箱子,問有多少種 不同的放法？ ﹝解﹞ 將 6 個箱子視為 6 類物品而要從中可重複地取出 10 件｡故所求 之分法共有 15 10 6 10 1 10 6 H10 = C = C + − 3003 5 4 3 2 1 15 14 13 12 11 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (種)｡ ■ 《練習 4》將 10 顆相同的糖果任意分給 4 個小孩,問有多少種分法？
〔例5】有8人参加投票，他們每個人自4名候選人中圈選一人。若僞無 記投票（亦即投票人不在自己投的選票上簽名），問共有多種可 能的開票結果？ 〔解)將4名候選人視僞4類物品而從中可重複地選取8件。故所求共有 H-C4-c-0:9-165 3.21 種可能的投票結果
﹝例 5﹞ 有 8 人參加投票,他們每個人自 4 名候選人中圈選一人｡若為無 記投票(亦即投票人不在自己投的選票上簽名),問共有多種可 能的開票結果？ ﹝解﹞將4名候選人視為4類物品而從中可重複地選取8 件｡故所求共有 165 3 2 1 11 11 10 9 8 4 8 1 8 4 8 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = + − H C C 種可能的投票結果｡
〔例6)求满足x+y+z-5的非負整數解的個數。 〔解〕將x,y,:視篇3類物品而從中可重複地選出5件。故 所求之非負整敷解共有 成=c=CG-32媚。· 《練智5》求x+y=5的正整數解的個數
﹝例 6﹞ 求满足 x + y + z = 5 的非負整數解的個數｡ ﹝解﹞ 將 x，y，z 視為 3 類物品而從中可重複地選出 5 件｡故 所求之非負整數解共有 21( ) 2 1 7 7 6 5 3 5 1 5 3 5 = 組 ⋅ ⋅ = = = + − H C C ｡ ■ 《練習 5》 求 x + y = 5的正整數解的個數｡
