§6.2 三大统计分布 一、化平方分司 二、你南 三、F-你南 上页 页 返回
主主主王王王王王王 §6.2三大统计分布 本节介绍数理统计中的三个著名分布， 它们在参数估计和假设检验等统计推断问 题中有广泛应用. 一、X平方-分布 随机莎多一心格为一 分布N0,),则称x2=∑x=X好+x++x(6-8) 所服从的分布是自由度为的x-分布， 记为~x(m,称为x变量.为纪念英国著 名统计学家皮尔(K.Pearson,1857-1936) 上页 回
§6.2 三大统计分布 本节介绍数理统计中的三个著名分布， 它们在参数估计和假设检验等统计推断问 题中有广泛应用. 一、X平方-分布 定义6.1 设随机变量 独立且服从相同 分布 ，则称 (6-8) 所服从的分布是自由度为n的 -分布， 记为 ，称 为 -变量. 为纪念英国著 名统计学家皮尔（K.Pearson，1857-1936） X X Xn , , , 1 2 N(0,1) = = = + + + n i n Xi X X Xn 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ~ ( ) 2 2 n n 2 n 2
牛布系为皮尔通分布，这是数理统计中 一个十分重要的概率分布. 士根据独立随机变量和的密度公式3-27)和数学 归纳法，可以证明：x()分布的概率密度函 数为（详见5])1一xe,x>0 f(x)=2T() 0 x≤0 (6-9) 其中(x是r-函数，定义见第四章附录2.图 6.1是x变量的概率密度函数(6-9)在几种不 工王王王王王 同参数下的图像
- 分布也称为皮尔逊 -分布. 这是数理统计中 一个十分重要的概率分布. 根据独立随机变量和的密度公式(3-27)和数学 归纳法，可以证明： -分布的概率密度函 数为（详见[5]） ，（6-9） 其中 是 -函数，定义见第四章附录2．图 6.1是 -变量的概率密度函数(6-9)在几种不 同参数下的图像. 2 2 ( ) 2 n = − − 0 , 0 , 0 2 Γ( ) 1 ( ) 2 2 2 1 2 x x e x f x n x n n n Γ(x) Γ 2
xP2(, 分布.此外，x-分布具有以下性质： (1)数字特征.若x~xm,则 Exn =n Dz:-2n (2)可加性.若x~闭 0.20 2=1 X2~)且X与X,独立， 0.15 八=5 X+X2ta+n)(6-10) 0.10 2=10 2=20 0.05 0.00 20 40 图6.1x2-分布的概率密度函数 回
特别地，当 时， 服从参数 的指数 分布. 此外， -分布具有以下性质： （1）数字特征. 若 ，则 ， . （2）可加性. 若 且 与 独立，则 . (6-10) n = 2 2 2 2 1 = 2 ~ ( ) 2 2 n n E n = n 2 D n 2n 2 = ~ ( ) 1 2 1 X n ~ ( ) 2 2 2 X n X1 X2 ~ ( ) 1 2 2 1 2 X + X n + n
为便于今后的应用，现在我们引入上侧分 位数的概念.所谓一个分布的α-上侧分位数 就是指这样一个数，它使相应分布的随机 变量不小于该数的概率为.比如，若记x 变量x的-上侧分位数为，则满足（见图 6.2) f(x) x2(n) 图6.2
为便于今后的应用，现在我们引入上侧分 位数的概念. 所谓一个分布的 -上侧分位数 就是指这样一个数，它使相应分布的随机 变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 - 变量 的 -上侧分位数为，则满足（见图 6.2）. 2 2 n 图 6.2 ( ) 2 n f (x) n x
王对不太太的，如n,可用附表3查的 王王王 值，而对较大的n,则可用(6-11)近似计 算 x(m)≈n+V2nUa,(6-12) 其中U。是标准正态分布N(0,)的0-上侧分位 数，可通过附表2查出. 上页 区回
对不太大的n，如 60，可用附表3查 的 值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计 算 , (6-12) 其中 是标准正态分布 的 -上侧分位 数，可通过附表2查出. n ( ) 2 n n n 2n U ( ) 2 + U N(0,1)
二、t-分布 2设XN0,1),y-x2m,X与Y独立， 则称 (6-13)所服从的分布是 自由度为的长分布，记作7，例分布 也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （G0set,1876-1937)在1908年“Student" 的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位， 根据独立随机变量商的密度公式3-32)， 可以证明（过程从略）：(6-13)中的 T 概率密度函数为
二、t -分布 定义6.2 设 ， ，X与Y独立， 则称 (6-13) 所服从的分布是 自由度为n的t-分布，记作 . t -分布 也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （Goset，1876-1937）在1908年“Student” 的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位. 根据独立随机变量商的密度公式(3-32)， 可以证明（过程从略）：(6-13)中的 概率密度函数为 X ~ N(0,1) ~ ( ) 2 Y n Y n X Tn / = T ~ t(n) n Tn
根据独立随机变量商的密度公式3-32)，可 以证明（过程从略）：(6-13)中T,的概率 密度函数为 L(x)=- (生) -00<X<+0 nπ() (6-14) 另外，t-分布具有以下性质： (1) (近似标准正态)当n→0时，→-。 这就是说，当n充分大时，t-分布(n)近似于 标准正态分布N(0,1),但如果n较小，这两 个分布的差别还是比较大的，见图6.3
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可 以证明（过程从略）：(6-13)中 的概率 密度函数为 , . (6-14) 另外，t -分布具有以下性质： （1）（近似标准正态） 当 时， 这就是说，当n充分大时，t -分布 近似于 标准正态分布 ，但如果n较小，这两 个分布的差别还是比较大的，见图6.3， Tn 2 1 2 2 2 1 1 Γ( ) Γ( ) ( ) + − + = + n n n n n x n f x − x + n → 2 2 2 1 ( ) ( ) x n f x x e − → = t(n) N(0,1)
其中粗虚线是N(O,1)的密度函数x).我们 看到，所有的t-分布密度函数值在x=0附近 均未超过的值，而在两边的尾部均超过p(x) 了的值.这就是统计学中所谓的“重尾” (Heavy Trails)现象， N(0,1) 0.4 f(x) n=2 n=1 0 图6.3分布的概率密度函数
其中粗虚线是 的密度函数 . 我们 看到，所有的t -分布密度函数值在 附近 均未超过的值，而在两边的尾部均超过 了的值. 这就是统计学中所谓的“重尾” （Heavy Trails）现象. N(0,1) (x) x = 0 (x) -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 N(0,1) n = 10 n = 5 n = 2 n = 1 图 6.3 t-分布的概率密度函数 f (x) n x
2) (数字特征)若Tn~(n),n>2,则 ET,=0,DT n-2 顺便指出，自由度为1的t-分布也称为柯西 (Cauchy)分布，它以其数学期望和方差 均不存在而闻名（见例4.3). 记t-分布m)的0-上侧分位数为.m),附表4 给出了不同n和o所对应的.(n)数值.另外， 由性质(1)知，对较大的n(比如n>60) 可用下式近似 ta(n)≈UU。 (6-15)
（2）（数字特征）若 ， ，则 顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西 （Cauchy）分布，它以其数学期望和方差 均不存在而闻名（见例4.3）. 记t -分布 的 -上侧分位数为 ，附表4 给出了不同n和 所对应的 数值. 另外， 由性质（1）知，对较大的n（比如 60） ，可用下式近似 . (6-15) T ~ t(n) n n 2 . 2 0, − = = n n ETn DTn t(n) t (n) t (n) n n U t ( )