§11 随机事件和样本空间 我们在引言中已经介绍了了随机试验，现在进 一步明确他的含义。一个试验如果满足下述条 件： 。(1) 试验可以在相同的情形下重复进行； 9(2) 试验的所有可能结果是明确可知道的， 并且不止一个： 。(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果 中的一个，但在一次试验之前却不能确定出现 哪一个结果；
§1.1 随机事件和样本空间 我们在引言中已经介绍了了随机试验，现在进 一步明确他的含义。一个试验如果满足下述条 件： （1） 试验可以在相同的情形下重复进行； （2） 试验的所有可能结果是明确可知道的， 并且不止一个； （3） 每次试验总是恰好出现这些可能结果 中的一个，但在一次试验之前却不能确定出现 哪一个结果；
就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也称为试验。 随机试验的，每一格可能结果，称为基本事件。因为随机试验 的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的， 他们的全体，称作样本空间，通常用字母表示，常用表示。 例1.1在前述试验Ⅱ中，令 o1={取得白球}，o2={取得黑球 则 2={o1,02} 例1.2 个盒子中有十个完全相同的球分别标以号码1， 2,…,10,从中任取一球，令 i={取得球的标号为i} 则 2={1,2,.,10}
就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也称为试验。 随机试验的，每一格可能结果，称为基本事件。因为随机试验 的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的， 他们的全体，称作样本空间，通常用字母表示，常用表示。 例1.1 在前述试验Ⅱ中，令 1={取得白球}， 2={取得黑球} 则 ={ 1， 2} 例1.2 一个盒子中有十个完全相同的球分别标以号码1， 2，…，10，从中任取一球，令 i={取得球的标号为i} 则 ={1，2，…，10}
例1.1讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 i={收到的呼唤次数为i} 例1.2测量某地水温，令 t={测得的水温为t℃) 则 2=[0,100] 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。 如在例1.2中，我们可以研究 A={球的标号=6} B={球的标号是偶数) C={球的标号小≤5} 这些结果是否发生？其中A是一个基本事件，而B与C则有多个基 本事件所组成，相对于基本事件，就称它们是复杂事件，无论是基 本事件还是复杂事件
例1.1 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 i={收到的呼唤次数为 i } 例1.2 测量某地水温，令 t={测得的水温为 t℃} 则 =[0，100] 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。 如在例 1.2 中，我们可以研究 A={球的标号=6} B={球的标号是偶数} C={ 球的标号小≤5 } 这些结果是否发生？其中 A 是一个基本事件，而 B 与 C 则有多个基 本事件所组成，相对于基本事件，就称它们是复杂事件，无论是基 本事件还是复杂事件
它们的试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫作随机事件或简称为 事件。习惯上人们常用大写字母A,B,C等表示事件。在试验中，如果 出现A中所包含的某一个基本事件o,则称作A发生，并记作：O∈A. 我们已经知道样本空间2包含了全体基本事件，而随机事件不过是 某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来看，一个随机事件 不过是样本空间2的一格子集而已。如在例1.2中，2={1,2，…10}， 显然，前述的随机事件A,B,C都是2的子集，它们可以简单的表示为 A={6},B={2,4,6,8,10},C={1,2,3,4,5}。 又因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出 现重的某一基本事件0，即0∈2。也就是在试验中， 2 必然会发 生，所以今后又2来代表一次必然事件。 相应地，空集②可以看做是o∈②，也就是说⑦永远不可能发生，所以 ☑是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了“不 确定性”，因而本质上它们不是随机事件。但是为了方便起见，我们 还是把它们看作随机事件，稍后我们会理解，它们不过是随机事件的 两个极端情形而已
它们的试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫作随机事件或简称为 事件。习惯上人们常用大写字母 A，B，C 等表示事件。在试验中，如果 出现 A 中所包含的某一个基本事件 ，则称作 A 发生，并记作： A. 我们已经知道样本空间 包含了全体基本事件，而随机事件不过是 某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来看，一个随机事件 不过是样本空间的一格子集而已。如在例 1.2 中， ={1，2，…10}， 显然，前述的随机事件 A，B，C 都是 的子集，它们可以简单的表示为 A={6}，B={2，4，6，8，10}，C={1，2，3，4，5 }。 又因为 是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出 现重的某一基本事件 ，即 。也就是在试验中， 必然会发 生，所以今后又 来代表一次必然事件。 相应地，空集 可以看做是 ，也就是说 永远不可能发生，所以 是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了“不 确定性”，因而本质上它们不是随机事件。但是为了方便起见，我们 还是把它们看作随机事件，稍后我们会理解，它们不过是随机事件的 两个极端情形而已。
一个样本空间。中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一， 是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂 事件的规律。为此，需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算。 如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间。已经给定， 并且还给定了2中的一些事件，如A、B、A(I=1,2,…)等等 1.如果事件A发生必然导致事件Bf发生，则称B包含了A,或者 A是B的特款，并记作A二B或BOA。比如在前面提到过的A={球的 标号=6}这一事件发生就导致事件B{球的标号是偶数}的发生，因为摸 到标号为6的球意味着标号为偶数的球出现了，所以前者是后者的特 款，也就是后者包含了前者。 可以给上述的含意以一个直观的几何解释，设样本空间2是一个正 方形（见图1.1），A与B是两个事件也就是说是2的某两个子集。“A 发生必然导致B发生”意味着“属于A的0必然属于B”,即A中的 点全在B中，其几何图形如右所示：
一个样本空间 中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一， 是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂 事件的规律。为此，需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算。 如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间 已经给定， 并且还给定了 中的一些事件，如 A、B、 Ai （I= 1，2，…）等等 1. 如果事件 A 发生必然导致事件 B f 发生，则称 B 包含了 A，或者 A 是 B 的特款，并记作 A B 或 B A。比如在前面提到过的 A={球的 标号=6}这一事件发生就导致事件 B {球的标号是偶数}的发生，因为摸 到标号为 6 的球意味着标号为偶数的球出现了，所以前者是后者的特 款，也就是后者包含了前者。 可以给上述的含意以一个直观的几何解释，设样本空间是一个正 方形（见图 1.1），A 与 B 是两个事件也就是说是 的某两个子集。“A 发生必然导致 B 发生”意味着“属于 A 的 必然属于 B”，即 A 中的 点全在 B 中，其几何图形如右所示：
A 2 由此可知，事件ACB的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件0不含有任何0，所以对任一事件A,我们约定 OC A 2.如果有A二B,B一A同时成立，则称事件A与B相等，记作 A=B。易知，相等的两个事件A、B,总是同时发生或同时不发生。 3.“事件A与B中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B的并（或和），并记作A)B。他的几何表示如下： 图12
A B 由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A 2. 如果有 A B，B A 同时成立，则称事件 A 与 B 相等，记作 A=B。易知，相等的两个事件 A、B，总是同时发生或同时不发生。 3. “事件 A 与 B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件 A 与 B 的并（或和），并记作 A B。他的几何表示如下： 图 1.2
图中的阴影部分是事件“AB”如在例1.2中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3} 则AB={球的标号为1,2,3,4，6,8,10} 4.事件A与B同时发生“，这样的事件称作事件A与B的交（或 积)，记作A⌒B(或AB),它对应图1.3种的阴影部分： 如在例1.2中，若A、B同上，则 图1.3 A⌒B={球的标号2)
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3} 则 AB={球的标号为 1，2，3，4，，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积），记作 AB（或ＡＢ），它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则 图 1 .３ A B＝｛球的标号２｝
5.“事件A发生而B不发生”，这样的事 件称为事件A与B的差，记作A-B,它表示 了图1.4中的阴影部分：
5．“事件A发生而B不发生” ，这样的事 件称为事件A与B的差，记作A-B，它表示 了图1.4中的阴影部分： A B
Ω 如在例1.2中，若A、B同上，则 A一B={球的标号为4,6,8,10} 6.若事件A与B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件， 即AB=☑，则称事件A与B互不相容。下面的图1.2表示了这一情 形： 如在例1.2中，若 A={球的标号为偶数 B={球的标号为3} 则显然A与B不可能同时发生，即有AB=⑦，也就是说A与B互不 相容的
B A 如在例 1.2 中，若 A、B 同上，则 A—B={球的标号为 4，6，8，10} 6． 若事件 A 与 B 不能同时发生，也就是说 A B 是一个不可能事件， 即 AB=，则称事件 A 与 B 互不相容。下面的图 1.2 表示了这一情 形； 如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号为 3 } 则显然 A 与 B 不可能同时发生，即有 AB=，也就是说 A 与 B 互不 相容的
B 图1.5 7,若A是一个事件，令A=2一A,称A是A的对立事件或逆事 件。容易知道在一次试验中，若A发生，则A必不发生（反之亦然） 即A与4二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而 有 AA=☑ AUA=① 此外显然有A=A 如在例1.2中，若
A B 图 1.5 7 . 若 A 是一个事件,令 − A = — A，称 − A 是 A 的对立事件或逆事 件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 − A 必不发生（反之亦然） 即 A 与 − A 二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而 有 A − A= A − A = 此外显然有 = A=A 如在例 1.2 中，若